Nauka » Matematyka » Działania na potęgach Potęga o wykładniku wymiernym

Zadanie - Działania na potęgach - Uprościć wyrażenie

Treść zadania:

Uprościć wyrażenie:

\(\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}\)

Rozwiązanie zadania

Kiedy obliczamy wartość skomplikowanego wyrażenia warto robić to etapami. Wówczas trudniej się pomylić w rachunkach. Zanim też zacznie się rachunki trzeba chwilę przyjrzeć się wyrażeniu i szukać metody rozwiązania.

Mamy następujące wyrażenie:

\(\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}\) tło

Etap I

Aby działać na potęgach musimy mieć takie same podstawy albo takie same wykładniki. W naszym wyrażeniu pojawiają się najczęściej w podstawie liczby 2 i 3. Trzeba więc liczby 6 i 8 wyrazić w postaci tych pozostałych liczb:

\(8=2^3\)

\(6=2\cdot 3\)

Nasze wyrażenie przyjmuje postać:

\(\Large \frac{(2\cdot 3)^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{2^3})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}\)

Etap II

Wykładnikami potęg są ułamki zwykłe oraz ułamki dziesiętne. Warto zdecydować się na jeden typ. Mamy przewagę ułamków zwykłych, więc zamienimy ułamki dziesiętne na zwykłe

\(0,25=\frac{1}{4}\)

\(-0,(3)=0,333...=-\frac{1}{3}\)

Jeśli nie wiesz, jak zamienić ułamek okresowy na zwykły zajrzyj do artykułu na temat sumy szeregu geometrycznego lub prostszego sposobu w artykule na temat liczb wymiernych. Przytoczymy tutaj łatwiejszy sposób:

\(x=0,333...\)

\(10x=3,333...\)

Drugie równanie otrzymaliśmy, mnożąc pierwsze przez 10. Odejmujemy stronami równania i otrzymujemy:

\(9x=3 /:9\)

\(x=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)

Podstawiamy te liczby do naszego wyrażenia i otrzymujemy:

\(\Large \frac{(2\cdot 3)^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{2^3})^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}\)

Etap III

Wykonujemy potęgowanie iloczynu i ilorazu, według wzorów

\((a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\)

\( (\frac{a}{b})^n= \frac{a^n}{b^n}, \ b\neq 0\)

Mamy więc:

\((2\cdot 3)^{\frac{4}{3}}=2^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{4}{3}}\)

\((\frac{3}{2^3})^{\frac{1}{4}} = \frac{3^{\frac{1}{4}}}{(2^3)^{\frac{1}{4}}} = \frac{3^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{3}{4}}}\)

Zastosowaliśmy tutaj dodatkowo wzór

\((a^m)^n=a^{m\cdot n}\)

\((\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}= \frac{3^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{5}}}\)

Podstawiamy te wartości do naszego wyrażenia i otrzymujemy:

\(\Large \frac{2^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{4}{3}}\cdot \frac{3^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{3}{4}}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\cdot \frac{3^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{5}}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}\)

korzystajmy jeszcze ze wzoru

\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)

Pozbywamy się ułamków w liczniku naszego wyrażenia.

\(\frac{3^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{3}{4}}}=3^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{-\frac{3}{4}}\)

\(\frac{3^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{5}}}=3^{\frac{3}{5}}\cdot 2^{-\frac{3}{5}}\)

Po podstawieniu powyższych przekształceń do naszego wyrażenia otrzymamy:

\(\Large \frac{2^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{-\frac{3}{4}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{3}{5}}\cdot 2^{-\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}\)

Etap IV

Grupujemy potęgi o tych samych podstawach i stosujemy wzór

\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)

\(\Large \frac{(2^{\frac{4}{3}}\cdot 2^{-\frac{3}{4}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\cdot 2^{-\frac{3}{5}})\cdot (3^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{4}}\cdot 3^{\frac{3}{5}})}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\frac{2^{(\frac{4}{3}-\frac{3}{4}-\frac{1}{3}-\frac{3}{5})}\cdot 3^{(\frac{4}{3}+\frac{1}{4}+\frac{3}{5})}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\)

\(\Large \frac{2^{(1-\frac{15}{20}-\frac{12}{20})}\cdot 3^{(\frac{80}{60}+\frac{15}{60}+\frac{36}{60})}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\frac{2^{-\frac{7}{20}}\cdot 3^{\frac{131}{60}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\frac{2^{-\frac{7}{20}}}{2^{\frac{3}{20}}} \cdot \frac{3^{\frac{131}{60}}}{3^{\frac{11}{60}}}\)

Teraz stosujemy wzór:

\(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)

\(2^{(-\frac{7}{20}-\frac{3}{20})} \cdot 3^{(\frac{131}{60}-\frac{11}{60})}=2^{-\frac{1}{2}} \cdot 3^2=\frac{9}{2^{\frac{1}{2}}}\)

Korzystamy ze wzoru:

\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)

Pozbawiamy się niewymierności z mianownika:

\(\Large \frac{9}{2^{\frac{1}{2}}}=\frac{9}{\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}\)

Odpowiedź

\(\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}\)

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Uprościć wyrażenie:

\(\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Uprościć wyrażenie:

\(W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Oblicz:

\(3^2\cdot 9^8\cdot (\frac{1}{3})^{-3}\cdot 27^{-5}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{3}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Oblicz wartość wyrażenia:

\([(\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}]^4+5\cdot 5^{-2}-(\frac{1}{5^3})^{-1}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:

\((5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 25^{-\frac{2}{3}}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach, oblicz:

\(\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: \(\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Oblicz wartość wyrażenia: \(\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Sprawdzić, czy liczby \(1, \sqrt{2}\) są pierwiastkami wielomianu

\(W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

Funkcja f określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy \(f(-\sqrt[3]{3})\) jest równa:

A. \(-\frac{\sqrt[3]{9}}{2}\)

B. \(-\frac{3}{5}\)

C. \(\frac{3}{5}\)

D. \(\frac{3}{5}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 — maturalne.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=4^{-x}+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Liczba \(f(\frac{1}{2})\) jest równa.

A. \(\frac{1}{2}\)

B. \(\frac{3}{2}\)

C. \(3\)

D. \(17\)

Pokaż rozwiązanie zadania.