Trójkąt prostokątny

Trójkąt prostokątny jest to trójkąt, w którym jeden z kątów jest kątem prostym. Każdy z boków, który leży przy tym kącie nazywamy przyprostokątną, a bok leżący naprzeciw kąta prostego nazywamy przeciwprostokątną.

Trójkąt prostokątny ma tę cechę, że wysokość tego trójkąta stanowi przyprostokątna, jeżeli przyjąć za podstawę drugą przyprostokątną. Dzięki temu pole trójkąta prostokątnego wyjątkowo łatwo się liczy. Wzór na pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a i b jest następujący:

P=½ab

Własności trójkąta prostokątnego

Z trójkątem prostokątnym związanych jest bardzo dużo różnych twierdzeń. Część z nich omówimy tutaj, część w osobnych artykułach.

Twierdzenie Pitagorasa

Najbardziej znana własność trójkąta prostokątnego to twierdzenie Pitagorasa, któremu w niniejszym kursie został poświęcony osobny artykuł.

Przystawanie i podobieństwo

Twierdzenie

W trójkącie prostokątnym ABC wysokość $\overline{CD}$ opuszczona z wierzchołka kąta prostego C na przeciwprostokątną $\overline{AB}$ dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne ACD i CBD podobne do siebie i podobne do trójkąta ABC.

Twierdzenie

Przystawanie trójkątów prostokątnych

Jeżeli w dwóch trójkątach prostokątnych dwa boki jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm bokom drugiego trójkąta, a kąt prosty w jednym trójkącie jest położony względem tych boków tak samo, jak w drugim trójkącie, to trójkąty te są przystające.

Twierdzenie

Podobieństwo trójkątów prostokątnych

Jeżeli w dwóch trójkątach prostokątnych dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąt prosty w jednym trójkącie jest położony względem tych boków tak samo, jak w drugim trójkącie, to trójkąty te są podobne.

Inne właściwości

Twierdzenie

W trójkącie prostokątnym przyprostokątna wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną dzieli ją na dwie części tak, że jest dla tych części średnią geometryczną:

$h=\sqrt{x\cdot y}$

Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym

Twierdzenie

Trójkąt oparty na średnicy jest prostokątny.

Trójkąt prostokątny równoramienny

Trójkąt prostokątny równoramienny to taki trójkąt prostokątny, którego ramiona mają równą długość. Kąty wewnętrzne mają miary 90°, 45° i 45°.

Przykład takiego trójkąta prostokątnego równoramiennego ilustruje poniższy rysunek.

Trójkąt prostokątny równoramienny

Wzór na długość przeciwprostokątnej w trójkącie równoramiennym prostokątnym: c=a√2.

Wysokość w trójkącie równoramiennym prostokątnym to każda z przyprostokątnych oraz odcinek o długości połowy przeciwprostokątnej, czyli h=½a√2.

Pole powierzchni trójkąta prostokątnego równoramiennego to połowa pola kwadratu o boku długości a, czyli: P=½a².

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym równoramiennym to połowa długości przeciwprostokątnej tego trójkąta, czyli R=½a√2.

Pytania

Dlaczego nie istnieje trójkąt prostokątny równoboczny?

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów zgodnie z definicją trójkąta prostokątnego musi mieć 90°, a w trójkącie równobocznym prostokątnym wszystkie kąty wewnętrzne musiały by mieć miarę 90° (zgodnie z własnościami trójkąta równobocznego). Suma kątów w każdym trójkącie jest równa 180°, a 3·90°=270°.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 3 i 4 opisano koło. Oblicz pole i obwód tego koła.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30^o. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

W trójkącie prostokątnym miary dwóch kątów wewnętrznych są równe, a długość przeciwprostokątnej jest równa 6. Oblicz miarę kątów w tym trójkącie oraz długość boków.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą odpowiednio 5 i 8. Oblicz długość przeciwprostokątnej.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

W trójkącie prostokątnym wysokość o długości $2\sqrt{2}$ opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli podstawę na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

W równoramiennym trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 10 cm. Obliczyć długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Jaką długość mają przyprostokątne trójkąta prostokątnego, jeżeli wiadomo, że jedna z przyprostokątnych jest 3 razy dłuższa od drugiej i średnica okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość równą $\sqrt{10}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym równoramiennym jest dwa razy większa od długości przyprostokątnej. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Znaleźć punkt na prostej y=1, który wraz z punktami A=(2,3), B=(4,2) wyznaczy trójkąt prostokątny.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).
wzór

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe: A. 14
B. $2\sqrt{33}$
C. $4\sqrt{33}$
D. 12

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Trójkąt

Trójkąt jest to wielokąt o trzech bokach. Rodzaje trójkątów, konstrukcja trójkąta.

Trójkąt równoboczny

Definicja trójkąta równobocznego, wysokość trójkąta równobocznego oraz promienie okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.