Pierwiastek wielomianu, miejsce zerowe wielomianu

Definicja

Pierwiastek wielomianu (punkt zerowy, miejsce zerowe wielomianu) W(x) jest to taka liczba a, że W(a)=0.

Przykład

Sprawdźmy, czy liczba 2 i -2 jest pierwiastkiem wielomianu .
W tym celu obliczamy:

$W(2)=2\cdot{2}^3-5\cdot{2}-6=16-10-6=0\\W(-2)=2\cdot(-2)^3-5\cdot(-2)-6=-16+10-6=-12\neq{0}$

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), natomiast liczba -2 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Twierdzenie Bezout

Twierdzenie Bezout

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-a

Dowód

Ponieważ w twierdzeniu Bezout występuje równoważność (wtedy i tylko wtedy), musimy udowodnić, że:

Jeżeli W(x) jest podzielny przez x-a, to a jest miejscem zerowym wielomianu.

Podzielność wielomianu W(x) przez x-a oznacza, że istnieje pewien wielomian A(x) taki, że W(x)=A(x)(x-a) Sprawdźmy, czy a jest miejscem zerowym: W(a)=A(a)(a-a)=0
Jeżeli a jest miejscem zerowym wielomianu W(x), czyli W(a)=0, to wielomian W(x) jest podzielny przez x-a.

Jeżeli podzielimy wielomian W(x) przez x-a, to otrzymamy W(x)=B(x)(x-a)+R, gdzie R jest pewną stałą (resztą z dzielenia). Mamy więc 0=W(x)=B(a)(a-a)+R, czyli R=0.

Twierdzenie

Jeżeli współczynniki wielomianu $W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+..+a_{1}x+a_0$ , gdzie $a_n\neq{0}$ są liczbami całkowitymi i wielomian ma miejsce zerowe r, to r jest dzielnikiem wyrazu wolnego a₀.

Jest to bardzo przydatne twierdzenie przy rozwiązywaniu równań i nierówności wielomianowych.

Przykład

Dany jest wielomian
Pierwiastków wielomianu należy szukać pośród dzielników wyrazu wolnego, czyli 1, -1, 2, -2, 4, -4. Sprawdźmy:
$A(1)=2-6-8=-12\neq{0}\\A(-1)=2-6-8=-12\neq{0}\\A(2)=32-24-8=0\\A(-2)=32-24-8=0\\A(4)=512-96-8=408\neq{0}\\A(-4)=512-96-8=408\neq{0}$
Znaleźliśmy w ten sposób dwa pierwiastki wielomianu: 2 i -2.