Zadanie maturalne nr 6, matura 2017 (poziom rozszerzony)


Rozwiązanie zadania
Sporządzamy rysunek poglądowy:

Pole trójkąta wyraża się wzorem:
gdzie a, b są długościami boków trójkąta, a γ jest kątem między tymi bokami. Skorzystamy z tego wzoru kilka razy.
Pole trójkąta ABC jest równe:
\( P_{ABC}=\frac{1}{2}ac\sin{\beta} \)
Pole trójkąta ABE jest równe:
\( P_{ABE}=\frac{1}{2}dc \sin{\frac{\beta}{2}} \)
Pole trójkąta CBE jest równe:
\( P_{CBE}=\frac{1}{2}da \sin{\frac{\beta}{2}} \)
Suma pól trójkątów ABE i CBE jest równa polu trójkąta ABC, zatem:
\( P_{CBE}=P_{ABE}+ P_{CBE} \)
\( \frac{1}{2}ac\sin{\beta}=\frac{1}{2}dc \sin{\frac{\beta}{2}}+ \frac{1}{2}da \sin{\frac{\beta}{2}} / \cdot 2 \)
\( ac\sin{\beta}=dc \sin{\frac{\beta}{2}}+ da \sin{\frac{\beta}{2}} \)
Skorzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta:
Mamy więc:
\( ac\sin({2\cdot \frac{\beta}{2}})=dc \sin{\frac{\beta}{2}}+ da \sin{\frac{\beta}{2}} \)
\( ac\cdot 2\sin\frac{\beta}{2}\cdot \cos\frac{\beta}{2}=dc \sin{\frac{\beta}{2}}+ da \sin{\frac{\beta}{2}} \)
\( ac\cdot 2\sin\frac{\beta}{2}\cdot \cos\frac{\beta}{2}=d\cdot (a+c) \sin{\frac{\beta}{2}}/ : \sin{\frac{\beta}{2}} \)
\( 2ac \cdot \cos\frac{\beta}{2}=d\cdot (a+c) /:(a+c) \)
\( d=\frac{2ac \cdot \cos\frac{\beta}{2}}{(a+c)} \)
To kończy nasz dowód.
© medianauka.pl, 2022-12-29, ZAD-4572
Zadania podobne

Dany jest trójkąt o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2). Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej z wierzchołka C.
Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć środek ciężkości w trójkącie o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2).
Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o ramionach długości 10 i podstawie długości 12.
Pokaż rozwiązanie zadania

W trójkącie równoramiennym o ramionach długości 5 wysokość ma długość 4. Oblicz długość podstawy.
Pokaż rozwiązanie zadania

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.
Pokaż rozwiązanie zadania

W trójkącie ABC dwa kąty wewnętrzne mają miarę 30o. Długość podstawy jest równa 12. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta.
Pokaż rozwiązanie zadania

W trójkącie ABC jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Wysokość i bok tego trójkąta, leżące naprzeciwko tego kąta mają długość odpowiednio 3 i 4. Znaleźć długości pozostałych boków tego trójkąta.
Pokaż rozwiązanie zadania

Czy długość podstawy trójkąta równoramiennego może być dwa razy większa od długości ramienia tego trójkąta?
Pokaż rozwiązanie zadania

Z odcinków o długościach: 5, 2a+1, a-1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że
A. a=6
B. a=4
C. a=3
D. a=2
Pokaż rozwiązanie zadania

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50°. Oblicz kąty tego trójkąta.
Pokaż rozwiązanie zadania

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz:
![\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}](matematyka/wzory/zad14/1.gif)
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest czworokąt wypukły ABCD, w którym |AD|=|AB|=|BC|=a, |∠BAD|=60° i |∠ADC|=135°. Oblicz pole czworokąta ABCD.
Pokaż rozwiązanie zadania