Nauka » Matematyka » Pole i obwód trójkąta

Zadanie maturalne nr 35, matura 2021

Punkty A = (−20, 12) i B = (7, 3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Wierzchołek C leży na osi Oy układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka C oraz obwód tego trójkąta.

Rozwiązanie zadania

Sporządzamy rysunek poglądowy.

Rysunek

Ponieważ trójkąt ABC jest równoboczny, to wysokość opuszczona z punktu C na p[odstawę, dzieli ją na dwie części. Punkt K jest więc środkiem odcinka AB. Mając dane współrzędne A i B w prosty sposób znajdziemy współrzędne punktu K:

$A=(-20,12)$

$B=7,3$

$K=(\frac{020+7}{2},\frac{12+3}{2})=(-\frac{13}{2},\frac{15}{2})$

Znajdźmy wzór prostej przechodzącej przez A i B:

$\begin{cases}12=-20a+b\\3=7a+b \end{cases}$

Odejmując od siebie te równania otrzymamy:

$9=-27a$

$a=-\frac{1}{3}$

Prosta k jest prostopadła do prostej, która zawiera odcinek AB, zatem jest współczynnik kierunkowy jest równy $-\frac{1}{a}=3$.

Równanie prostej k przyjmuje postać:

$y=3x+b_k$

Znamy współrzędne punktu K, zatem:

$\frac{15}{2}=3\cdot (-\frac{13}{2})+b_k$

$b_k=\frac{15}{2}+\frac{39}{2}=27$

Stąd wiemy już, że punkt C ma współrzędne $C=(0,27)$, bo wystarczy obliczyć f(0) dla równania prostej k.

Obliczamy teraz długość odcinka AB:

$|AB|=\sqrt{(7-(-20))^2+(3-12)^2}=\sqrt{729+81}=\sqrt{810}=9\sqrt{10}$

Ponieważ |AC|=|BC|, wystarczy obliczyć jedną z tych długości:

$|AC|=\sqrt{(0-(-20))^2+(27-12)^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25$

Obwód L trójkąta ABC jest równy:

$L=|AB|+2|AC|=9\sqrt{10}+50$

Odpowiedź

$L=50+9\sqrt{10}$

Zadania podobne

Zadanie - długość odcinka i pole trójkąta

Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty $A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)$.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta
Oblicz pole powierzchni i obwód trójkąta równobocznego o wysokości h=2 cm

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta
Środki trójkąta równobocznego o boku długości 2 połączono ze sobą tak, że powstał mniejszy trójkąt wewnątrz większego. Obliczyć jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole powierzchni i twierdzenie Pitagorasa
Ceny poszczególnych działek są następujące:
A: 60 000 PLN
B: 50 000 PLN
C: 50 000 PLN
D: 100 000 PLN
Zakup której działki jest najbardziej opłacalny?
Twierdzenie Pitagorasa - zadanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta
Dany jest trójkąt o bokach długości 2, 3 i 4. Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta
Wektory $\vec{a}=[1,2], \ \vec{b}=[-3,4]$ wyznaczają trójkąt. Obliczyć jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta

Dany jest wektor $\vec{AB}=[2,5]$ zaczepiony w punkcie $A=(1,1)$. Znaleźć taki punkt $C$, leżący na prostej $y=2$, że pole trójkąta $ABC$ jest równe 10.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Pole trójkąta
Dany jest trójkąt równoramienny o ramionach długości 5 i kącie wewnętrznym między tymi ramionami $\alpha=30^o$ . Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta, okrąg opisany na trójkącie
Na trójkącie o polu równym 6 i o bokach o długości 2,3 i 4 opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta
Dany jest trójkąt A, B, C o wierzchołkach A=(-1,1), B=(2,1), C=(-2,-1). Oblicz jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta
Z kwadratu o boku a wycięto trójkąt tak, że jeden z jego wierzchołków stanowi środek boku kwadratu, a jeden z boków tego trójkąta stanowi bok kwadratu. Czy pole ścinków jest większe od pola trójkąta?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta
W trójkąt równoramienny o polu $\sqrt{15}$ wpisano okrąg o promieniu $r=\frac{\sqrt{15}}{5}$ . Na tym samy trójkącie opisano okrąg o promieniu $R=\frac{8\sqrt{15}}{15}$ . Oblicz długości boków tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 19, matura 2016 (poziom podstawowy)
Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).
wzór

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe: A. 14
B. $2\sqrt{33}$
C. $4\sqrt{33}$
D. 12

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 34, matura 2014
Kąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę 30°. Pole kwadratu DEFG, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.
rysunek do zadania 34, matura 2014

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 17, matura 2017 (poziom podstawowy)
Obwód trójkąta ABC, przedstawionego na rysunku, jest równy
A. $(3+ \frac{\sqrt{3}}{2})$
B. $(2+ \frac{\sqrt{2}}{2})$
C. $(3+ \sqrt{3})$
D. $(2+ \sqrt{2})$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 6, matura 2017 (poziom rozszerzony)
W trójkącie ostrokątnym ABC bok AB ma długość c, długość boku BC jest równa a oraz ∠ABC = β . Dwusieczna kąta ABC przecina bok AC trójkąta w punkcie E. Wykaż, że długość odcinka BE jest równa

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 9, matura 2017 (poziom rozszerzony)
W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa 36, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 10. Oblicz długości boków tego trójkąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 18, matura 2021

Przyprostokątna AC trójkąta prostokątnego ABC ma długość 8 oraz tgα=2/5 (zobacz rysunek).

Zadanie 18, matura 2021

Pole tego trójkąta jest równe

A. 12

B. 37/3

C. 62/5

D. 64/5

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 8, matura 2021 (poziom rozszerzony)

Dany jest trójkąt równoboczny ABC. Na bokach AB i AC wybrano punkty – odpowiednio – D i E takie, że |BD| = |AE = 1/3|AB|. Odcinki CD i BE przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek).

Matura 2021, zadanie 8

Wykaż, że pole trójkąta DBP jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta ABC.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.