Trójkąt

Co to jest trójkąt? Oto definicja trójkąta:

Trójkąt jest to wielokąt o trzech bokach.

Przykłady

Na poniższych rysunkach przedstawiono różne trójkąty.

trójkąty

Odcinki, które tworzą łamaną zwyczajną zamkniętą, nazywamy bokami trójkąta, a wierzchołki tej łamanej będziemy nazywać wierzchołkami trójkąta. Kąt wypukły, w którego ramionach zawierają się dwa sąsiednie boku trójkąta, będziemy nazywać kątem wewnętrznym trójkąta.

trójkąt

Przyjęło się również nazywać jeden z dowolnych boków trójkąta podstawą trójkąta, a dwa pozostałe — ramionami trójkąta i nie ma tutaj znaczenia, który z boków obierzemy za podstawę.

Wysokość trójkąta

Wysokość trójkąta jest to odcinek, który łączy wierzchołek trójkąta z rzutem tego wierzchołka na prostą zawierającą dwa pozostałe wierzchołki trójkąta.

Wysokość w trójkącie zwykle oznaczamy literą \(h\). Ponieważ trójkąt posiada trzy wierzchołki, posiada też trzy równe wysokości.

Na poniższym rysunku zaznaczono wszystkie wysokości w różnych trójkątach.

wysokość w trójkącie

Widać, że proste zawierające wysokości w trójkącie przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten nazywamy ortocentrum trójkąta.

Środkowa trójkąta

Środkowa w trójkącie (środkowa trójkąta) jest to odcinek łączący środek boku trójkąta z przeciwległym wierzchołkiem trójkąta.

Środek ciężkości w trójkącie

Środkowe trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy środkiem ciężkości trójkąta S. Środek ciężkości dzieli każdą ze środkowych w stosunku 2:1.

środek ciężkości w trójkącie

Rodzaje trójkątów

Trójkąty można klasyfikować według kilku różnych kryteriów. Poniżej opisujemy kilka z nich.

Podział trójkątów ze względu na kąty

Ze względu na kąty w trójkącie rozróżniamy następujące figury:

podział trójkątów ze względu na kąty

Twierdzenie

Suma kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180°.

Podział trójkątów ze względu na boki

Ze względu na boki w trójkącie rozróżniamy następujące figury:

podział trójkątów ze względu na kąty

Na powyższym rysunku zamieszczono także informację o kątach w poszczególnych trójkątach. W trójkącie równobocznym wszystkie kąty są równe, w trójkącie równoramiennym dwa kąty przy podstawie są równe.

Konstrukcja trójkąta, gdy dane są długości jego boków

Poniższy film ilustruje sposób konstrukcji trójkąta z trzech odcinków o danej długości:

Pytania

Jak narysować trójkąt równoboczny?

Nieco wyżej zamieściliśmy film na temat konstrukcji trójkąta. W przypadku trójkąta równobocznego sytuacja jest łatwiejsza niż przedstawiona na filmie, gdyż nie zmieniamy rozwartości cyrkla podczas konstrukcji.

Wystarczy narysować podstawę o zadanej długości i cyrklem o rozwartości na długość tej podstawy narysować z końców podstawy dwa przecinające się łuki, które wyznaczą trzeci wierzchołek szukanego trójkąta.

Jak wygląda trójkąt rozwartokątny?

Oto przykład trójkąta rozwartokątnego. Zaznaczono odpowiedni kąt rozwarty.

trójkąt rozwartokątny

Jak opisać okrąg na trójkącie?

Informacje na ten temat znajdziesz w artykule: Okrąg opisany na trójkącie.

Jak wpisać okrąg na trójkąt?

Informacje na ten temat znajdziesz w artykule: Okrąg wpisany na trójkąt.

Co to jest trójkąt pitagorejski?

Trójkąt pitagorejski jest to trójkąt, którego boki są wyrażone liczbami naturalnymi \(a, b, c\) związanymi warunkiem \(a^2+b^2=c^2\). Będą to, jak wiemy trójkąty prostokątne.

Co to jest trójkąt egipski?

Trójkąt egipski jest to szczególny przypadek trójkąta pitagorejskiego. Jego boki mają długości odpowiednio 3, 4 i 5. Za pomocą listew o odpowiedniej długości (3,4,5) w starożytnym Egipcie i w Babilonii wyznaczano kąty proste. To jednocześnie jedyny trójkąt pitagorejski, którego długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Dany jest trójkąt o wierzchołkach \(A=(-1,0), B=(1,-1)\) i \(C=(1,2)\). Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej z wierzchołka C.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2.

Znaleźć środek ciężkości w trójkącie o wierzchołkach \(A=(-1,0), B=(1,-1)\) i \(C=(1,2)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3.

Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o ramionach długości 10 i o podstawie długości 12.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4.

W trójkącie równoramiennym o ramionach długości 5 wysokość ma długość 4. Oblicz długość podstawy.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5.

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30°. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6.

W trójkącie \(ABC\) dwa kąty wewnętrzne mają miarę 30°. Długość podstawy jest równa 12. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7.

W trójkącie \(ABC\) jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Wysokość i bok tego trójkąta, leżące naprzeciwko tego kąta mają długość odpowiednio 3 i 4. Znaleźć długości pozostałych boków tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8.

Czy długość podstawy trójkąta równoramiennego może być dwa razy większa od długości ramienia tego trójkąta?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Z odcinków o długościach: \(5, 2a+1, a-1\) można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

A. \(a=6\)

B. \(a=4\)

C. \(a=3\)

D. \(a=2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o \(50°\). Oblicz kąty tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) bok \(AB\) ma długość \(c\), długość boku \(BC\) jest równa a oraz \(\angle ABC=\beta\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina bok \(AC\) trójkąta w punkcie \(E\). Wykaż, że długość odcinka \(BE\) jest równa \(\frac{2ac\cdot \cos{\frac{\beta}{2}}}{a+c}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12.

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: \(\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Dany jest czworokąt wypukły \(ABCD\), w którym \(|AD|=|AB|=|BC|=a\), \(|\angle BAD|=60°\) i \(|\angle ADC|=135°\). Oblicz pole czworokąta \(ABCD\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Na ramieniu AC tego trójkąta wybrano punkt \(M (M\neq A, M\neq C)\), a na ramieniu \(BC\) wybrano punkt \(N\), w taki sposób, że \(|AM| = |CN|\). Przez punkty \(M\) i \(N\) poprowadzono proste prostopadłe do podstawy \(AB\) tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty \(S\) i \(T\). Udowodnij, że \(|ST| = 1/2|AB|\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15 — maturalne.

Prosta \(k\) jest styczna w punkcie \(A\) do okręgu o środku \(O\). Punkt \(B\) leży na tym okręgu i miara kąta \(AOB\) jest równa 80°. Przez punkty \(O\) i \(B\) poprowadzono prostą, która przecina prostą \(k\) w punkcie \(C\) (zobacz rysunek).

Zadanie 17, matura 2021

A. 10°

B. 30°

C. 40°

D. 50°

Pokaż rozwiązanie zadania.



Powiązane quizy

Pole trójkąta — quiz

Liczba pytań: 10
Quiz szkolny
Średni wynik:
23.17 / 231.7%
2024-01-22


Wybrane karty pracy

ikona - karta pracy

Pokoloruj trójkąty

ikona - karta pracy

Liczby i figury




Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2010-11-13, A-1017
Data aktualizacji artykułu: 2023-06-15



Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.