Pierwiastki wielomianu — twierdzenie Bezouta.

Pierwiastek wielomianu (punkt zerowy, miejsce zerowe wielomianu) \(W(x)\) jest to taka liczba \(a\), że \(W(a)=0\).

Przykłady

Sprawdźmy, czy liczba 2 i -2 jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=2x^3-5x-6\).

W tym celu obliczamy:

\(W(2)=2\cdot{2}^3-5\cdot{2}-6=16-10-6=0\)

\(W(-2)=2\cdot(-2)^3-5\cdot(-2)-6=-16+10-6=-12\neq{0}\)

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\), natomiast liczba -2 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Jak obliczyć pierwiastek wielomianu? Najczęściej korzystamy z twierdzenia Bezout.

Twierdzenie Bezouta

Liczba \(a\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-a\).

Dowód

Ponieważ w twierdzeniu Bezout występuje równoważność (wtedy i tylko wtedy), musimy udowodnić, że:

Jeżeli \(W(x)\) jest podzielny przez \(x-a\), to \(a\) jest miejscem zerowym wielomianu.

Podzielność wielomianu \(W(x)\) przez \(x-a\) oznacza, że istnieje pewien wielomian \(A(x)\) taki, że \(W(x)=A(x)(x-a)\) Sprawdźmy, czy \(a\) jest miejscem zerowym: \(W(a)=A(a)(a-a)=0\).
Jeżeli \(a\) jest miejscem zerowym wielomianu \(W(x)\), czyli \(W(a)=0\), to wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez \(x-a\).

Jeżeli podzielimy wielomian \(W(x)\) przez \(x-a\), to otrzymamy \(W(x)=B(x)(x-a)+R\), gdzie \(R\) jest pewną stałą (resztą z dzielenia). Mamy więc \(0=W(x)=B(a)(a-a)+R\), czyli \(R=0\)

Wyznaczanie pierwiastków wielomianu to czynność, przy której przydatne są następujące twierdzenia:

Pierwiastki całkowite wielomianu

Jeżeli współczynniki wielomianu \(W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+..+a_{1}x+a_0\), gdzie \(a_n\neq{0}\) są liczbami całkowitymi i wielomian ma miejsce zerowe \(r\), to \(r\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_0\).

Jest to bardzo przydatne twierdzenie przy rozwiązywaniu równań i nierówności wielomianowych.

Przykłady

Dany jest wielomian \(A(x)=2x^4-6x^2-8\). Wyznacz pierwiastki wielomianu \(A(x)\).

Pierwiastków wielomianu należy szukać pośród dzielników wyrazu wolnego, czyli 1, -1, 2, -2, 4, -4.

Sprawdźmy:

\(A(1)=2-6-8=-12\neq{0}\)

\(A(-1)=2-6-8=-12\neq{0}\)

\(A(2)=32-24-8=0\)

\(A(-2)=32-24-8=0\)

\(A(4)=512-96-8=408\neq{0}\)

\(A(-4)=512-96-8=408\neq{0}\)

Znaleźliśmy w ten sposób dwa pierwiastki wielomianu: 2 i -2.

Twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu

Jeżeli współczynniki wielomianu \(W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+..+a_{1}x+a_0\), gdzie \(a_n\neq{0}\) są liczbami całkowitymi i wielomian ma miejsce zerowe \(\frac{p}{q}\), to \(p\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_0\), a \(q\) jest dzielnikiem współczynnika \(a_n\).

Twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian

Reszta dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez \((x−a)\) jest równa wartości tego wielomianu w punkcie \(a\), tzn. \(W(a)\).

Pytania

Ile pierwiastków może mieć wielomian?

Liczba pierwiastków wielomianu jest zależna od jego stopnia. Wielomian n-tego stopnia może mieć co najwyżej n pierwiastków (miejsc zerowych), ale też może i nie mieć wcale.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Sprawdzić, czy liczby \(1, \sqrt{2}\) są pierwiastkami wielomianu

\(W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dla jakiej wartości parametru \(m\) pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=mx^3-(m+1)x^2+x-1+m\) jest liczba 1?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Dany jest wielomian \(W(x)=2x^3+ax^2−13x+b\). Liczba 3 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez (x+2) jest równa 20. Oblicz współczynniki \(a\) i \(b\) oraz pozostałe pierwiastki wielomianu \(W(x)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

Wielomian określony wzorem \(W(x)=2x^3+(m^3+2)x^2−11x−2(2m+1)\) jest podzielny przez dwumian \((x−2)\) oraz przy dzieleniu przez dwumian \((x+1)\) daje resztę 6. Oblicz \(m\) oraz pierwiastki wielomianu \(W\) dla wyznaczonej wartości \(m\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Wielomian W określony wzorem \(W(x)=x^{2019}−3x^{2000}+2x+6\)

A. jest podzielny przez \((x−1)\) i z dzielenia przez \((x+1)\) daje resztę równą \(6\).

B. jest podzielny przez \((x+1)\) i z dzielenia przez \((x−1)\) daje resztę równą \(6\).

C. jest podzielny przez \((x−1)\) i jest podzielny przez \((x+1)\.

D. nie jest podzielny ani przez \((x−1)\), ani przez \((x+1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.