Logo Media Nauka

Trójkąt prostokątny

Teoria Trójkąt prostokątny jest to trójkąt, w którym jeden z kątów jest kątem prostym. Każdy z boków, który leży przy tym kącie nazywamy przyprostokątną, a bok leżący naprzeciw kąta prostego nazywamy przeciwprostokątną.

trójkąt prostokątny

Trójkąt prostokątny ma tę cechę, że wysokość tego trójkąta stanowi przyprostokątna, jeżeli przyjąć za podstawę drugą przyprostokątną. Dzięki temu pole trójkąta prostokątnego wyjątkowo łatwo się liczy. Wzór na pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a i b jest następujący:

P=½ab

Własności trójkąta prostokątnego

Z trójkątem prostokątnym związanych jest bardzo dużo różnych twierdzeń. Część z nich omówimy tutaj, część w osobnych artykułach.

Twierdzenie Pitagorasa

Najbardziej znana własność trójkąta prostokątnego to twierdzenie Pitagorasa, któremu w niniejszym kursie został poświęcony osobny artykuł.

Przystawanie i podobieństwo

Twierdzenie Twierdzenie

W trójkącie prostokątnym ABC wysokość \overline{CD} opuszczona z wierzchołka kąta prostego C na przeciwprostokątną \overline{AB} dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne ACD i CBD podobne do siebie i podobne do trójkąta ABC.

trójkąt prostokątny

Twierdzenie Twierdzenie

Przystawanie trójkątów prostokątnych

Jeżeli w dwóch trójkątach prostokątnych dwa boki jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm bokom drugiego trójkąta, a kąt prosty w jednym trójkącie jest położony względem tych boków tak samo, jak w drugim trójkącie, to trójkąty te są przystające.

Twierdzenie Twierdzenie

Podobieństwo trójkątów prostokątnych

Jeżeli w dwóch trójkątach prostokątnych dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąt prosty w jednym trójkącie jest położony względem tych boków tak samo, jak w drugim trójkącie, to trójkąty te są podobne.

Inne właściwości

Twierdzenie Twierdzenie

W trójkącie prostokątnym przyprostokątna wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną dzieli ją na dwie części tak, że jest dla tych części średnią geometryczną:

h=\sqrt{x\cdot y}
ilustracja do twierdzenia

Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym

Twierdzenie Twierdzenie

Trójkąt oparty na średnicy jest prostokątny.

okrąg opisany na trójkącie

Trójkąt prostokątny równoramienny

Trójkąt prostokątny równoramienny to taki trójkąt prostokątny, którego ramiona mają równą długość. Kąty wewnętrzne mają miary 90°, 45° i 45°.

Przykład takiego trójkąta prostokątnego równoramiennego ilustruje poniższy rysunek.

Trójkąt prostokątny równoramienny

Wzór na długość przeciwprostokątnej w trójkącie równoramiennym prostokątnym: c=a√2.

Wysokość w trójkącie równoramiennym prostokątnym to każda z przyprostokątnych oraz odcinek o długości połowy przeciwprostokątnej, czyli h=½a√2.

Pole powierzchni trójkąta prostokątnego równoramiennego to połowa pola kwadratu o boku długości a, czyli: P=½a2.

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym równoramiennym to połowa długości przeciwprostokątnej tego trójkąta, czyli R=½a√2.

Pytania

Dlaczego nie istnieje trójkąt prostokątny równoboczny?

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów zgodnie z definicją trójkąta prostokątnego musi mieć 90°, a w trójkącie równobocznym prostokątnym wszystkie kąty wewnętrzne musiały by mieć miarę 90° (zgodnie z własnościami trójkąta równobocznego). Suma kątów w każdym trójkącie jest równa 180°, a 3·90°=270°.


© medianauka.pl, 2010-12-04, ART-1041





Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Trójkąt prostokątny

zadanie-ikonka Zadanie - okrąg opisany na trójkącie
Na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 3 i 4 opisano koło. Oblicz pole i obwód tego koła.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - suma miar kątów w tójkącie
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - trójkąt prostokątny
W trójkącie prostokątnym miary dwóch kątów wewnętrznych są równe, a długość przeciwprostokątnej jest równa 6. Oblicz miarę kątów w tym trójkącie oraz długość boków.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - trójkąt prostokątny, twierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą odpowiednio 5 i 8. Oblicz długość przeciwprostokątnej.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - trójkąt prostokątny
W trójkącie prostokątnym wysokość o długości 2\sqrt{2}opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli podstawę na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - trójkąt prostokątny
W równoramiennym trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 10 cm. Obliczyć długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - trójkąt prostokątny
Jaką długość mają przyprostokątne trójkąta prostokątnego, jeżeli wiadomo, że jedna z przyprostokątnych jest 3 razy dłuższa od drugiej i średnica okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość równą \sqrt{10}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - trójkąt prostokątny
Długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym równoramiennym jest dwa razy większa od długości przyprostokątnej. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - trójkąt prostokątny
Znaleźć punkt na prostej y=1, który wraz z punktami A=(2,3), B=(4,2) wyznaczy trójkąt prostokątny.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 19, matura 2016 (poziom podstawowy)
Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).
wzór
Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe: A. 14
B. 2\sqrt{33}
C. 4\sqrt{33}
D. 12

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

TrójkątTrójkąt
Trójkąt jest to wielokąt o trzech bokach. Rodzaje trójkątów, konstrukcja trójkąta.
Trójkąt równobocznyTrójkąt równoboczny
Definicja trójkąta równobocznego, wysokość trójkąta równobocznego oraz promienie okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym.
TrójkątTrójkąt
Trójkąt jest to wielokąt o trzech bokach. Rodzaje trójkątów, konstrukcja trójkąta.
Trójkąt równobocznyTrójkąt równoboczny
Definicja trójkąta równobocznego, wysokość trójkąta równobocznego oraz promienie okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym.
Twierdzenie PitagorasaTwierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych a^2+b^2=c^2.
Twierdzenia o trójkącieTwierdzenia o trójkącie
Podstawowe twierdzenia o trójkącie poza twierdzeniem Pitagorasa, które zostało omówione w oddzielnym artykule.
Pole i obwód trójkątaPole i obwód trójkąta
Istnieje co najmniej kilka wzorów na pole trójkąta. Ich stosowanie zależy od danych jakie posiadamy i czasem od rodzaju trójkąta z jakim mamy do czynienia.
Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensówTwierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów
Omówienie twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów wraz z przykładami ich zastosowania w rozwiązywaniu trójkątów



© Media Nauka 2008-2018 r.