Logo Serwisu Media Nauka


Trójkąt

Definicja Definicja

Trójkąt jest to wielokąt o trzech bokach.

Przykład Przykład

Na poniższych rysunkach przedstawiono różne trójkąty.

trójkąty

Odcinki, które tworzą łamaną zwyczajną zamkniętą, nazywamy bokami trójkąta, a wierzchołki tej łamanej będziemy nazywać wierzchołkami trójkąta. Kąt wypukły, w którego ramionach zawierają się dwa sąsiednie boku trójkąta będziemy nazywać kątem wewnętrznym trójkąta

trójkąt


A,B,C - wierzchołki trójkąta
a,b,c - boki trójkąta
\alpha,\beta,\gamma - kąty wewnętrzne w trójkącie.


Przyjęło się również nazywać jeden z dowolnych boków trójkąta podstawą trójkąta, a dwa pozostałe - ramionami trójkąta i nie ma tutaj znaczenia który z boków obierzemy za podstawę.

Definicja Definicja

Wysokość trójkąta jest to odcinek, który łączy wierzchołek trójkąta z rzutem tego wierzchołka na prostą zawierającą dwa pozostałe wierzchołki trójkąta.
Wysokość zwykle oznaczamy literą h. Ponieważ trójkąt posiada trzy wierzchołki, posiada też trzy równe wysokości.

Na poniższym rysunku zaznaczono wszystkie wysokości w różnych trójkątach.

wysokość w trójkącie

Widać, że proste zawierające wysokości w trójkącie przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten nazywamy ortocentrum trójkąta.

Definicja Definicja

Środkowa w trójkącie jest to odcinek łączący środek boku trójkąta z przeciwległym wierzchołkiem trójkąta.

Twierdzenie Twierdzenie

Środkowe trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy środkiem ciężkości trójkąta S. Środek ciężkości dzieli każdą ze środkowych w stosunku 2:1.

środek ciężkości w trójkącie

Podział trójkątów ze względu na kąty

Definicja Definicja

Ze względu na kąty w trójkącie rozróżniamy następujące figury:

  • trójkąt ostrokątny - jest to trójkąt, w którym wszystkie kąty są ostre;
  • trójkąt rozwartokątny - jest to trójkąt, w którym jeden z jego kątów jest rozwarty;
  • trójkąt prostokątny - jest to trójkąt, w którym jeden z kątów jest kątem prostym. Każdy z boków, który leży przy tym kącie nazywamy przyprostokątną, a bok leżący naprzeciw kąta prostego nazywamy przeciwprostokątną.
podział trójkątów ze względu na kąty

Twierdzenie Twierdzenie

Suma kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180°

Podział trójkątów ze względu na boki

Definicja Definicja

Ze względu na boki w trójkącie rozróżniamy następujące figury:

  • trójkąt równoboczny - jest to trójkąt, w którym wszystkie boki są równe;
  • trójkąt równoramienny - jest to trójkąt, w którym przynajmniej dwa boki są równe (zgodnie z tą definicją trójkąt równoboczny jest także trójkątem równoramiennym);
  • trójkąt różnoboczny - jest to trójkąt, w którym żadne dwa boki nie są równe.
podział trójkątów ze względu na kąty

Na powyższym rysunku zamieszczono także informację o kątach w poszczególnych trójkątach. W trójkącie równobocznym wszystkie kąty są równe, w trójkącie równoramiennym dwa kąty przy podstawie są równe.

Konstrukcja trójkąta, gdy dane są długości jego boków

Poniższy film ilustruje sposób konstrukcji trójkąta z trzech odcinków o danej długości:


© Media Nauka, 2010-11-13, ART-1017



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 594 - trójkąt w układzie współrzędnych
Dany jest trójkąt o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2). Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej z wierzchołka C.

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 18, matura 2016 (poziom podstawowy)
Z odcinków o długościach: 5, 2a+1, a-1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

A. a=6
B. a=4
C. a=3
D. a=2

zadanie - ikonka Zadanie 609 - trójkąt równoramienny
Czy długość podstawy trójkąta równoramiennego może być dwa razy większa od długości ramienia tego trójkąta?

zadanie - ikonka Zadanie 602 - trójkąty, znajdowanie długości boków
W trójkącie ABC jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Wysokość i bok tego trójkąta, leżące naprzeciwko tego kąta mają długość odpowiednio 3 i 4. Znaleźć długości pozostałych boków tego trójkąta.

zadanie - ikonka Zadanie 601 - trójkąty, obliczanie długości boków
W trójkącie ABC dwa kąty wewnętrzne mają miarę 30o. Długość podstawy jest równa 12. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta.

zadanie - ikonka Zadanie 599 - suma miar kątów w tójkącie
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.

zadanie - ikonka Zadanie 598 - trójkąt równoramienny
W trójkącie równoramiennym o ramionach długości 5 wysokość ma długość 4. Oblicz długość podstawy.

zadanie - ikonka Zadanie 596 - wysokość w trójkącie
Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o ramionach długości 10 i podstawie długości 12.

zadanie - ikonka Zadanie 595 - środek ciężkości trójkąta
Znaleźć środek ciężkości w trójkącie o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2).

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 32, matura 2016 (poziom podstawowy)
Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50°. Oblicz kąty tego trójkąta.



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy