Pierwiastek wielomianu
Definicja
Pierwiastek wielomianu (punkt zerowy, miejsce zerowe wielomianu) W(x) jest to taka liczba a, że W(a)=0.
Przykład
Sprawdźmy, czy liczba 2 i -2 jest pierwiastkiem wielomianu .
W tym celu obliczamy:
Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), natomiast liczba -2 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.
Jak obliczyć pierwiastek wielomianu? Najczęściej korzystamy z twierdzenia Bezout.
Twierdzenie Bezout
Twierdzenie Bezout
Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-a
Dowód
Ponieważ w twierdzeniu Bezout występuje równoważność (wtedy i tylko wtedy), musimy udowodnić, że:
- Jeżeli W(x) jest podzielny przez x-a, to a jest miejscem zerowym wielomianu.
Podzielność wielomianu W(x) przez x-a oznacza, że istnieje pewien wielomian A(x) taki, że W(x)=A(x)(x-a) Sprawdźmy, czy a jest miejscem zerowym: W(a)=A(a)(a-a)=0 - Jeżeli a jest miejscem zerowym wielomianu W(x), czyli W(a)=0, to wielomian W(x) jest podzielny przez x-a.
Jeżeli podzielimy wielomian W(x) przez x-a, to otrzymamy W(x)=B(x)(x-a)+R, gdzie R jest pewną stałą (resztą z dzielenia). Mamy więc 0=W(x)=B(a)(a-a)+R, czyli R=0.
Twierdzenie
Jeżeli współczynniki wielomianu , gdzie
są liczbami całkowitymi i wielomian ma miejsce zerowe r, to r jest dzielnikiem wyrazu wolnego a0.
Jest to bardzo przydatne twierdzenie przy rozwiązywaniu równań i nierówności wielomianowych.
Przykład
Dany jest wielomian
Pierwiastków wielomianu należy szukać pośród dzielników wyrazu wolnego, czyli 1, -1, 2, -2, 4, -4. Sprawdźmy:
Znaleźliśmy w ten sposób dwa pierwiastki wielomianu: 2 i -2.
Twierdzenie o reszcie
Reszta dzielenia wielomianu W(x) przez (x−a) jest równa wartości tego wielomianu w punkcie a, tzn. W(a).
Pytania
Ile pierwiastków może mieć wielomian?
Liczba pierwiastków wielomianu jest zależna od jego stopnia. Wielomian n-tego stopnia może mieć co najwyżej n pierwiastków (miejsc zerowych), ale też może i nie mieć wcale.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 2.
Dla jakiej wartości parametru m pierwiastkiem wielomianu
Zadanie nr 3 — maturalne.
Dany jest wielomian W(x)=2x3+ax2−13x+b. Liczba 3 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez (x+2) jest równa 20. Oblicz współczynniki a i b oraz pozostałe pierwiastki wielomianu W (x).Zadanie nr 4 — maturalne.
Wielomian określony wzorem W (x) = 2x3 + (m3 + 2) x2 −11x − 2(2m +1) jest podzielny przez dwumian (x − 2) oraz przy dzieleniu przez dwumian (x +1) daje resztę 6. Oblicz m oraz pierwiastki wielomianu W dla wyznaczonej wartości m.
Zadanie nr 5 — maturalne.
Wielomian W określony wzorem W (x) = x2019 − 3x2000 + 2x + 6
A. jest podzielny przez (x −1) i z dzielenia przez (x +1) daje resztę równą 6.
B. jest podzielny przez (x +1) i z dzielenia przez (x −1) daje resztę równą 6.
C. jest podzielny przez (x −1) i jest podzielny przez (x +1).
D. nie jest podzielny ani przez (x −1), ani przez (x +1).
Inne zagadnienia z tej lekcji
Wykres wielomianu

Umiejętność szybkiego sporządzania wykresu wielomianu przydaje się przy rozwiązywaniu nierówności nierówności wielomianowych.
Wielomian dwóch zmiennych

Funkcję z=ax^m\cdot{y^n}, gdzie (x,y)\in{R}\times{R}, współczynnik a\neq{0} oraz liczby całkowite m\geq{0},n\geq{0}, nazywamy jednomianem dwóch zmiennych
© medianauka.pl, 2009-08-17, ART-281
Data aktualizacji artykułu: 2022-12-28