Zadanie - pierwiastek wielomianu, zadanie z parametrem

Rozwiązanie zadania

Pierwiastek wielomianu (lub punkt zerowy, miejsce zerowe wielomianu) \(W(x)\) jest to taka liczba \(a\), że wartość wielomianu dla tej liczby jest równa zeru: \(W(a)=0\).

Podstawiamy więc liczbę \(1\) do wielomianu za niewiadomą, a ponieważ liczba 1 ma być pierwiastkiem wielomianu, jego wartość jest równa zeru, otrzymane wyrażenie przyrównujemy więc do zera i rozwiązujemy otrzymane równanie ze względu na parametr \(m\).

\(W(1)=m\cdot 1^3-(m+1)\cdot 1^2+\cancel{1}-\cancel{1}+m=0\)

\(m-(m+1)+m=0\)

\(\cancel{m}-\cancel{m}-1+m=0\)

\(m=1\)

A więc dla \(m=1\) liczba \(1\) będzie pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\). Możemy to sprawdzić, podstawiając za \(m\) liczbę \(1\). Wielomian będzie miał wówczas postać:

\(W(x)=x^3-2x^2+x=x(x^2-2x+1)=x(x-1)^2\)

Widać, że liczba \(1\) jest nawet podwójnym pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\).

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-01-30, ZAD-558

Zadania podobne

Sprawdzić, czy liczby \(1, \sqrt{2}\) są pierwiastkami wielomianu

\(W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2\).

Dany jest wielomian \(W(x)=2x^3+ax^2−13x+b\). Liczba 3 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez (x+2) jest równa 20. Oblicz współczynniki \(a\) i \(b\) oraz pozostałe pierwiastki wielomianu \(W(x)\).

Wielomian określony wzorem \(W(x)=2x^3+(m^3+2)x^2−11x−2(2m+1)\) jest podzielny przez dwumian \((x−2)\) oraz przy dzieleniu przez dwumian \((x+1)\) daje resztę 6. Oblicz \(m\) oraz pierwiastki wielomianu \(W\) dla wyznaczonej wartości \(m\).

Wielomian W określony wzorem \(W(x)=x^{2019}−3x^{2000}+2x+6\)

A. jest podzielny przez \((x−1)\) i z dzielenia przez \((x+1)\) daje resztę równą \(6\).

B. jest podzielny przez \((x+1)\) i z dzielenia przez \((x−1)\) daje resztę równą \(6\).

C. jest podzielny przez \((x−1)\) i jest podzielny przez \((x+1)\.

D. nie jest podzielny ani przez \((x−1)\), ani przez \((x+1)\).