zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 6, matura 2019 - poziom rozszerzony

Treść zadania:

Wielomian określony wzorem \(W(x)=2x^3+(m^3+2)x^2−11x−2(2m+1)\) jest podzielny przez dwumian \((x−2)\) oraz przy dzieleniu przez dwumian \((x+1)\) daje resztę 6. Oblicz \(m\) oraz pierwiastki wielomianu \(W\) dla wyznaczonej wartości \(m\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Dany jest wielomian:

\(W(x)=2x^3+(m^3+2)x^2−11x−2(2m +1)\)

Z warunków zadania wiemy, że wielomian dzieli się przez (x-2), co oznacza, że liczba 2 jest pierwiastkiem tego wielomiany W(2)=0.

Zatem:

\(W(2)=2\cdot 2^3+(m^3+2)\cdot 2^2−11\cdot 2−2(2m +1)=0\)

\(16+4(m^3+2)−22−4m -2=0\)

\(4m^3−4m=0\)

\(m^3−m=0\)

\(m(m^2−1)=0\)

\(m(m−1)(m+1)=0\)

Mamy zatem trzy rozwiązania: 0,1 i -1, dla których wielomian W(x) dzieli się przez (x-2) bez reszty.

Sprawdzamy teraz drugi warunek z treści zadania. Otóż wielomian W(x) dzieli się przez (x+1), dając resztę z dzielenia równą 6.

Z twierdzenia o reszcie z dzielenie wielomianu przez dwumian liniowy otrzymujemy W(-1)=6:

\(W(-1)=2\cdot (-1)^3+(m^3+2)\cdot (-1)^2−11\cdot (-1)−2(2m +1)=0\)

\(-2+m^3+2+11-4m-2-6=0\)

\(m^3-4m+3=0\)

Szukamy pierwiastków tego równani pomiędzy dzielnikami wyrazu wolnego:

\(W_m(1)=1-4+3=0\)

Wykonujemy dzielenie

\( \ (m^3-4m+3):(m-1)=m^2+m-3\)

\(\underline{-m^3+m^2}\)

\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ m^2-4m+3\)

\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-m^2+m}\)

\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -3m+3\)

\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{3m-3}\)

\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\)

Mamy więc:

\(m-1)(m^2+m-3=0\)

\(m_1=1\)

\(\Delta=1+12=13\)

\(m_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\)

\(m_3=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\)

Dla tych wartości m nasz wielomian dzieli się przez (x+1) dając resztę 6.

Zauważamy, że tylko dla \(m=1\) nasz wielomian spełnia oba warunki podzielność bez reszty przez (x-2) i z resztą równą 6 przez (x+1).

Podstawiamy za m w naszym wielomianie wyznaczoną wartość:

\(W(x)=2x^3+(1^3+2)x^2−11x−2(2\cdot 1 +1)\)

\(W(x)=2x^3+3x^2−11x−6\)

Wiemy już, że jednym z pierwiastków naszego wielomianu jest liczba 2, zatem:

\( \ (2x^3+3x^2-11x-6):(x-2)=2x^2+7x+3\)

\(\underline{-2x^3+4x^2}\)

\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 7x^2-11x-6\)

\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-7x^2+14x}\)

\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3x-6\)

\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-3x+6}\)

\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\)

Mamy więc:

\(W(X)=(x-2)(2x^2+7x+3)\)

\(\Delta=49-4\cdot 2\cdot 3=25\)

\(x_1=\frac{-7-5}{4}=-3\)

\(x_2=\frac{-7+5}{4}=-\frac{1}{2}\)

ksiązki Odpowiedź

\(m=1, x_1=2, x_2=-3, x_3=-\frac{1}{2}\)

© medianauka.pl, 2023-02-12, ZAD-4710

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Sprawdzić, czy liczby \(1, \sqrt{2}\) są pierwiastkami wielomianu

\(W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dla jakiej wartości parametru \(m\) pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=mx^3-(m+1)x^2+x-1+m\) jest liczba 1?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3 — maturalne.

Dany jest wielomian \(W(x)=2x^3+ax^2−13x+b\). Liczba 3 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez (x+2) jest równa 20. Oblicz współczynniki \(a\) i \(b\) oraz pozostałe pierwiastki wielomianu \(W(x)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4 — maturalne.

Wielomian W określony wzorem \(W(x)=x^{2019}−3x^{2000}+2x+6\)

A. jest podzielny przez \((x−1)\) i z dzielenia przez \((x+1)\) daje resztę równą \(6\).

B. jest podzielny przez \((x+1)\) i z dzielenia przez \((x−1)\) daje resztę równą \(6\).

C. jest podzielny przez \((x−1)\) i jest podzielny przez \((x+1)\.

D. nie jest podzielny ani przez \((x−1)\), ani przez \((x+1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.