Trójkąt
Co to jest trójkąt? Oto definicja trójkąta:
Trójkąt jest to wielokąt o trzech bokach.
Przykłady
Na poniższych rysunkach przedstawiono różne trójkąty.
Odcinki, które tworzą łamaną zwyczajną zamkniętą, nazywamy bokami trójkąta, a wierzchołki tej łamanej będziemy nazywać wierzchołkami trójkąta. Kąt wypukły, w którego ramionach zawierają się dwa sąsiednie boku trójkąta, będziemy nazywać kątem wewnętrznym trójkąta.
- \(A,B,C\) — wierzchołki trójkąta.
- \( a,b,c\) — boki trójkąta.
- \(\alpha, \beta, \gamma\) — kąty wewnętrzne w trójkącie.
Przyjęło się również nazywać jeden z dowolnych boków trójkąta podstawą trójkąta, a dwa pozostałe — ramionami trójkąta i nie ma tutaj znaczenia, który z boków obierzemy za podstawę.
Wysokość trójkąta
Wysokość trójkąta jest to odcinek, który łączy wierzchołek trójkąta z rzutem tego wierzchołka na prostą zawierającą dwa pozostałe wierzchołki trójkąta.
Wysokość w trójkącie zwykle oznaczamy literą \(h\). Ponieważ trójkąt posiada trzy wierzchołki, posiada też trzy równe wysokości.
Na poniższym rysunku zaznaczono wszystkie wysokości w różnych trójkątach.
Widać, że proste zawierające wysokości w trójkącie przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten nazywamy ortocentrum trójkąta.
Środkowa trójkąta
Środkowa w trójkącie (środkowa trójkąta) jest to odcinek łączący środek boku trójkąta z przeciwległym wierzchołkiem trójkąta.
Środek ciężkości w trójkącie
Środkowe trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy środkiem ciężkości trójkąta S. Środek ciężkości dzieli każdą ze środkowych w stosunku 2:1.
Rodzaje trójkątów
Trójkąty można klasyfikować według kilku różnych kryteriów. Poniżej opisujemy kilka z nich.
Podział trójkątów ze względu na kąty
Ze względu na kąty w trójkącie rozróżniamy następujące figury:
- Trójkąt ostrokątny — jest to trójkąt, w którym wszystkie kąty są ostre.
- Trójkąt rozwartokątny — jest to trójkąt, w którym jeden z jego kątów jest rozwarty.
- Trójkąt prostokątny — jest to trójkąt, w którym jeden z kątów jest kątem prostym. Każdy z boków, który leży przy tym kącie, nazywamy przyprostokątną, a bok leżący naprzeciw kąta prostego nazywamy przeciwprostokątną.
Twierdzenie
Suma kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180°.
Podział trójkątów ze względu na boki
Ze względu na boki w trójkącie rozróżniamy następujące figury:
- Trójkąt równoboczny — jest to trójkąt, w którym wszystkie boki są równe.
- Trójkąt równoramienny — jest to trójkąt, w którym przynajmniej dwa boki są równe (zgodnie z tą definicją trójkąt równoboczny jest także trójkątem równoramiennym).
- Trójkąt różnoboczny — jest to trójkąt, w którym żadne dwa boki nie są równe.
Na powyższym rysunku zamieszczono także informację o kątach w poszczególnych trójkątach. W trójkącie równobocznym wszystkie kąty są równe, w trójkącie równoramiennym dwa kąty przy podstawie są równe.
Konstrukcja trójkąta, gdy dane są długości jego boków
Poniższy film ilustruje sposób konstrukcji trójkąta z trzech odcinków o danej długości:
Pytania
Jak narysować trójkąt równoboczny?
Nieco wyżej zamieściliśmy film na temat konstrukcji trójkąta. W przypadku trójkąta równobocznego sytuacja jest łatwiejsza niż przedstawiona na filmie, gdyż nie zmieniamy rozwartości cyrkla podczas konstrukcji.
Wystarczy narysować podstawę o zadanej długości i cyrklem o rozwartości na długość tej podstawy narysować z końców podstawy dwa przecinające się łuki, które wyznaczą trzeci wierzchołek szukanego trójkąta.
Jak wygląda trójkąt rozwartokątny?
Oto przykład trójkąta rozwartokątnego. Zaznaczono odpowiedni kąt rozwarty.
Jak opisać okrąg na trójkącie?
Informacje na ten temat znajdziesz w artykule: Okrąg opisany na trójkącie.
