Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz:
Rozwiązanie zadania uproszczone
I sposób
![\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}=\sqrt[20]{2^{10}}\cdot \sqrt[20]{4^5}:\sqrt[20]{16^4}=\sqrt[20]{2^{10}\cdot (2^2)^5:(2^4)^4}= \\ =\sqrt[20]{2^{10}\cdot 2^{10}:2^{16}}=\sqrt[20]{2^{10+10-16}}=\sqrt[20]{2^4}=\sqrt[20]{16}=\\ =\sqrt[4\cdot 5]{2^4}=\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^4}}=\sqrt[5]{2}](matematyka/wzory/zad14/2.gif)
II sposób
![\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}: 16^{\frac{1}{5}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}: 2^{\frac{4}{5}}=2^{\frac{5}{10}}\cdot 2^{\frac{5}{10}}: 2^{\frac{8}{10}}=2^{\frac{5}{10}+\frac{5}{10}-\frac{8}{10}}=\\ =2^{\frac{2}{10}}=2^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{2}](matematyka/wzory/zad14/3.gif)
Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
I sposób
W pierwszej kolejności należy skorzystać z własności działań na pierwiastkach. Mamy do czynienia z iloczynem trzech pierwiastków w różnych stopniach. Aby wykonać mnożenie sprowadzamy oba pierwiastki do tego samego stopnia. Tutaj będzie to stopień dwudziesty. Skorzystamy z dwóch wzorów:
![\sqrt[n]{a^n}=a,\ a\geq 0 \\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a},\ a\geq 0](matematyka/wzory/zad14/4.gif)
Zgodnie z pierwszym wzorem (odpowiednie rachunki zaznaczono żółtym kolorem), a potem drugim wzorem mamy
![\sqrt{2}=\sqrt{\sqrt[10]{2^{10}}}=\sqrt[2\cdot 10]{2^{10}}=\sqrt[20]{2^{10}}](matematyka/wzory/zad14/5.gif)
![\sqrt[4]{4}=\sqrt[4]{\sqrt[5]{4^5}}=\sqrt[4\cdot 5]{4^5}=\sqrt[20]{(2^2)^5}=\sqrt[20]{2^{10}}](matematyka/wzory/zad14/6.gif)
![\sqrt[5]{16}=\sqrt[5]{\sqrt[4]{16^4}}=\sqrt[4\cdot 5]{16^4}=\sqrt[20]{(2^4)^4}=\sqrt[20]{2^{16}}](matematyka/wzory/zad14/7.gif)






Możemy teraz przystąpić do obliczenia iloczynu:
![\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}=\sqrt[20]{2^{10}}\cdot \sqrt[20]{2^{10}}:\sqrt[20]{2^{16}}=\sqrt[20]{2^{10}\cdot 2^{10}:2^{16}}](matematyka/wzory/zad14/8.gif)
W powyższych obliczeniach wykorzystano inne własności działań na pierwiastkach. Oto one:
![\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b} \\ \sqrt[n]{a}: \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a:b}](matematyka/wzory/zad14/9.gif)
Skorzystamy teraz z podstawowych własności działań na potęgach:

![\sqrt[20]{2^{10}\cdot 2^{10}:2^{16}}=\sqrt[20]{2^{10+10-16}}=\sqrt[20]{2^4}](matematyka/wzory/zad14/11.gif)
Wynik można jeszcze uprościć, korzystając ponownie ze wzorów:
![\sqrt[n]{a^n}=a,\ a\geq 0 \\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a},\ a\geq 0](matematyka/wzory/zad14/12.gif)
![\sqrt[20]{2^4}=\sqrt[4\cdot 5]{2^4}=\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^4}}=\sqrt[5]{2}](matematyka/wzory/zad14/13.gif)
Odpowiedź
![\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}=\sqrt[5]{2}](matematyka/wzory/zad14/14.gif)
II sposób
W drugim rozwiązaniu skorzystamy z własności działań na potęgach. Zaczniemy od zamiany pierwiastków na potęgi zgodnie z poniższym wzorem:
![\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}},\ a\geq 0](matematyka/wzory/zad14/15.gif)
![\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}:16^{\frac{1}{5}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot (2^2)^{\frac{1}{4}}:(2^4)^{\frac{1}{5}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}:2^{\frac{4}{5}}](matematyka/wzory/zad14/16.gif)
Skorzystaliśmy tutaj ze wzoru:

Teraz skorzystamy z nastęujących wzorów:

I otrzymujemy wynik:
![2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}:2^{\frac{4}{5}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{4}{5}}=2^{\frac{5}{10}+\frac{5}{10}-\frac{8}{10}}=2^{\frac{2}{10}}=2^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{2}](matematyka/wzory/zad14/19.gif)
Odpowiedź
![\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}=\sqrt[5]{2}](matematyka/wzory/zad14/14.gif)
© medianauka.pl, 2009-11-23, ZAD-392
Zadania podobne

Dany jest trójkąt o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2). Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej z wierzchołka C.
Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć środek ciężkości w trójkącie o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2).
Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o ramionach długości 10 i podstawie długości 12.
Pokaż rozwiązanie zadania

W trójkącie równoramiennym o ramionach długości 5 wysokość ma długość 4. Oblicz długość podstawy.
Pokaż rozwiązanie zadania

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.
Pokaż rozwiązanie zadania

W trójkącie ABC dwa kąty wewnętrzne mają miarę 30o. Długość podstawy jest równa 12. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta.
Pokaż rozwiązanie zadania

W trójkącie ABC jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Wysokość i bok tego trójkąta, leżące naprzeciwko tego kąta mają długość odpowiednio 3 i 4. Znaleźć długości pozostałych boków tego trójkąta.
Pokaż rozwiązanie zadania

Czy długość podstawy trójkąta równoramiennego może być dwa razy większa od długości ramienia tego trójkąta?
Pokaż rozwiązanie zadania

Z odcinków o długościach: 5, 2a+1, a-1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że
A. a=6
B. a=4
C. a=3
D. a=2
Pokaż rozwiązanie zadania

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50°. Oblicz kąty tego trójkąta.
Pokaż rozwiązanie zadania

W trójkącie ostrokątnym ABC bok AB ma długość c, długość boku BC jest równa a oraz ∠ABC = β . Dwusieczna kąta ABC przecina bok AC trójkąta w punkcie E. Wykaż, że długość odcinka BE jest równa

Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest czworokąt wypukły ABCD, w którym |AD|=|AB|=|BC|=a, |∠BAD|=60° i |∠ADC|=135°. Oblicz pole czworokąta ABCD.
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|. Na ramieniu AC tego trójkąta wybrano punkt M (M ≠ A i M ≠ C ), a na ramieniu BC wybrano punkt N, w taki sposób, że |AM| = |CN|. Przez punkty M i N poprowadzono proste prostopadłe do podstawy AB tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty S i T. Udowodnij, że |ST| = 1/2|AB|.
Pokaż rozwiązanie zadania

Prosta k jest styczna w punkcie A do okręgu o środku O. Punkt B leży na tym okręgu
i miara kąta AIB jest równa 80°. Przez punkty O i B poprowadzono prostą, która przecina prostą k w punkcie C (zobacz rysunek).
A. 10°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
Pokaż rozwiązanie zadania