Zadanie - pierwiastek wielomianu


Sprawdzić, czy liczby 1, \ \sqrt{2} są pierwiastkami wielomianu W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2\\ W(1)=\cancel{\sqrt{2}}-2-\cancel{\sqrt{2}}+3-2\sqrt{2}+2=-2\sqrt{2}-3\neq 0
W(\sqrt{2})=\sqrt{2}\cdot (sqrt{2})^5-2\cdot (\sqrt{2})^4-\sqrt{2}\cdot (\sqrt{2})^3+3\cdot (\sqrt{2})^2-2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}+2= \\ =2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{5}{2}}-2\cdot 2^{\frac{4}{2}}-2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{3}{2}}+6-4+2=2^3-2\cdot 4-2^2+4=0

\sqrt{2} jest pierwiastkiem wielomianu W(x), natomiast liczba 1 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Pierwiastek wielomianu (punkt zerowy, miejsce zerowe wielomianu) W(x) jest to taka liczba a, że W(a)=0.

Podstawiamy więc liczby: jeden i pierwiastek z dwóch do wielomianu za niewiadomą i sprawdzamy, czy jego wartość jest równa zeru.

W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2\\ W(1)=\sqrt{2}\cdot 1^5-2\cdot 1^4-\sqrt{2}\cdot 1^3+3\cdot 1^2-2\sqrt{2}\cdot 1+2= \\ =\cancel{\sqrt{2}}-2-\cancel{\sqrt{2}}+3-2\sqrt{2}+2=-2\sqrt{2}-3\neq 0

Liczba 1 nie jest więc pierwiastkiem wielomianu W(x), bo wartość wielomianu w tym punkcie nie jest zerem.

Sprawdźmy kolejną liczbę, pamiętając o działaniach na potęgach i pierwiastkach:

\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}, \ a\geq 0 \\ a^n\cdot a^m=a^{m+n} \\ (a^n)^m=a^{m\cdot n}

W(\sqrt{2})=\sqrt{2}\cdot (sqrt{2})^5-2\cdot (\sqrt{2})^4-\sqrt{2}\cdot (\sqrt{2})^3+3\cdot (\sqrt{2})^2-2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}+2= \\ =2^{\frac{1}{2}}\cdot (2^{\frac{1}{2}})^5-2\cdot (2^{\frac{1}{2}})^4-2^{\frac{1}{2}}\cdot (2^{\frac{1}{2}})^3+3\cdot 2-2\cdot 2+2=\\ =2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{5}{2}}-2\cdot 2^{\frac{4}{2}}-2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{3}{2}}+6-4+2= \\ =2^{\frac{6}{2}}-2\cdot 2^2-2^{\frac{4}{2}}+4=2^3-2\cdot 4-2^2+4=8-8-4+4=0

Pierwiastek z dwóch jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

ksiązki Odpowiedź

\sqrt{2} jest pierwiastkiem wielomianu W(x), natomiast liczba 1 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.

© medianauka.pl, 2010-01-30, ZAD-557

Zadania podobne

kulkaZadanie - Działania na potęgach - Uprościć wyrażenie
Uprościć wyrażenie:
\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Działania na potęgach - Uprość wyrażenie
Uprościć wyrażenie:
\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Działania na potęgach - upraszczanie wyrażeń
Uprościć wyrażenie:
W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Działania na potęgach - Oblicz wartość wyrażenia
Oblicz:
3^2\cdot 9^8\cdot (\frac{1}{3})^{-3}\cdot 27^{-5}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{3}}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Działania na potęgach - oblicz wartość wyrażenia
Oblicz wartość wyrażenia:
[(\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}]^4+5\cdot 5^{-2}-(\frac{1}{5^3})^{-1}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Działania na potęgach - Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg
Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:
(5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 25^{-\frac{2}{3}}}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - działania na pierwiastkach i potęgach - Korzystając z własności działań na pierwiastkach oblicz
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: \sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - działania na pierwiastkach i potęgach
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: \sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - działania na pierwiastkach i potęgach
Oblicz wartość wyrażenia: \sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom podstawowy)
Funkcja f określona jest wzorem f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1} dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy f(-\sqrt[3]{3}) jest równa:

A. wzór
B. wzór
C. wzór
D. wzór


Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

Kolorowe skarpetki - czarno-białe grochy
Montessori - zabawa cyferkami - cyferki
Kolorowe skarpetki Miasto
kolorowe skarpetki góra lodowa
Czy kości grają rolę Boga? Matematyka niepewności
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.