Nauka » Matematyka » Potęga o wykładniku wymiernym Działania na pierwiastkach Trójkąt

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: $\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

I sposób

$\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}=\sqrt[20]{2^{10}}\cdot \sqrt[20]{4^5}:\sqrt[20]{16^4}=\sqrt[20]{2^{10}\cdot (2^2)^5:(2^4)^4}= \\ =\sqrt[20]{2^{10}\cdot 2^{10}:2^{16}}=\sqrt[20]{2^{10+10-16}}=\sqrt[20]{2^4}=\sqrt[20]{16}=\\ =\sqrt[4\cdot 5]{2^4}=\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^4}}=\sqrt[5]{2}$

II sposób

$\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}: 16^{\frac{1}{5}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}: 2^{\frac{4}{5}}=2^{\frac{5}{10}}\cdot 2^{\frac{5}{10}}: 2^{\frac{8}{10}}=2^{\frac{5}{10}+\frac{5}{10}-\frac{8}{10}}=\\ =2^{\frac{2}{10}}=2^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{2}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

I sposób

W pierwszej kolejności należy skorzystać z własności działań na pierwiastkach. Mamy do czynienia z iloczynem trzech pierwiastków w różnych stopniach. Aby wykonać mnożenie sprowadzamy oba pierwiastki do tego samego stopnia. Tutaj będzie to stopień dwudziesty. Skorzystamy z dwóch wzorów:

$\sqrt[n]{a^n}=a,\ a\geq 0 \\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a},\ a\geq 0$

Zgodnie z pierwszym wzorem (odpowiednie rachunki zaznaczono żółtym kolorem), a potem drugim wzorem mamy

$\sqrt{2}=\sqrt{\sqrt[10]{2^{10}}}=\sqrt[2\cdot 10]{2^{10}}=\sqrt[20]{2^{10}}$ $\sqrt[4]{4}=\sqrt[4]{\sqrt[5]{4^5}}=\sqrt[4\cdot 5]{4^5}=\sqrt[20]{(2^2)^5}=\sqrt[20]{2^{10}}$ $\sqrt[5]{16}=\sqrt[5]{\sqrt[4]{16^4}}=\sqrt[4\cdot 5]{16^4}=\sqrt[20]{(2^4)^4}=\sqrt[20]{2^{16}}$ tło

Możemy teraz przystąpić do obliczenia iloczynu:

$\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}=\sqrt[20]{2^{10}}\cdot \sqrt[20]{2^{10}}:\sqrt[20]{2^{16}}=\sqrt[20]{2^{10}\cdot 2^{10}:2^{16}}$

W powyższych obliczeniach wykorzystano inne własności działań na pierwiastkach. Oto one:

$\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b} \\ \sqrt[n]{a}: \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a:b}$

Skorzystamy teraz z podstawowych własności działań na potęgach:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n} \\ a^m:a^n=a^{m-n}$

$\sqrt[20]{2^{10}\cdot 2^{10}:2^{16}}=\sqrt[20]{2^{10+10-16}}=\sqrt[20]{2^4}$

Wynik można jeszcze uprościć, korzystając ponownie ze wzorów:

$\sqrt[n]{a^n}=a,\ a\geq 0 \\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a},\ a\geq 0$

$\sqrt[20]{2^4}=\sqrt[4\cdot 5]{2^4}=\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^4}}=\sqrt[5]{2}$

Odpowiedź

$\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}=\sqrt[5]{2}$

II sposób

W drugim rozwiązaniu skorzystamy z własności działań na potęgach. Zaczniemy od zamiany pierwiastków na potęgi zgodnie z poniższym wzorem:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}},\ a\geq 0$

$\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}:16^{\frac{1}{5}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot (2^2)^{\frac{1}{4}}:(2^4)^{\frac{1}{5}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}:2^{\frac{4}{5}}$

Skorzystaliśmy tutaj ze wzoru:

$(a^n)^m=a^{m\cdot n}$

Teraz skorzystamy z nastęujących wzorów:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n} \\ a^m:a^n=a^{m-n}$

I otrzymujemy wynik:

$2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}:2^{\frac{4}{5}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{4}{5}}=2^{\frac{5}{10}+\frac{5}{10}-\frac{8}{10}}=2^{\frac{2}{10}}=2^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{2}$

Odpowiedź

$\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}=\sqrt[5]{2}$

Zadania podobne

Zadanie - trójkąt w układzie współrzędnych
Dany jest trójkąt o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2). Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej z wierzchołka C.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - środek ciężkości trójkąta
Znaleźć środek ciężkości w trójkącie o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2).

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wysokość w trójkącie
Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o ramionach długości 10 i podstawie długości 12.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt równoramienny
W trójkącie równoramiennym o ramionach długości 5 wysokość ma długość 4. Oblicz długość podstawy.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - suma miar kątów w tójkącie
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30^o. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąty, obliczanie długości boków
W trójkącie ABC dwa kąty wewnętrzne mają miarę 30^o. Długość podstawy jest równa 12. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąty, znajdowanie długości boków
W trójkącie ABC jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30^o. Wysokość i bok tego trójkąta, leżące naprzeciwko tego kąta mają długość odpowiednio 3 i 4. Znaleźć długości pozostałych boków tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt równoramienny
Czy długość podstawy trójkąta równoramiennego może być dwa razy większa od długości ramienia tego trójkąta?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 18, matura 2016 (poziom podstawowy)
Z odcinków o długościach: 5, 2a+1, a-1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

A. a=6
B. a=4
C. a=3
D. a=2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 32, matura 2016 (poziom podstawowy)
Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50°. Oblicz kąty tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 6, matura 2017 (poziom rozszerzony)
W trójkącie ostrokątnym ABC bok AB ma długość c, długość boku BC jest równa a oraz ∠ABC = β . Dwusieczna kąta ABC przecina bok AC trójkąta w punkcie E. Wykaż, że długość odcinka BE jest równa

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 3, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Dany jest czworokąt wypukły ABCD, w którym |AD|=|AB|=|BC|=a, |∠BAD|=60° i |∠ADC|=135°. Oblicz pole czworokąta ABCD.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 3, matura 2019 - poziom rozszerzony

Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|. Na ramieniu AC tego trójkąta wybrano punkt M (M ≠ A i M ≠ C ), a na ramieniu BC wybrano punkt N, w taki sposób, że |AM| = |CN|. Przez punkty M i N poprowadzono proste prostopadłe do podstawy AB tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty S i T. Udowodnij, że |ST| = 1/2|AB|.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 17, matura 2021

Prosta k jest styczna w punkcie A do okręgu o środku O. Punkt B leży na tym okręgu
i miara kąta AIB jest równa 80°. Przez punkty O i B poprowadzono prostą, która przecina prostą k w punkcie C (zobacz rysunek).

Zadanie 17, matura 2021

A. 10°

B. 30°

C. 40°

D. 50°

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.