Zadanie maturalne nr 9, matura 2017 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa 36, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 10. Oblicz długości boków tego trójkąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy rysunek poglądowy:
Z warunków zadania wiemy, że |CE|=36, a także, że |DS|=|ES|=10.
Szukamy długości boków trójkąta a=|AB|, b=|BC| i c=|AC|, a także promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
Mamy podaną wysokość trójkąta ABC, obliczymy wszystkie jego boki, zatem korzystając ze wzoru:
łatwo znajdziemy R - promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Trójkąt DSC jest trójkątem prostokątnym, więc z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:
\( |CS|^2=|DS|^2+|DC|^2 \)
\( |DC|=\sqrt{|CS|^2-|DS|^2}=\sqrt{26^2-10^2}=24 \)
Skąd wiemy, że |CS|=26? Ponieważ |CS|=|CE|-|SE|=36-10=26.
Zauważamy, że trójkąty AEC i SDC mają jeden z kątów wspólny i każdy jest trójkątem prostokątnym. Na podstawie reguły podobieństwa trójkątów kąt-kąt (kk) stwierdzamy, że oba trójkąty są podobne, a stosunki odpowiednich boków są równe. Mamy więc:
\( \frac{|CE|}{|AE|}=\frac{|DC|}{|DS|} \)
\( \frac{36}{|AE|}=\frac{24}{10} \)
\( |AE|=15 \)
Na podstawie twierdzenia o odcinkach stycznych możemy zapisać, że:
\( |AD|=|AE|=15 \)
Zatem długość podstawy wynosi:
\( a=|AB|=30 \)
Mając |AD|=15 i |DS|=24, mamy także boki trójkąta ABC:
\( b=c=|AC|=|BC|=39 \)
Pole trójkąta ABC policzymy ze wzoru na pole trójkąta, gdy dana jest jego podstawa i wysokość.
\( R=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot |CE|=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 36=540. \)
Promień okręgu opisanego na trójkącie R obliczymy następująco:
\( P=\frac{abc}{4R} \)
\( R=\frac{abc}{4P} \)
\( P=\frac{30\cdot 39\cdot 39}{4\cdot 540}=21\frac{1}{8} \)
Odpowiedź
\( a=30, b=c=39, R=21\frac{1}{8} \)
© medianauka.pl, 2022-12-30, ZAD-4575
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Wyznaczyć środek okręgu wpisanego w trójkąt wyznaczony przez punkty \(A=(0,0), B=(4,0), C=(0,3)\).
Zadanie nr 2 — maturalne.
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\). Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta \(ABC\), który ma większą miarę.