Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Trójkąt

Definicja Definicja

Trójkąt jest to wielokąt o trzech bokach.

Przykład Przykład

Na poniższych rysunkach przedstawiono różne trójkąty.

trójkąty

Odcinki, które tworzą łamaną zwyczajną zamkniętą, nazywamy bokami trójkąta, a wierzchołki tej łamanej będziemy nazywać wierzchołkami trójkąta. Kąt wypukły, w którego ramionach zawierają się dwa sąsiednie boku trójkąta będziemy nazywać kątem wewnętrznym trójkąta

trójkąt


A,B,C - wierzchołki trójkąta
a,b,c - boki trójkąta
α, β, γ - kąty wewnętrzne w trójkącie.


Przyjęło się również nazywać jeden z dowolnych boków trójkąta podstawą trójkąta, a dwa pozostałe - ramionami trójkąta i nie ma tutaj znaczenia który z boków obierzemy za podstawę.

Wysokość trójkąta

Definicja Definicja

Wysokość trójkąta jest to odcinek, który łączy wierzchołek trójkąta z rzutem tego wierzchołka na prostą zawierającą dwa pozostałe wierzchołki trójkąta.
Wysokość zwykle oznaczamy literą h. Ponieważ trójkąt posiada trzy wierzchołki, posiada też trzy równe wysokości.

Na poniższym rysunku zaznaczono wszystkie wysokości w różnych trójkątach.

wysokość w trójkącie

Widać, że proste zawierające wysokości w trójkącie przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten nazywamy ortocentrum trójkąta.

Środkowa trójkąta

Definicja Definicja

Środkowa w trójkącie (środkowa trójkąta) jest to odcinek łączący środek boku trójkąta z przeciwległym wierzchołkiem trójkąta.

Twierdzenie Twierdzenie

Środkowe trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy środkiem ciężkości trójkąta S. Środek ciężkości dzieli każdą ze środkowych w stosunku 2:1.

środek ciężkości w trójkącie

Rodzaje trójkątów

Trójkąty można klasyfikować według kilku różnych kryteriów. Poniżej opisujemy kilka z nich.

Podział trójkątów ze względu na kąty

Definicja Definicja

Ze względu na kąty w trójkącie rozróżniamy następujące figury:

  • trójkąt ostrokątny - jest to trójkąt, w którym wszystkie kąty są ostre;
  • trójkąt rozwartokątny - jest to trójkąt, w którym jeden z jego kątów jest rozwarty;
  • trójkąt prostokątny - jest to trójkąt, w którym jeden z kątów jest kątem prostym. Każdy z boków, który leży przy tym kącie nazywamy przyprostokątną, a bok leżący naprzeciw kąta prostego nazywamy przeciwprostokątną.
podział trójkątów ze względu na kąty

Twierdzenie Twierdzenie

Suma kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180°

Podział trójkątów ze względu na boki

Definicja Definicja

Ze względu na boki w trójkącie rozróżniamy następujące figury:

  • trójkąt równoboczny - jest to trójkąt, w którym wszystkie boki są równe;
  • trójkąt równoramienny - jest to trójkąt, w którym przynajmniej dwa boki są równe (zgodnie z tą definicją trójkąt równoboczny jest także trójkątem równoramiennym);
  • trójkąt różnoboczny - jest to trójkąt, w którym żadne dwa boki nie są równe.
podział trójkątów ze względu na kąty

Na powyższym rysunku zamieszczono także informację o kątach w poszczególnych trójkątach. W trójkącie równobocznym wszystkie kąty są równe, w trójkącie równoramiennym dwa kąty przy podstawie są równe.

Konstrukcja trójkąta, gdy dane są długości jego boków

Poniższy film ilustruje sposób konstrukcji trójkąta z trzech odcinków o danej długości:


Pytania

Jak narysować trójkąt równoboczny?

Nieco wyżej zamieściliśmy film na temat konstrukcji trójkąta. W przypadku trójkąta równobocznego sytuacja jest łatwiejsza niż przedstawiona na filmie, gdyż nie zmieniamy rozwartości cyrkla podczas konstrukcji.

