Zadanie maturalne nr 19, matura 2016 (poziom podstawowy)
Treść zadania:
Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie \(P\) przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).
Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe:
A. \(14\)
B. \(2\sqrt{33}\)
C. \(4\sqrt{33}\)
D. \(12\)
Rozwiązanie zadania
Wprowadzimy oznaczenia na naszym rysunku, pamiętając, że kąt \(O_1PO_2\) jest kątem prostym, a nasz trójkąt jest trójkątem prostokątnym. Przeciwprostokątna ma długość \(7\) (długość dwóch promieni), a odcinek \(O_2P\) ma długość promienia większego okręgu, czyli \(4\).
Długość \(x\) obliczymy z twierdzenia Pitagorasa:
\(x^2+4^2=7^2\)
\(x^2+16=49\)
\(x^=33\)
\(x=\sqrt{33}\)
Pole trójkąta obliczymy z tradycyjnego wzoru \(P=\frac{1}{2}ah\), gdzie podstawa u nas jest równa \(x\), a wysokość to odcinek \(O_2P\), którego długość wynosi \(4\). Mamy więc.
\(P=\frac{1}{2}xh=\frac{1}{2}\sqrt{33}\cdot 4=2\sqrt{33}\)
Odpowiedź
Odpowiedź B© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3243
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 3 i 4 opisano koło. Oblicz pole i obwód tego koła.
Zadanie nr 2.
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30°. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.
Zadanie nr 3.
W trójkącie prostokątnym miary dwóch kątów wewnętrznych są równe, a długość przeciwprostokątnej jest równa 6. Oblicz miarę kątów w tym trójkącie oraz długość boków.
Zadanie nr 4.
W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą odpowiednio 5 i 8. Oblicz długość przeciwprostokątnej.
Zadanie nr 5.
W trójkącie prostokątnym wysokość o długości \(2\sqrt{2}\) opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli podstawę na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków trójkąta.
Zadanie nr 6.
W równoramiennym trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 10 cm. Obliczyć długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
Zadanie nr 7.
Jaką długość mają przyprostokątne trójkąta prostokątnego, jeżeli wiadomo, że jedna z przyprostokątnych jest 3 razy dłuższa od drugiej i średnica okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość równą \(\sqrt{10}\).
Zadanie nr 8.
Długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym równoramiennym jest dwa razy większa od długości przyprostokątnej. Oblicz długości boków tego trójkąta.
Zadanie nr 9.
Znaleźć punkt na prostej \(y=1\), który wraz z punktami \(A=(2,3), B=(4,2)\) wyznaczy trójkąt prostokątny.
