Pierwiastek wielomianu

Definicja

Pierwiastek wielomianu (punkt zerowy, miejsce zerowe wielomianu) W(x) jest to taka liczba a, że W(a)=0.

Przykład

Sprawdźmy, czy liczba 2 i -2 jest pierwiastkiem wielomianu .
W tym celu obliczamy:

$W(2)=2\cdot{2}^3-5\cdot{2}-6=16-10-6=0\\W(-2)=2\cdot(-2)^3-5\cdot(-2)-6=-16+10-6=-12\neq{0}$

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), natomiast liczba -2 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Jak obliczyć pierwiastek wielomianu? Najczęściej korzystamy z twierdzenia Bezout.

Twierdzenie Bezout

Twierdzenie Bezout

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-a

Dowód

Ponieważ w twierdzeniu Bezout występuje równoważność (wtedy i tylko wtedy), musimy udowodnić, że:

Jeżeli W(x) jest podzielny przez x-a, to a jest miejscem zerowym wielomianu.

Podzielność wielomianu W(x) przez x-a oznacza, że istnieje pewien wielomian A(x) taki, że W(x)=A(x)(x-a) Sprawdźmy, czy a jest miejscem zerowym: W(a)=A(a)(a-a)=0
Jeżeli a jest miejscem zerowym wielomianu W(x), czyli W(a)=0, to wielomian W(x) jest podzielny przez x-a.

Jeżeli podzielimy wielomian W(x) przez x-a, to otrzymamy W(x)=B(x)(x-a)+R, gdzie R jest pewną stałą (resztą z dzielenia). Mamy więc 0=W(x)=B(a)(a-a)+R, czyli R=0.

Twierdzenie

Jeżeli współczynniki wielomianu $W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+..+a_{1}x+a_0$ , gdzie $a_n\neq{0}$ są liczbami całkowitymi i wielomian ma miejsce zerowe r, to r jest dzielnikiem wyrazu wolnego a₀.

Jest to bardzo przydatne twierdzenie przy rozwiązywaniu równań i nierówności wielomianowych.

Przykład

Dany jest wielomian
Pierwiastków wielomianu należy szukać pośród dzielników wyrazu wolnego, czyli 1, -1, 2, -2, 4, -4. Sprawdźmy:
$A(1)=2-6-8=-12\neq{0}\\A(-1)=2-6-8=-12\neq{0}\\A(2)=32-24-8=0\\A(-2)=32-24-8=0\\A(4)=512-96-8=408\neq{0}\\A(-4)=512-96-8=408\neq{0}$
Znaleźliśmy w ten sposób dwa pierwiastki wielomianu: 2 i -2.

Twierdzenie o reszcie

Reszta dzielenia wielomianu W(x) przez (x−a) jest równa wartości tego wielomianu w punkcie a, tzn. W(a).

Pytania

Ile pierwiastków może mieć wielomian?

Liczba pierwiastków wielomianu jest zależna od jego stopnia. Wielomian n-tego stopnia może mieć co najwyżej n pierwiastków (miejsc zerowych), ale też może i nie mieć wcale.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Sprawdzić, czy liczby $1, \ \sqrt{2}$ są pierwiastkami wielomianu

$W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dla jakiej wartości parametru m pierwiastkiem wielomianu

jest liczba 1?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Dany jest wielomian W(x)=2x³+ax²−13x+b. Liczba 3 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez (x+2) jest równa 20. Oblicz współczynniki a i b oraz pozostałe pierwiastki wielomianu W (x).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

Wielomian określony wzorem W (x) = 2x³ + (m³ + 2) x² −11x − 2(2m +1) jest podzielny przez dwumian (x − 2) oraz przy dzieleniu przez dwumian (x +1) daje resztę 6. Oblicz m oraz pierwiastki wielomianu W dla wyznaczonej wartości m.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Wielomian W określony wzorem W (x) = x²⁰¹⁹ − 3x²⁰⁰⁰ + 2x + 6

A. jest podzielny przez (x −1) i z dzielenia przez (x +1) daje resztę równą 6.

B. jest podzielny przez (x +1) i z dzielenia przez (x −1) daje resztę równą 6.

C. jest podzielny przez (x −1) i jest podzielny przez (x +1).

D. nie jest podzielny ani przez (x −1), ani przez (x +1).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Wielomian

Wielomiany - definicja, własności i przykłady

Wykres wielomianu

Umiejętność szybkiego sporządzania wykresu wielomianu przydaje się przy rozwiązywaniu nierówności nierówności wielomianowych.

Wielomian dwóch zmiennych

Funkcję z=ax^m\cdot{y^n}, gdzie (x,y)\in{R}\times{R}, współczynnik a\neq{0} oraz liczby całkowite m\geq{0},n\geq{0}, nazywamy jednomianem dwóch zmiennych

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.