Zadanie - długość odcinka i pole trójkąta
Treść zadania:
Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty \(A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)\).
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy rysunek.
Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta:
\(P=\frac{1}{2}ah\) gdzie a jest długością podstawy trójkąta (tutaj długość odcinka \(\overline{AC}\)), natomiast h jest długością wysokości trójkąta (tutaj długość odcinka \(\overline{AB}\))Nasze pole trójkąta jest więc równe:
\(P=\frac{1}{2}|\overline{AC}|\cdot|\overline{AB}|\)
Korzystamy ze wzoru na długość odcinka. Długość odcinka w układzie współrzędnych jest równa odległości końców odcinka \(A=(x_A,y_A), \ B=(x_B, y_B)\) i obliczamy ją ze wzoru:
\(|\overline{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)Obliczamy długość odcinka \(\overline{AB}\)
\(A=(1,1), B=(1,3)\)
\(|\overline{AB}|=\sqrt{(1-1)^2+(3-1)^2}=\sqrt{2^2}=2\)
Obliczamy długość odcinka \(\overline{AC}\)
\(A=(1,1), C=(4,1)\)
\(|\overline{AB}|=\sqrt{(4-1)^2+(1-1)^2}=\sqrt{3^2}=3\)
W efekcie możemy obliczyć pole trójkąta:
\(P=\frac{1}{2}|\overline{AC}|\cdot|\overline{AB}|=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3=3\)
Obwód trójkąta, to suma długości wszystkich boków trójkąta:
\(L=|\overline{AC}|+|\overline{AB}|+|\overline{BC}|\)
Obliczamy więc jeszcze długość odcinka \(\overline{BC}\)
\(B=(1,3), C=(4,1)\)
\(|\overline{AB}|=\sqrt{(4-1)^2+(1-3)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\)
Obwód trójkąta jest więc równy:
\(L=|\overline{AC}|+|\overline{AB}|+|\overline{BC}|=2+3+\sqrt{13}=5+\sqrt{13}\)
Odpowiedź
Pole i obwód trójkąta wynoszą: \(P=3, \ L=5+\sqrt{13}\)© medianauka.pl, 2011-01-03, ZAD-1069
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dane są punkty \(A=(-3,-2), B=(2, -2)\). Obliczyć długość odcinka \(\overline{AB}\).
Zadanie nr 2.
Dany jest punkt \(A=(1,4)\). Znaleźć taki punkt \(B\), że \(|\overline{AB}|=1\) i który leży na prostej \(x=\frac{1}{2}\).
Zadanie nr 3.
Dany jest odcinek o końcach \(A=(2+\sqrt{2}, 2), \ B=(-4+\sqrt{2}, -4)\). Znaleźć współrzędne środka odcinka \(\overline{AB}\).
Zadanie nr 4.
Znaleźć środek kwadratu wyznaczonego przez punkty \(A=(0,0), B=(1,2), C=(3,1), D=(2,-1)\).
Zadanie nr 5.
Znaleźć równanie symetralnej odcinka \(\overline{AB}\), gdzie \(A=(1,4), \ B=(-2, 1)\).
Zadanie nr 6 — maturalne.
W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(a,6)\) oraz \(B=(7,b)\). Środkiem odcinka \(AB\) jest punkt \(M=(3,4)\). Wynika stąd, że:
A. \(a=5\) i \(b=5\)
B. \(a=-1\) i \(b=2\)
C. \(a=4\) i \(b=10\)
D. \(a=-4\) i \(b=-2\)
Zadanie nr 7 — maturalne.
Punkty \(A=(30,32)\) i \(B=(0,8)\) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta \(ABCD \) wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu \(x-y+2=0\) jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną \(AC\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(C\) i \(D\) tego czworokąta.
Zadanie nr 8 — maturalne.
Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.
Zadanie nr 9 — maturalne.
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y = 2x + 4\) jest równa
A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)
B. \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)
C. \(\frac{4}{5}\)
D. \(4\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
Punkt \(A=(7,−1)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Obie współrzędne wierzchołka \(C\) są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie \(x^2+y^2=10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.
Zadanie nr 11 — maturalne.
Dane są punkty o współrzędnych \(A=(−2, 5)\) oraz \(B=(4, −1)\). Średnica okręgu wpisanego
w kwadrat o boku \(AB\) jest równa
A. \(12\)
B. \(6\)
C. \(6\sqrt{2}\)
D. \(2\sqrt{6}\)
Zadanie nr 12 — maturalne.
Dany jest punkt \(A=(−18,10)\). Prosta o równaniu \(y=3x\) jest symetralną odcinka \(AB\). Wyznacz współrzędne punktu \(B\).
Zadanie nr 13 — maturalne.
Punkt B jest obrazem punktu \(A=(−3,5)\) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka \(AB\) jest równa
A. \(2\sqrt{34}\)
B. \(8\)
C. \(\sqrt{34}\)
D. \(12\)
Zadanie nr 14 — maturalne.
Punkty \(K=(4,−10)\) i \(L=(b,2)\) są końcami odcinka \(KL\). Pierwsza współrzędna środka odcinka \(KL\) jest równa (−12). Wynika stąd, że
A. \(b=-28\)
B. \(b=-14\)
C. \(b=-24\)
D. \(b=-10\)
