Nauka » Matematyka » Działania na potęgach Potęga o wykładniku wymiernym

Zadanie - Działania na potęgach - Uprościć wyrażenie

Uprościć wyrażenie:

$\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\frac{(2\cdot 3)^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{2^3})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=$
$\Large =\frac{(2\cdot 3)^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{2^3})^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\frac{2^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{4}{3}}\cdot \frac{3^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{3}{4}}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\cdot \frac{3^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{5}}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=$
$\Large =\frac{2^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{-\frac{3}{4}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{3}{5}}\cdot 2^{-\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=$
$\Large =\frac{(2^{\frac{4}{3}}\cdot 2^{-\frac{3}{4}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\cdot 2^{-\frac{3}{5}})\cdot (3^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{4}}\cdot 3^{\frac{3}{5}})}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\frac{2^{(\frac{4}{3}-\frac{3}{4}-\frac{1}{3}-\frac{3}{5})}\cdot 3^{(\frac{4}{3}+\frac{1}{4}+\frac{3}{5})}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}= \\ \frac{2^{(1-\frac{15}{20}-\frac{12}{20})}\cdot 3^{(\frac{80}{60}+\frac{15}{60}+\frac{36}{60})}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\frac{2^{-\frac{7}{20}}\cdot 3^{\frac{131}{60}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\frac{2^{-\frac{7}{20}}}{2^{\frac{3}{20}}} \cdot \frac{3^{\frac{131}{60}}}{3^{\frac{11}{60}}}=$
$\Large =2^{(-\frac{7}{20}-\frac{3}{20})} \cdot 3^{(\frac{131}{60}-\frac{11}{60})}=2^{-\frac{1}{2}} \cdot 3^2=$
$\Large =\frac{9}{2^{\frac{1}{2}}}=\frac{9}{\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Kiedy obliczamy wartość skomplikowanego wyrażenia warto robić to etapami. Wówczas trudniej się pomylić w rachunkach. Zanim też zacznie się rachunki trzeba chwilę przyjrzeć się wyrażeniu i szukać metody rozwiązania.

Mamy następujące wyrażenie:

$\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}$ tło

Etap I

Aby działać na potęgach musimy mieć takie same podstawy albo takie same wykładniki. W naszym wyrażeniu pojawiają się najczęściej w podstawie liczby 2 i 3. Trzeba więc liczby 6 i 8 wyrazić w postaci tych pozostałych liczb:

$8=2^3 \\ 6=2\cdot 3$
Nasze wyrażenie przyjmuje postać:

$\Large \frac{(2\cdot 3)^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{2^3})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}$ tło

Etap II

Wykładnikami potęg są ułamki zwykłe oraz ułamki dziesiętne. Warto zdecydować się na jeden typ. Mamy przewagę ułamków zwykłych, więc zamienimy ułamki dziesiętne na zwykłe

$0,25=\frac{1}{4} \\ -0,(3)=0,333...=-\frac{1}{3}$

Jeśli nie wiesz, jak zamienić ułamek okresowy na zwykły zajrzyj do artykułu na temat sumy szeregu geometrycznego lub prostszego sposobu w artykule na temat liczb wymiernych. Przytoczymy tutaj łatwiejszy sposób:

$x=0,333... \\ 10x=3,333...$

Drugie równanie otrzymaliśmy, mnożąc pierwsze przez 10. Odejmujemy stronami równania i otrzymujemy:

$9x=3 /:9 \\ x=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

Podstawiamy te liczby do naszego wyrażenia i otrzymujemy:

$\Large \frac{(2\cdot 3)^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{2^3})^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}$ tło

Etap III

Wykonujemy potęgowanie iloczynu i ilorazu, według wzorów

$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n \\ (\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}, \ b\neq 0$

