Nauka » Matematyka » Trójkąt prostokątny

Zadanie - trójkąt prostokątny

Znaleźć punkt na prostej y=1, który wraz z punktami A=(2,3), B=(4,2) wyznaczy trójkąt prostokątny.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Możliwe są tutaj trzy różne przypadki. Oto jeden z nich:

Przypadek 1

Interesuje nas przypadek, w którym wierzchołkiem kąta prostego jest punkt A. Sporządzamy szkic.

Szukamy punktu C, który leży na prostej y=1, zatem jego współrzędna y jest równa 1. Współrzędne szukanego punktu C oznaczamy:

Punkt C leży na prostej prostopadłej do prostej, która jest wyznaczona przez punkty A i B. Szukamy prostej wyznaczonej przez punkty A i B, której równanie oznaczamy następująco: y=ax+b. Równanie tej prostej znajdziemy, podstawiając do kierunkowego równania prostej współrzędne punktów A i B

$y=ax+b\\ A=(2,3), \ B=(4,2)\\ \underline{ \ - \ \begin{cases} 3=2a+b\\ 2=4a+b \end{cases}}\\ 1=-2a/:(-2)\\ a=-\frac{1}{2}\\ 2=4a+b\\ 2=4\cdot (-\frac{1}{2})+b\\ 2=-2+b\\ b=4\\ y=-\frac{1}{2}x+4$

Przy wyznaczeniu równania prostej wyznaczonej przez punkty A, C skorzystamy z własności prostych prostopadłych. Współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych spełniają warunek:

$a=-\frac{1}{a_1}$

Ponadto prosta ta przechodzi przez punkt A, którego współrzędne znamy, mamy więc:

$a_1=-\frac{1}{a}=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2\\ y=a_1x+b_1\\ y=2x+b_1\\ A=(2,3)\\ 3=2\cdot 2+b_1\\ b_1=-1\\ y=2x-1$

Punkt C leży na tej prostej, więc podstawiamy współrzędne punktu C do prostej wyżej wyznaczonej:

$C=(x_1,1)\\ y=2x-1\\ 1=2x_1-1\\ 2x_1=2/:2\\ x_1=1\\ C=(1,1)$

Przypadek 2

Interesuje nas przypadek, w którym wierzchołkiem kąta prostego jest punkt B. Sporządzamy szkic.

Szukamy punktu D, który leży na prostej y=1, zatem jego współrzędna y jest równa 1. Współrzędne szukanego punktu D oznaczymy:

Punkt D leży na prostej prostopadłej do prostej, która jest wyznaczona przez punkty A i B, której równanie znaleźliśmy w rozpatrywanym przypadku 1.

Przy wyznaczeniu równania prostej wyznaczonej przez punkty B, D skorzystamy z własności prostych prostopadłych. Współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych spełniają warunek:

$a=-\frac{1}{a_1}$

Ponadto prosta ta przechodzi przez punkt B, którego współrzędne znamy, mamy więc:

$a_2=-\frac{1}{a}=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2\\ y=a_2x+b_2\\ y=2x+b_2\\ B=(4,2)\\ 2=4\cdot 2+b_2\\ b_2=-6\\ y=2x-6$

Punkt D leży na tej prostej, więc podstawiamy współrzędne punktu D do prostej wyżej wyznaczonej:

$D=(x_2,1)\\ y=2x-6\\ 1=2x_2-6\\ 2x_2=7/:2\\ x_2=\frac{7}{2}\\ C=(\frac{7}{2},1)$

Przypadek 3

Interesuje nas przypadek, w którym wierzchołkiem kąta prostego jest punkt E. Sporządzamy szkic.

Szukamy punktu E, który leży na prostej y=1, zatem jego współrzędna y jest równa 1. Współrzędne szukanego punktu E oznaczymy:

Szukamy prostej, wyznaczonej przez punkty A, E, podstawiając ich współrzędne do równania:

$y=a_3x+b_3\\ A=(2,3), \ E=(x_3,1)\\ \underline{ \ - \ \begin{cases} 3=a_3\cdot 2+b_3\\ 1=a_3\cdot x_3+b_3\end{cases}}\\ 2=2a_3-a_3x_3\\ 2=a_3(2-x_3)/:(2-x_3)\\ a_3=\frac{2}{2-x_3}, \ x_3\neq 2$

Ograniczymy się tylko do wyznaczenia współczynnika kierunkowego prostej, gdyż wartość x₃ znajdziemy z warunku dotyczącego współczynników kierunkowych prostych prostopadłych.

Szukamy prostej, wyznaczonej przez punkty B, E, podstawiając ich współrzędne do równania:

$y=a_4x+b_4\\ B=(4,2), \ E=(x_3,1)\\ \underline{ \ - \ \begin{cases} 2=a_4\cdot 4+b_4\\ 1=a_4\cdot x_3+b_4\end{cases}}\\ 1=4a_4-a_4x_3\\ 1=a_4(4-x_3)/:(4-x_3)\\ a_4=\frac{1}{4-x_3}, \ x_3\neq 4$

Skorzystamy z własności prostych prostopadłych. Współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych spełniają warunek:

$a_3=-\frac{1}{a_4}$

Mamy więc:

$a_3=-\frac{1}{a_4}\\ \frac{2}{2-x_3}=-\frac{1}{\frac{1}{4-x_3}}\\ \frac{2}{2-x_3}=-(4-x_3)\\ \frac{2}{2-x_3}=x_3-4/\cdot (2-x_3), \ bo \ x_3\neq 2\\ 2=(2-x_3)(x_3-4)\\ 2=2x_3-8-x_3^2+4x_3\\ x_3^2-6x_3+10=0\\ \Delta=36-40=-4<0$

Ponieważ wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, równanie nie ma rozwiązania, zatem rozpatrywane proste nie mogą tworzyć kąta prostego. Przypadek tu rozpatrywany nie zachodzi. Co jednak, gdy x₃=2 lub x₃=4? W obu przypadkach otrzymujemy punkty o współrzędnych (2,1), (4,1), które z punktami A i B tworzą proste prostopadłe do prostej o równaniu y=1. Nie zachodzi tutaj przypadek utworzenia z tych punktów wraz z A, B trójkąta prostokątnego.

Odpowiedź

$C=(1,1), \ D=(\frac{7}{2},1)$

Zadania podobne

Zadanie - okrąg opisany na trójkącie
Na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 3 i 4 opisano koło. Oblicz pole i obwód tego koła.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - suma miar kątów w tójkącie
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30^o. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt prostokątny
W trójkącie prostokątnym miary dwóch kątów wewnętrznych są równe, a długość przeciwprostokątnej jest równa 6. Oblicz miarę kątów w tym trójkącie oraz długość boków.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt prostokątny, twierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą odpowiednio 5 i 8. Oblicz długość przeciwprostokątnej.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt prostokątny
W trójkącie prostokątnym wysokość o długości $2\sqrt{2}$ opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli podstawę na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt prostokątny
W równoramiennym trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 10 cm. Obliczyć długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt prostokątny
Jaką długość mają przyprostokątne trójkąta prostokątnego, jeżeli wiadomo, że jedna z przyprostokątnych jest 3 razy dłuższa od drugiej i średnica okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość równą $\sqrt{10}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt prostokątny
Długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym równoramiennym jest dwa razy większa od długości przyprostokątnej. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 19, matura 2016 (poziom podstawowy)
Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).
wzór

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe: A. 14
B. $2\sqrt{33}$
C. $4\sqrt{33}$
D. 12

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.