Strona główna » Matematyka » Potęga o wykładniku wymiernym • Działania na pierwiastkach

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: $\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

I sposób

$\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}=\sqrt[20]{2^{10}}\cdot \sqrt[20]{4^5}:\sqrt[20]{16^4}=\sqrt[20]{2^{10}\cdot (2^2)^5:(2^4)^4}= \\ =\sqrt[20]{2^{10}\cdot 2^{10}:2^{16}}=\sqrt[20]{2^{10+10-16}}=\sqrt[20]{2^4}=\sqrt[20]{16}=\\ =\sqrt[4\cdot 5]{2^4}=\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^4}}=\sqrt[5]{2}$

II sposób

$\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}: 16^{\frac{1}{5}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}: 2^{\frac{4}{5}}=2^{\frac{5}{10}}\cdot 2^{\frac{5}{10}}: 2^{\frac{8}{10}}=2^{\frac{5}{10}+\frac{5}{10}-\frac{8}{10}}=\\ =2^{\frac{2}{10}}=2^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{2}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

I sposób

W pierwszej kolejności należy skorzystać z własności działań na pierwiastkach. Mamy do czynienia z iloczynem trzech pierwiastków w różnych stopniach. Aby wykonać mnożenie sprowadzamy oba pierwiastki do tego samego stopnia. Tutaj będzie to stopień dwudziesty. Skorzystamy z dwóch wzorów:

$\sqrt[n]{a^n}=a,\ a\geq 0 \\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a},\ a\geq 0$

Zgodnie z pierwszym wzorem (odpowiednie rachunki zaznaczono żółtym kolorem), a potem drugim wzorem mamy

$\sqrt{2}=\sqrt{\sqrt[10]{2^{10}}}=\sqrt[2\cdot 10]{2^{10}}=\sqrt[20]{2^{10}}$ $\sqrt[4]{4}=\sqrt[4]{\sqrt[5]{4^5}}=\sqrt[4\cdot 5]{4^5}=\sqrt[20]{(2^2)^5}=\sqrt[20]{2^{10}}$ $\sqrt[5]{16}=\sqrt[5]{\sqrt[4]{16^4}}=\sqrt[4\cdot 5]{16^4}=\sqrt[20]{(2^4)^4}=\sqrt[20]{2^{16}}$ tło

Możemy teraz przystąpić do obliczenia iloczynu:

$\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}=\sqrt[20]{2^{10}}\cdot \sqrt[20]{2^{10}}:\sqrt[20]{2^{16}}=\sqrt[20]{2^{10}\cdot 2^{10}:2^{16}}$

W powyższych obliczeniach wykorzystano inne własności działań na pierwiastkach. Oto one:

$\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b} \\ \sqrt[n]{a}: \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a:b}$

Skorzystamy teraz z podstawowych własności działań na potęgach:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n} \\ a^m:a^n=a^{m-n}$

$\sqrt[20]{2^{10}\cdot 2^{10}:2^{16}}=\sqrt[20]{2^{10+10-16}}=\sqrt[20]{2^4}$

Wynik można jeszcze uprościć, korzystając ponownie ze wzorów:

$\sqrt[n]{a^n}=a,\ a\geq 0 \\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a},\ a\geq 0$

$\sqrt[20]{2^4}=\sqrt[4\cdot 5]{2^4}=\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^4}}=\sqrt[5]{2}$

Odpowiedź

$\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}=\sqrt[5]{2}$

II sposób

W drugim rozwiązaniu skorzystamy z własności działań na potęgach. Zaczniemy od zamiany pierwiastków na potęgi zgodnie z poniższym wzorem:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}},\ a\geq 0$

$\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}:16^{\frac{1}{5}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot (2^2)^{\frac{1}{4}}:(2^4)^{\frac{1}{5}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}:2^{\frac{4}{5}}$

Skorzystaliśmy tutaj ze wzoru:

$(a^n)^m=a^{m\cdot n}$

Teraz skorzystamy z nastęujących wzorów:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n} \\ a^m:a^n=a^{m-n}$

I otrzymujemy wynik:

$2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}:2^{\frac{4}{5}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{4}{5}}=2^{\frac{5}{10}+\frac{5}{10}-\frac{8}{10}}=2^{\frac{2}{10}}=2^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{2}$