Mamy więc:
$(2\cdot 3)^{\frac{4}{3}}=2^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{4}{3}} \\ (\frac{3}{2^3})^{\frac{1}{4}}=\frac{3^{\frac{1}{4}}}{(2^3)^{\frac{1}{4}}}=\frac{3^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{3}{4}}}$
Zastosowaliśmy tutaj dodatkowo wzór

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

$(\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}=\frac{3^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{5}}}$
Podstawiamy te wartości do naszego wyrażenia i otrzymujemy:

$\Large \frac{2^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{4}{3}}\cdot \frac{3^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{3}{4}}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\cdot \frac{3^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{5}}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}$ tło

Skorzystajmy jeszcze ze wzoru

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

aby pozbyć się ułamków w liczniku naszego wyrażenia.

$\frac{3^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{3}{4}}}=3^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{-\frac{3}{4}}$
$\frac{3^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{5}}}=3^{\frac{3}{5}}\cdot 2^{-\frac{3}{5}}$
Po podstawieniu powyższych przekształceń do naszego wyrażenia otrzymamy:

$\Large \frac{2^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{-\frac{3}{4}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{3}{5}}\cdot 2^{-\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}$ tło

Etap IV

Grupujemy potęgi o tych samych podstawach i stosujemy wzór

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

$\Large \frac{(2^{\frac{4}{3}}\cdot 2^{-\frac{3}{4}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\cdot 2^{-\frac{3}{5}})\cdot (3^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{4}}\cdot 3^{\frac{3}{5}})}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\frac{2^{(\frac{4}{3}-\frac{3}{4}-\frac{1}{3}-\frac{3}{5})}\cdot 3^{(\frac{4}{3}+\frac{1}{4}+\frac{3}{5})}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}= \\ \frac{2^{(1-\frac{15}{20}-\frac{12}{20})}\cdot 3^{(\frac{80}{60}+\frac{15}{60}+\frac{36}{60})}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\frac{2^{-\frac{7}{20}}\cdot 3^{\frac{131}{60}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\frac{2^{-\frac{7}{20}}}{2^{\frac{3}{20}}} \cdot \frac{3^{\frac{131}{60}}}{3^{\frac{11}{60}}}$ tło

Teraz stosujemy wzór

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

$\Large 2^{(-\frac{7}{20}-\frac{3}{20})} \cdot 3^{(\frac{131}{60}-\frac{11}{60})}=2^{-\frac{1}{2}} \cdot 3^2=\frac{9}{2^{\frac{1}{2}}$ tło

Korzystamy ze wzoru

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

i pozbawiamy się niewymierności z mianownika:

$\Large \frac{9}{2^{\frac{1}{2}}}=\frac{9}{\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$

Odpowiedź

$\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$

Zadania podobne

Zadanie - Działania na potęgach - Uprość wyrażenie

Uprościć wyrażenie:

$\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Działania na potęgach - upraszczanie wyrażeń

Uprościć wyrażenie:

$W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Działania na potęgach - Oblicz wartość wyrażenia

Oblicz:

$3^2\cdot 9^8\cdot (\frac{1}{3})^{-3}\cdot 27^{-5}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{3}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Działania na potęgach - oblicz wartość wyrażenia

Oblicz wartość wyrażenia:

$[(\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}]^4+5\cdot 5^{-2}-(\frac{1}{5^3})^{-1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Działania na potęgach - Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg

Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:

$(5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 25^{-\frac{2}{3}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach - Korzystając z własności działań na pierwiastkach oblicz

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz:

$\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: $\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach

Oblicz wartość wyrażenia: $\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pierwiastek wielomianu

Sprawdzić, czy liczby $1, \ \sqrt{2}$ są pierwiastkami wielomianu

$W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom podstawowy)

Funkcja f określona jest wzorem $f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}$ dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy $f(-\sqrt[3]{3})$ jest równa:

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 12, matura 2020

Funkcja f jest określona wzorem f(x) = 4^−x +1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Liczba f(1/2) jest równa.

A. 1/2

B. 3/2

C. 3

D. 17

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.