Zadanie maturalne nr 9, matura 2017 (poziom rozszerzony)


W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa 36, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 10. Oblicz długości boków tego trójkąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

ksiązki Rozwiązanie zadania

Sporządzamy rysunek poglądowy:

rysunek do zadania

Z warunków zadania wiemy, że |CE|=36, a także, że |DS|=|ES|=10.

Szukamy długości boków trójkąta a=|AB|, b=|BC| i c=|AC|, a także promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Mamy podaną wysokość trójkąta ABC, obliczymy wszystkie jego boki, zatem korzystając ze wzoru:

\( P=\frac{abc}{4R} \)

łatwo znajdziemy R - promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Trójkąt DSC jest trójkątem prostokątnym, więc z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:

\( |CS|^2=|DS|^2+|DC|^2 \)

\( |DC|=\sqrt{|CS|^2-|DS|^2}=\sqrt{26^2-10^2}=24 \)

Skąd wiemy, że |CS|=26? Ponieważ |CS|=|CE|-|SE|=36-10=26.

Zauważamy, że trójkąty AEC i SDC mają jeden z kątów wspólny i każdy jest trójkątem prostokątnym. Na podstawie reguły podobieństwa trójkątów kąt-kąt (kk) stwierdzamy, że oba trójkąty są podobne, a stosunki odpowiednich boków są równe. Mamy więc:

\( \frac{|CE|}{|AE|}=\frac{|DC|}{|DS|} \)

\( \frac{36}{|AE|}=\frac{24}{10} \)

\( |AE|=15 \)

Na podstawie twierdzenia o odcinkach stycznych możemy zapisać, że:

\( |AD|=|AE|=15 \)

Zatem długość podstawy wynosi:

\( a=|AB|=30 \)

Mając |AD|=15 i |DS|=24, mamy także boki trójkąta ABC:

\( b=c=|AC|=|BC|=39 \)

Pole trójkąta ABC policzymy ze wzoru na pole trójkąta, gdy dana jest jego podstawa i wysokość.

\( R=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot |CE|=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 36=540. \)

Promień okręgu opisanego na trójkącie R obliczymy następująco:

\( P=\frac{abc}{4R} \)

\( R=\frac{abc}{4P} \)

\( P=\frac{30\cdot 39\cdot 39}{4\cdot 540}=21\frac{1}{8} \)

ksiązki Odpowiedź

\( a=30, b=c=39, R=21\frac{1}{8} \)


© medianauka.pl, 2022-12-30, ZAD-4575

Zadania podobne

kulkaZadanie - okrąg wpisany w trójkąt
Wyznaczyć środek okręgu wpisanego w trójkąt wyznaczony przez punkty A=(0,0), B=(4,0), C=(0,3).

Pokaż rozwiązanie zadania




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.