Nauka » Matematyka » Działania na potęgach Potęga o wykładniku wymiernym

Zadanie - Działania na potęgach - Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg

Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:
$(5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 25^{-\frac{2}{3}}}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$(5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 25^{-\frac{2}{3}}}=(5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot (5^2)^{-\frac{2}{3}}}=(5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 5^{-\frac{4}{3}}}=$
$=(5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}-\frac{4}{3}}}=(5^{-\frac{1}{2}})^{5^{-1}}=(5^{-\frac{1}{2}})^{\frac{1}{5}}=5^{-\frac{1}{10}}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W tym zadaniu w wykładniku potęgi mamy do czynienia z działaniami na potęgach (zaznaczono je na żółto). Wykonajmy najpierw te działania. Należy uzyskać jednakowe podstawy potęg. Ponieważ liczba 25 to kwadrat liczby 5, możemy napisać:

$(5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 25^{-\frac{2}{3}}}=(5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot (5^2)^{-\frac{2}{3}}}$ tło

Stosujemy wzór:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

i otrzymujemy:

$(5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot (5^2)^{-\frac{2}{3}}}=(5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 5^{-\frac{4}{3}}}$ tło

Otrzymaliśmy iloczyn potęg o takich samych podstawach, więc możemy zastosować wzór:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

Wykonujemy działania:

$(5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 5^{-\frac{4}{3}}}=(5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}-\frac{4}{3}}}=(5^{-\frac{1}{2}})^{5^{-1}}=(5^{-\frac{1}{2}})^{\frac{1}{5}}=5^{-\frac{1}{10}}$ tło

W ostatnim kroku zastosowano pierwszy z przytoczonych tutaj wzorów.

Odpowiedź

$(5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 25^{-\frac{2}{3}}}=5^{-\frac{1}{10}}$

Zadania podobne

Zadanie - Działania na potęgach - Uprościć wyrażenie
Uprościć wyrażenie:
$\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Działania na potęgach - Uprość wyrażenie
Uprościć wyrażenie:
$\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Działania na potęgach - upraszczanie wyrażeń
Uprościć wyrażenie:
$W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Działania na potęgach - Oblicz wartość wyrażenia
Oblicz:
$3^2\cdot 9^8\cdot (\frac{1}{3})^{-3}\cdot 27^{-5}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{3}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Działania na potęgach - oblicz wartość wyrażenia
Oblicz wartość wyrażenia:
$[(\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}]^4+5\cdot 5^{-2}-(\frac{1}{5^3})^{-1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach - Korzystając z własności działań na pierwiastkach oblicz
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: $\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: $\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach
Oblicz wartość wyrażenia: $\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pierwiastek wielomianu
Sprawdzić, czy liczby $1, \ \sqrt{2}$ są pierwiastkami wielomianu $W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom podstawowy)
Funkcja f określona jest wzorem $f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}$ dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy $f(-\sqrt[3]{3})$ jest równa:

A.

Pokaż rozwiązanie zadania