Wystarczy narysować podstawę o zadanej długości i cyrklem o rozwartości na długość tej podstawy narysować z końców podstawy dwa przecinające się łuki, które wyznaczą trzeci wierzchołek szukanego trójkąta.

Jak wygląda trójkąt rozwartokątny?

Oto przykład trójkąta rozwartokątnego. Zaznaczono odpowiedni kąt rozwarty.

trójkąt rozwartokątny

Jak opisać okrąg na trójkącie?

Informacje na ten temat znajdziesz w artykule: Okrąg opisany na trójkącie.

Jak wpisać okrąg na trójkąt?

Informacje na ten temat znajdziesz w artykule: Okrąg wpisany na trójkąt.

Co to jest trójkąt pitagorejski?

Trójkąt pitagorejski jest to trójkąt, którego boki są wyrażone liczbami naturalnymi a, b, c związanymi warunkiem a2+b2=c2. Będą to, jak wiemy trójkąty prostokątne.

Co to jest trójkąt egipski?

Trójkąt egipski jest to szczególny przypadek trójkąta pitagorejskiego. Jego boki mają długości odpowiednio 3, 4 i 5. Za pomocą listew o odpowiedniej długości (3,4,5) w starożytnym Egipcie i w Babilonii wyznaczano kąty proste. To jednocześnie jedyny trójkąt pitagorejski, którego długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi.


© medianauka.pl, 2010-11-13, ART-1017







Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Trójkąt

zadanie-ikonka Zadanie - trójkąt w układzie współrzędnych
Dany jest trójkąt o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2). Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej z wierzchołka C.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - środek ciężkości trójkąta
Znaleźć środek ciężkości w trójkącie o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2).

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - wysokość w trójkącie
Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o ramionach długości 10 i podstawie długości 12.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - trójkąt równoramienny
W trójkącie równoramiennym o ramionach długości 5 wysokość ma długość 4. Oblicz długość podstawy.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - suma miar kątów w tójkącie
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - trójkąty, obliczanie długości boków
W trójkącie ABC dwa kąty wewnętrzne mają miarę 30o. Długość podstawy jest równa 12. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - trójkąty, znajdowanie długości boków
W trójkącie ABC jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Wysokość i bok tego trójkąta, leżące naprzeciwko tego kąta mają długość odpowiednio 3 i 4. Znaleźć długości pozostałych boków tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - trójkąt równoramienny
Czy długość podstawy trójkąta równoramiennego może być dwa razy większa od długości ramienia tego trójkąta?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 18, matura 2016 (poziom podstawowy)
Z odcinków o długościach: 5, 2a+1, a-1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

A. a=6
B. a=4
C. a=3
D. a=2

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 32, matura 2016 (poziom podstawowy)
Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50°. Oblicz kąty tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Trójkąt prostokątnyTrójkąt prostokątny
Trójkąt prostokątny jest to trójkąt, w którym jeden z kątów jest kątem prostym.
Trójkąt równobocznyTrójkąt równoboczny
Definicja trójkąta równobocznego, wysokość trójkąta równobocznego oraz promienie okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym.
Trójkąt prostokątnyTrójkąt prostokątny
Trójkąt prostokątny jest to trójkąt, w którym jeden z kątów jest kątem prostym.
Trójkąt równobocznyTrójkąt równoboczny
Definicja trójkąta równobocznego, wysokość trójkąta równobocznego oraz promienie okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym.
Twierdzenie PitagorasaTwierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych a^2+b^2=c^2.
Twierdzenia o trójkącieTwierdzenia o trójkącie
Podstawowe twierdzenia o trójkącie poza twierdzeniem Pitagorasa, które zostało omówione w oddzielnym artykule.
Pole i obwód trójkątaPole i obwód trójkąta
Istnieje co najmniej kilka wzorów na pole trójkąta. Ich stosowanie zależy od danych jakie posiadamy i czasem od rodzaju trójkąta z jakim mamy do czynienia.
Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensówTwierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów
Omówienie twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów wraz z przykładami ich zastosowania w rozwiązywaniu trójkątów



© Media Nauka 2008-2018 r.