Nauka » Matematyka » Pierwiastek wielomianu

Zadanie maturalne nr 6, matura 2019 - poziom rozszerzony

Wielomian określony wzorem W (x) = 2x³ + (m³ + 2) x² −11x − 2(2m +1) jest podzielny przez dwumian (x − 2) oraz przy dzieleniu przez dwumian (x +1) daje resztę 6. Oblicz m oraz pierwiastki wielomianu W dla wyznaczonej wartości m.

Rozwiązanie zadania

Dany jest wielomian:

$W(x)=2x^3+(m^3+2)x^2−11x−2(2m +1)$

Z warunków zadania wiemy, że wielomian dzieli się przez (x-2), co oznacza, że liczba 2 jest pierwiastkiem tego wielomiany W(2)=0.

Zatem:

$W(2)=2\cdot 2^3+(m^3+2)\cdot 2^2−11\cdot 2−2(2m +1)=0$

$16+4(m^3+2)−22−4m -2=0$

$4m^3−4m=0$

$m^3−m=0$

$m(m^2−1)=0$

$m(m−1)(m+1)=0$

Mamy zatem trzy rozwiązania: 0,1 i -1, dla których wielomian W(x) dzieli się przez (x-2) bez reszty.

Sprawdzamy teraz drugi warunek z treści zadania. Otóż wielomian W(x) dzieli się przez (x+1), dając resztę z dzielenia równą 6.

Z twierdzenia o reszcie z dzielenie wielomianu przez dwumian liniowy otrzymujemy W(-1)=6:

$W(-1)=2\cdot (-1)^3+(m^3+2)\cdot (-1)^2−11\cdot (-1)−2(2m +1)=0$

$-2+m^3+2+11-4m-2-6=0$

$m^3-4m+3=0$

Szukamy pierwiastków tego równani pomiędzy dzielnikami wyrazu wolnego:

$W_m(1)=1-4+3=0$

Wykonujemy dzielenie

$ \ (m^3-4m+3):(m-1)=m^2+m-3$

$\underline{-m^3+m^2}$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ m^2-4m+3$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-m^2+m}$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -3m+3$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{3m-3}$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0$

Mamy więc:

$m-1)(m^2+m-3=0$

$m_1=1$

$\Delta=1+12=13$

$m_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$

$m_3=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$

Dla tych wartości m nasz wielomian dzieli się przez (x+1) dając resztę 6.

Zauważamy, że tylko dla $m=1$ nasz wielomian spełnia oba warunki podzielność bez reszty przez (x-2) i z resztą równą 6 przez (x+1).

Podstawiamy za m w naszym wielomianie wyznaczoną wartość:

$W(x)=2x^3+(1^3+2)x^2−11x−2(2\cdot 1 +1)$

$W(x)=2x^3+3x^2−11x−6$

Wiemy już, że jednym z pierwiastków naszego wielomianu jest liczba 2, zatem:

$ \ (2x^3+3x^2-11x-6):(x-2)=2x^2+7x+3$

$\underline{-2x^3+4x^2}$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 7x^2-11x-6$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-7x^2+14x}$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3x-6$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-3x+6}$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0$

Mamy więc:

$W(X)=(x-2)(2x^2+7x+3)$

$\Delta=49-4\cdot 2\cdot 3=25$

$x_1=\frac{-7-5}{4}=-3$

$x_2=\frac{-7+5}{4}=-\frac{1}{2}$

Odpowiedź

$m=1, x_1=2, x_2=-3, x_3=-\frac{1}{2}$

Zadania podobne

Zadanie - pierwiastek wielomianu

Sprawdzić, czy liczby $1, \ \sqrt{2}$ są pierwiastkami wielomianu

$W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pierwiastek wielomianu, zadanie z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m pierwiastkiem wielomianu

jest liczba 1?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 2, matura 2017 (poziom rozszerzony)
Dany jest wielomian W(x)=2x³+ax²−13x+b. Liczba 3 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez (x+2) jest równa 20. Oblicz współczynniki a i b oraz pozostałe pierwiastki wielomianu W (x).

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 1, matura 2020 - poziom rozszerzony

Wielomian W określony wzorem W (x) = x²⁰¹⁹ − 3x²⁰⁰⁰ + 2x + 6

A. jest podzielny przez (x −1) i z dzielenia przez (x +1) daje resztę równą 6.

B. jest podzielny przez (x +1) i z dzielenia przez (x −1) daje resztę równą 6.

C. jest podzielny przez (x −1) i jest podzielny przez (x +1).

D. nie jest podzielny ani przez (x −1), ani przez (x +1).

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.