Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - Działania na potęgach - Uprościć wyrażenie


Uprościć wyrażenie:
\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}


teoria Rozwiązanie zadania uproszczone

\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\frac{(2\cdot 3)^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{2^3})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=
\Large =\frac{(2\cdot 3)^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{2^3})^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\frac{2^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{4}{3}}\cdot \frac{3^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{3}{4}}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\cdot \frac{3^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{5}}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=
\Large =\frac{2^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{-\frac{3}{4}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{3}{5}}\cdot 2^{-\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=
\Large =\frac{(2^{\frac{4}{3}}\cdot  2^{-\frac{3}{4}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\cdot 2^{-\frac{3}{5}})\cdot (3^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{4}}\cdot 3^{\frac{3}{5}})}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\frac{2^{(\frac{4}{3}-\frac{3}{4}-\frac{1}{3}-\frac{3}{5})}\cdot 3^{(\frac{4}{3}+\frac{1}{4}+\frac{3}{5})}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}= \\ \frac{2^{(1-\frac{15}{20}-\frac{12}{20})}\cdot 3^{(\frac{80}{60}+\frac{15}{60}+\frac{36}{60})}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\frac{2^{-\frac{7}{20}}\cdot 3^{\frac{131}{60}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\frac{2^{-\frac{7}{20}}}{2^{\frac{3}{20}}} \cdot \frac{3^{\frac{131}{60}}}{3^{\frac{11}{60}}}=
\Large =2^{(-\frac{7}{20}-\frac{3}{20})} \cdot 3^{(\frac{131}{60}-\frac{11}{60})}=2^{-\frac{1}{2}} \cdot 3^2=
\Large =\frac{9}{2^{\frac{1}{2}}}=\frac{9}{\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}

teoria Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Kiedy obliczamy wartość skomplikowanego wyrażenia warto robić to etapami. Wówczas trudniej się pomylić w rachunkach. Zanim też zacznie się rachunki trzeba chwilę przyjrzeć się wyrażeniu i szukać metody rozwiązania.

Mamy następujące wyrażenie:
\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}} tło tło

tło Etap I

Aby działać na potęgach musimy mieć takie same podstawy albo takie same wykładniki. W naszym wyrażeniu pojawiają się najczęściej w podstawie liczby 2 i 3. Trzeba więc liczby 6 i 8 wyrazić w postaci tych pozostałych liczb:

8=2^3 \\ 6=2\cdot 3
Nasze wyrażenie przyjmuje postać:

\Large \frac{(2\cdot 3)^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{2^3})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}} tło tło tło tło

tło Etap II

Wykładnikami potęg są ułamki zwykłe oraz ułamki dziesiętne. Warto zdecydować się na jeden typ. Mamy przewagę ułamków zwykłych, więc zamienimy ułamki dziesiętne na zwykłe

0,25=\frac{1}{4} \\ -0,(3)=0,333...=-\frac{1}{3}

Jeśli nie wiesz, jak zamienić ułamek okresowy na zwykły zajrzyj do artykułu na temat sumy szeregu geometrycznego lub prostszego sposobu w artykule na temat liczb wymiernych. Przytoczymy tutaj łatwiejszy sposób:

x=0,333... \\ 10x=3,333...

Drugie równanie otrzymaliśmy, mnożąc pierwsze przez 10. Odejmujemy stronami równania i otrzymujemy:

9x=3 /:9 \\ x=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}

Podstawiamy te liczby do naszego wyrażenia i otrzymujemy:

\Large \frac{(2\cdot 3)^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{2^3})^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}} tło tło tło tło tło


tło Etap III

Wykonujemy potęgowanie iloczynu i ilorazu, według wzorów

(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n \\ (\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}, \ b\neq 0
Mamy więc:
(2\cdot 3)^{\frac{4}{3}}=2^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{4}{3}} \\ (\frac{3}{2^3})^{\frac{1}{4}}=\frac{3^{\frac{1}{4}}}{(2^3)^{\frac{1}{4}}}=\frac{3^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{3}{4}}}
Zastosowaliśmy tutaj dodatkowo wzór
(a^m)^n=a^{m\cdot n}
(\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}=\frac{3^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{5}}}
Podstawiamy te wartości do naszego wyrażenia i otrzymujemy:
\Large \frac{2^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{4}{3}}\cdot \frac{3^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{3}{4}}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\cdot \frac{3^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{5}}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}} tło tło

Skorzystajmy jeszcze ze wzoru
a^{-n}=\frac{1}{a^n}
aby pozbyć się ułamków w liczniku naszego wyrażenia.

\frac{3^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{3}{4}}}=3^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{-\frac{3}{4}}
\frac{3^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{5}}}=3^{\frac{3}{5}}\cdot 2^{-\frac{3}{5}}
Po podstawieniu powyższych przekształceń do naszego wyrażenia otrzymamy:
\Large \frac{2^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{-\frac{3}{4}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{3}{5}}\cdot 2^{-\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}tło tło

Etap IV

Grupujemy potęgi o tych samych podstawach i stosujemy wzór

a^m\cdot a^n=a^{m+n}
\Large \frac{(2^{\frac{4}{3}}\cdot  2^{-\frac{3}{4}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\cdot 2^{-\frac{3}{5}})\cdot (3^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{4}}\cdot 3^{\frac{3}{5}})}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\frac{2^{(\frac{4}{3}-\frac{3}{4}-\frac{1}{3}-\frac{3}{5})}\cdot 3^{(\frac{4}{3}+\frac{1}{4}+\frac{3}{5})}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}= \\ \frac{2^{(1-\frac{15}{20}-\frac{12}{20})}\cdot 3^{(\frac{80}{60}+\frac{15}{60}+\frac{36}{60})}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\frac{2^{-\frac{7}{20}}\cdot 3^{\frac{131}{60}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\frac{2^{-\frac{7}{20}}}{2^{\frac{3}{20}}} \cdot \frac{3^{\frac{131}{60}}}{3^{\frac{11}{60}}} tło tło tło tło

Teraz stosujemy wzór
\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}


\Large 2^{(-\frac{7}{20}-\frac{3}{20})} \cdot 3^{(\frac{131}{60}-\frac{11}{60})}=2^{-\frac{1}{2}} \cdot 3^2=\frac{9}{2^{\frac{1}{2}} tło tło

Korzystamy ze wzoru
a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}
i pozbawiamy się niewymierności z mianownika:

\Large \frac{9}{2^{\frac{1}{2}}}=\frac{9}{\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}


teoria Odpowiedź

\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}

© medianauka.pl, 2009-11-08, ZAD-377





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.