Nauka » Matematyka » Działania na pierwiastkach • Potęga o wykładniku wymiernym • Trójkąt

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach

Treść zadania:

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: \(\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}\).

Rozwiązanie zadania

I sposób

W pierwszej kolejności należy skorzystać z własności działań na pierwiastkach. Mamy do czynienia z iloczynem trzech pierwiastków w różnych stopniach. Aby wykonać mnożenie, sprowadzamy oba pierwiastki do tego samego stopnia. Tutaj będzie to stopień dwudziesty. Skorzystamy z dwóch wzorów:

\(\sqrt[n]{a^n}=a,\ a\geq 0\)
\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} =\sqrt[m\cdot n]{a},\ a\geq 0\)

Zgodnie z pierwszym wzorem (odpowiednie rachunki zaznaczono żółtym kolorem), a potem drugim wzorem mamy

\(\sqrt{2}=\sqrt{\sqrt[10]{2^{10}}}=\sqrt[2\cdot 10]{2^{10}}=\sqrt[20]{2^{10}}\)
\(\sqrt[4]{4}=\sqrt[4]{\sqrt[5]{4^5}}=\sqrt[4\cdot 5]{4^5}=\sqrt[20]{(2^2)^5}=\sqrt[20]{2^{10}}\)
\(\sqrt[5]{16}=\sqrt[5]{\sqrt[4]{16^4}}=\sqrt[4\cdot 5]{16^4}=\sqrt[20]{(2^4)^4}=\sqrt[20]{2^{16}}\)

Możemy teraz przystąpić do obliczenia iloczynu:

\(\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}=\sqrt[20]{2^{10}}\cdot \sqrt[20]{2^{10}}:\sqrt[20]{2^{16}}=\sqrt[20]{2^{10}\cdot 2^{10}:2^{16}}\)

W powyższych obliczeniach wykorzystano inne własności działań na pierwiastkach. Oto one:

\(\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}\)<br>\(\sqrt[n]{a}: \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a:b}\)

Skorzystamy teraz z podstawowych własności działań na potęgach:

\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)
\(a^m:a^n=a^{m-n}\)
\(\sqrt[20]{2^{10}\cdot 2^{10}:2^{16}}=\sqrt[20]{2^{10+10-16}}=\sqrt[20]{2^4}\)

Wynik można jeszcze uprościć, korzystając ponownie ze wzorów:

\(\sqrt[n]{a^n}=a,\ a\geq 0\)
\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a},\ a\geq 0\) \(\sqrt[20]{2^4}=\sqrt[4\cdot 5]{2^4}=\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^4}}=\sqrt[5]{2}\)

Odpowiedź

\(\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}=\sqrt[5]{2}\)

II sposób

W drugim rozwiązaniu skorzystamy z własności działań na potęgach. Zaczniemy od zamiany pierwiastków na potęgi zgodnie z poniższym wzorem:

\(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}},\ a\geq 0\)
\(\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}:16^{\frac{1}{5}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot (2^2)^{\frac{1}{4}}:(2^4)^{\frac{1}{5}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}:2^{\frac{4}{5}}\)

Skorzystaliśmy tutaj ze wzoru:

\((a^n)^m=a^{m\cdot n}\)

Teraz skorzystamy z następujących wzorów:

\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)
\(a^m:a^n=a^{m-n}\)

Otrzymujemy wynik:

\(2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}:2^{\frac{4}{5}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{4}{5}}=2^{\frac{5}{10}+\frac{5}{10}-\frac{8}{10}}=2^{\frac{2}{10}}=2^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{2}\)