Schemat Hornera

Schemat Hornera jest metodą na szybkie wyznaczenie reszty z dzielenia wielomianów przez siebie.

Schemat ten możemy zastosować jedynie w przypadku dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez dwumian pierwszego stopnia \((x-a)\).

Metoda ta polega na wypisaniu w tabelce:

w pierwszym rzędzie współczynników wielomianu \(W(x)\);
w pierwszym polu drugiego rzędu wpisujemy liczbę \(a\);
w kolejnych polach drugiego wiersza wypisujemy sumę iloczyn poprzedniego pola i liczby \(a\) z polem znajdującym się wyżej w pierwszym rzędzie (a pierwszym z kolejnych pól przepisujemy liczbę z góry).

Przykład 1

Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(W(x)=x^3-4x^2+6x-7\) przez \((x-2)\).

Sporządzamy tabelkę:

schemat Hornera

Dla ułatwienia podaliśmy też potęgi kolejnych składników wielomianu.

W pierwszym (zielony rząd) rzędzie wypisujemy współczynniki (liczby) stojące przy kolejnych potęgach zmiennej wielomianu \(W(x)\). Potem wypisujemy miejsce zerowe dwumianu \((x-a)\), a ponieważ nasz dwumian ma postać \(x-2\), więc wpisujemy liczbę 2. W kolejnym polu przepisujemy liczbę z góry. W kolejnym polu mnożymy liczbę z poprzedniego pola (1) przez miejsce zerowe \(a=2\) i dodajemy do współczynnika, który znajduje się wyżej, czyli: \(1\cdot 2+(-4)=-2)\). W kolejnym polu mnożymy liczbę z poprzedniego pola (-2) przez miejsce zerowe \(a=2\) i dodajemy do współczynnika, który znajduje się wyżej, czyli: \(-2\cdot 2+6=2)\). W kolejnym polu mnożymy liczbę z poprzedniego pola (2) przez miejsce zerowe \(a=2\) i dodajemy do współczynnika, który znajduje się wyżej, czyli: \(2\cdot 2-7=-3)\).

Zatem możemy napisać:

\(\frac{W(x)}{(x-2)}=x^2-2x+2\) i reszta (-3)

albo

\(W(x)=(x-2)(x^2-2x+2)-3\)

A oto inny przykład