Jak wpisać okrąg na trójkąt?
Informacje na ten temat znajdziesz w artykule: Okrąg wpisany na trójkąt.
Co to jest trójkąt pitagorejski?
Trójkąt pitagorejski jest to trójkąt, którego boki są wyrażone liczbami naturalnymi \(a, b, c\) związanymi warunkiem \(a^2+b^2=c^2\). Będą to, jak wiemy trójkąty prostokątne.
Co to jest trójkąt egipski?
Trójkąt egipski jest to szczególny przypadek trójkąta pitagorejskiego. Jego boki mają długości odpowiednio 3, 4 i 5. Za pomocą listew o odpowiedniej długości (3,4,5) w starożytnym Egipcie i w Babilonii wyznaczano kąty proste. To jednocześnie jedyny trójkąt pitagorejski, którego długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Dany jest trójkąt o wierzchołkach \(A=(-1,0), B=(1,-1)\) i \(C=(1,2)\). Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej z wierzchołka C.
Zadanie nr 2.
Znaleźć środek ciężkości w trójkącie o wierzchołkach \(A=(-1,0), B=(1,-1)\) i \(C=(1,2)\).
Zadanie nr 3.
Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o ramionach długości 10 i o podstawie długości 12.
Zadanie nr 4.
W trójkącie równoramiennym o ramionach długości 5 wysokość ma długość 4. Oblicz długość podstawy.
Zadanie nr 5.
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30°. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.
Zadanie nr 6.
W trójkącie \(ABC\) dwa kąty wewnętrzne mają miarę 30°. Długość podstawy jest równa 12. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta.
Zadanie nr 7.
W trójkącie \(ABC\) jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Wysokość i bok tego trójkąta, leżące naprzeciwko tego kąta mają długość odpowiednio 3 i 4. Znaleźć długości pozostałych boków tego trójkąta.
Zadanie nr 8.
Czy długość podstawy trójkąta równoramiennego może być dwa razy większa od długości ramienia tego trójkąta?
Zadanie nr 9 — maturalne.
Z odcinków o długościach: \(5, 2a+1, a-1\) można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że
A. \(a=6\)
B. \(a=4\)
C. \(a=3\)
D. \(a=2\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o \(50°\). Oblicz kąty tego trójkąta.
Zadanie nr 11 — maturalne.
W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) bok \(AB\) ma długość \(c\), długość boku \(BC\) jest równa a oraz \(\angle ABC=\beta\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina bok \(AC\) trójkąta w punkcie \(E\). Wykaż, że długość odcinka \(BE\) jest równa \(\frac{2ac\cdot \cos{\frac{\beta}{2}}}{a+c}\).
Zadanie nr 12.
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: \(\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}\).
Zadanie nr 13 — maturalne.
Dany jest czworokąt wypukły \(ABCD\), w którym \(|AD|=|AB|=|BC|=a\), \(|\angle BAD|=60°\) i \(|\angle ADC|=135°\). Oblicz pole czworokąta \(ABCD\).
Zadanie nr 14 — maturalne.
Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Na ramieniu AC tego trójkąta wybrano punkt \(M (M\neq A, M\neq C)\), a na ramieniu \(BC\) wybrano punkt \(N\), w taki sposób, że \(|AM| = |CN|\). Przez punkty \(M\) i \(N\) poprowadzono proste prostopadłe do podstawy \(AB\) tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty \(S\) i \(T\). Udowodnij, że \(|ST| = 1/2|AB|\).
Zadanie nr 15 — maturalne.
Prosta \(k\) jest styczna w punkcie \(A\) do okręgu o środku \(O\). Punkt \(B\) leży na tym okręgu i miara kąta \(AOB\) jest równa 80°. Przez punkty \(O\) i \(B\) poprowadzono prostą, która przecina prostą \(k\) w punkcie \(C\) (zobacz rysunek).
A. 10°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
Wybrane karty pracy
Pokoloruj trójkąty
Liczby i figury
Powiązane materiały
Trójkąt prostokątny
Trójkąt równoboczny
Trójkąty
Twierdzenia o trójkącie
Pole trójkąta i obwód trójkąta
Okrąg opisany na trójkącie
Okrąg wpisany w trójkąt
Okrąg dopisany do trójkąta
Podobieństwo i figury podobne
Figury przystające
Trójkąty
Pole trójkąta — quiz© medianauka.pl, 2010-11-13, A-1017
Data aktualizacji artykułu: 2023-06-15