Zadanie — pierwiastek wielomianu
Treść zadania:
Sprawdzić, czy liczby \(1, \sqrt{2}\) są pierwiastkami wielomianu
\(W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2\).
Rozwiązanie zadania
Pierwiastek wielomianu (punkt zerowy, miejsce zerowe wielomianu) \(W(x)\) jest to taka liczba \(a\), że \(W(a)=0\).
Podstawiamy więc liczby: jeden i pierwiastek z dwóch do wielomianu za niewiadomą i sprawdzamy, czy jego wartość jest równa zeru.
\(W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2\)
\(W(1)=\sqrt{2}\cdot 1^5-2\cdot 1^4-\sqrt{2}\cdot 1^3+3\cdot 1^2-2\sqrt{2}\cdot 1+2=\)
\(=\cancel{\sqrt{2}}-2-\cancel{\sqrt{2}}+3-2\sqrt{2}+2=-2\sqrt{2}-3\neq 0\)
Liczba 1 nie jest więc pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\), bo wartość wielomianu w tym punkcie nie jest zerem.
Sprawdźmy kolejną liczbę, pamiętając o działaniach na potęgach i pierwiastkach:
\(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}, \ a\geq 0\)\(a^n\cdot a^m=a^{m+n}\)
\((a^n)^m=a^{m\cdot n}\)
\(W(\sqrt{2})=\sqrt{2}\cdot (\sqrt{2})^5-2\cdot (\sqrt{2})^4-\sqrt{2}\cdot (\sqrt{2})^3+3\cdot (\sqrt{2})^2-2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}+2=\)
\(=2^{\frac{1}{2}}\cdot (2^{\frac{1}{2}})^5-2\cdot (2^{\frac{1}{2}})^4-2^{\frac{1}{2}}\cdot (2^{\frac{1}{2}})^3+3\cdot 2-2\cdot 2+2=\)
\(=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{5}{2}}-2\cdot 2^{\frac{4}{2}}-2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{3}{2}}+6-4+2=\)
\(=2^{\frac{6}{2}}-2\cdot 2^2-2^{\frac{4}{2}}+4=2^3-2\cdot 4-2^2+4=8-8-4+4=0\)
Pierwiastek z dwóch jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\).
Odpowiedź
\(\sqrt{2}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\), natomiast liczba 1 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.© medianauka.pl, 2010-01-30, ZAD-557
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakiej wartości parametru \(m\) pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=mx^3-(m+1)x^2+x-1+m\) jest liczba 1?
Zadanie nr 2 — maturalne.
Dany jest wielomian \(W(x)=2x^3+ax^2−13x+b\). Liczba 3 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez (x+2) jest równa 20. Oblicz współczynniki \(a\) i \(b\) oraz pozostałe pierwiastki wielomianu \(W(x)\).
Zadanie nr 3 — maturalne.
Wielomian określony wzorem \(W(x)=2x^3+(m^3+2)x^2−11x−2(2m+1)\) jest podzielny przez dwumian \((x−2)\) oraz przy dzieleniu przez dwumian \((x+1)\) daje resztę 6. Oblicz \(m\) oraz pierwiastki wielomianu \(W\) dla wyznaczonej wartości \(m\).
Zadanie nr 4 — maturalne.
Wielomian W określony wzorem \(W(x)=x^{2019}−3x^{2000}+2x+6\)
A. jest podzielny przez \((x−1)\) i z dzielenia przez \((x+1)\) daje resztę równą \(6\).
B. jest podzielny przez \((x+1)\) i z dzielenia przez \((x−1)\) daje resztę równą \(6\).
C. jest podzielny przez \((x−1)\) i jest podzielny przez \((x+1)\.
D. nie jest podzielny ani przez \((x−1)\), ani przez \((x+1)\).