Nauka » Matematyka » Działania na potęgach Potęga o wykładniku wymiernym

Zadanie - Działania na potęgach - Uprość wyrażenie

Uprościć wyrażenie:

$\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}=\frac{-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}=$
$\Large =\frac{(-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}})\cdot 2x^{\frac{3}{4}}}{3x^{\frac{1}{4}}\cdot 2x^{\frac{3}{4}}}-\frac{3 \cdot 3x^{\frac{1}{4}}}{2x^{\frac{3}{4}}\cdot 3x^{\frac{1}{4}}}=$
$\Large =\frac{(-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}})\cdot 2x^{\frac{3}{4}}}{6x}-\frac{9x^{\frac{1}{4}}}{6x}=\frac{2x^{\frac{1}{2}}-2x-9x^{\frac{1}{4}}}{6x}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Kiedy obliczamy wartość skomplikowanego wyrażenia warto robić to etapami, trudniej wówczas o pomyłkę

Mamy następujące wyrażenie:

$\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}$ tło

Etap I

Pozbywamy się nawiasów, mnożąc przez siebie wszystkie elementy.
$(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)=x^{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}}-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}-1= \\ =1-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}-1=-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}$
Wstawiamy uzyskany wynik do naszego wyrażenia i otrzymujemy:

$\Large \frac{-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}$ tło

Etap II

Mamy do czynienia z różnicą ułamków o różnych mianownikach. Zgodnie z zasadami działań na ułamkach musimy je sprowadzić do wspólnego mianownika. Wystarczy licznik i mianownik jednego ułamka pomnożyć przez mianownik drugiego.

$\Large \frac{(-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}})\cdot 2x^{\frac{3}{4}}}{3x^{\frac{1}{4}}\cdot 2x^{\frac{3}{4}}}-\frac{3 \cdot 3x^{\frac{1}{4}}}{2x^{\frac{3}{4}}\cdot 3x^{\frac{1}{4}}}$ tło

W mianowniku mamy działanie na potęgach. Zgodnie ze wzorem

$a^n \cdot a^m = a^{m+n}$

mamy
$2x^{\frac{3}{4}}\cdot 3x^{\frac{1}{4}}=6x^{(\frac{3}{4}+\frac{1}{4})}=6x^1=6x$

Upraszczając jednocześnie wyrażenie w liczniku drugiego ułamka otrzymujemy:

$\Large \frac{(-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}})\cdot 2x^{\frac{3}{4}}}{6x}-\frac{9x^{\frac{1}{4}}}{6x}$ tło

Etap III

Teraz wykonujemy działania w liczniku pierwszego z ułamków, korzystając ze wzoru na iloczyn potęg o tych samych podstawach (przytoczono wyżej).
$(-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}})\cdot 2x^{\frac{3}{4}}=-2x^{(\frac{1}{4}+\frac{3}{4})}+2x^{(-\frac{1}{4}+\frac{3}{4})}=-2x+2x^{\frac{1}{2}}$

Podstawiając powyższy wynik do naszego wyrażenia i zapisując wszystko na wspólnej kresce ułamkowej otrzymujemy:

$\Large \frac{2x^{\frac{1}{2}}-2x-9x^{\frac{1}{4}}}{6x}$

Jest to rozwiązanie naszego zadania.

Odpowiedź

$\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}=\frac{2x^{\frac{1}{2}}-2x-9x^{\frac{1}{4}}}{6x}$

Zadania podobne

Zadanie - Działania na potęgach - Uprościć wyrażenie

Uprościć wyrażenie:

$\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Działania na potęgach - upraszczanie wyrażeń

Uprościć wyrażenie:

$W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Działania na potęgach - Oblicz wartość wyrażenia

Oblicz:

$3^2\cdot 9^8\cdot (\frac{1}{3})^{-3}\cdot 27^{-5}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{3}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Działania na potęgach - oblicz wartość wyrażenia

Oblicz wartość wyrażenia:

$[(\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}]^4+5\cdot 5^{-2}-(\frac{1}{5^3})^{-1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Działania na potęgach - Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg

Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:

$(5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 25^{-\frac{2}{3}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach - Korzystając z własności działań na pierwiastkach oblicz

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz:

$\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: $\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach

Oblicz wartość wyrażenia: $\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pierwiastek wielomianu

Sprawdzić, czy liczby $1, \ \sqrt{2}$ są pierwiastkami wielomianu

$W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom podstawowy)

Funkcja f określona jest wzorem $f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}$ dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy $f(-\sqrt[3]{3})$ jest równa:

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 12, matura 2020

Funkcja f jest określona wzorem f(x) = 4^−x +1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Liczba f(1/2) jest równa.

A. 1/2

B. 3/2

C. 3

D. 17

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.