Nauka » Matematyka » Pole koła i długość okręgu Trójkąt prostokątny

Zadanie - okrąg opisany na trójkącie

Na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 3 i 4 opisano koło. Oblicz pole i obwód tego koła.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$a^2+b^2=(2R)^2\\ R=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\\ R=\frac{\sqrt{3^2+4^2}}{2}=\frac{5}{2}$
$P=\pi R^2=\frac{25\pi}{4}$
$S=2\pi R=5\pi$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy rysunek:

Kąt oparty na średnicy koła jest kątem prostym, zatem środek naszego koła leży na przeciwprostokątnej naszego trójkąta. Ponieważ środek okręgu opisanego na trójkącie leży na przecięciu symetralnych boków trójkąta, środek koła opisanego dzieli przeciwprostokątną trójkąta na dwie równe części. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:

$a^2+b^2=(2R)^2\\ a^2+b^2=4R^2/:4\\ R^2=\frac{a^2+b^2}{4}\\ R=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\\ a=3, \ b=4\\ R=\frac{\sqrt{3^2+4^2}}{2}=\frac{\sqrt{25}}{2}=\frac{5}{2}$

Obliczamy pole koła:

$P=\pi R^2\\ P=\pi \cdot (\frac{5}{2})^2\\ P=\pi \cdot \frac{25}{4}\\ P=\frac{25\pi}{4}$

Obliczamy obwód okręgu:

$S=2\pi R=2\pi \cdot \frac{5}{2}=5\pi$

Odpowiedź

$P=\frac{25\pi}{4}, \ S=5\pi$

Zadania podobne

Zadanie - suma miar kątów w tójkącie
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30^o. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt prostokątny
W trójkącie prostokątnym miary dwóch kątów wewnętrznych są równe, a długość przeciwprostokątnej jest równa 6. Oblicz miarę kątów w tym trójkącie oraz długość boków.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt prostokątny, twierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą odpowiednio 5 i 8. Oblicz długość przeciwprostokątnej.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt prostokątny
W trójkącie prostokątnym wysokość o długości $2\sqrt{2}$ opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli podstawę na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt prostokątny
W równoramiennym trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 10 cm. Obliczyć długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt prostokątny
Jaką długość mają przyprostokątne trójkąta prostokątnego, jeżeli wiadomo, że jedna z przyprostokątnych jest 3 razy dłuższa od drugiej i średnica okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość równą $\sqrt{10}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt prostokątny
Długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym równoramiennym jest dwa razy większa od długości przyprostokątnej. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt prostokątny
Znaleźć punkt na prostej y=1, który wraz z punktami A=(2,3), B=(4,2) wyznaczy trójkąt prostokątny.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 19, matura 2016 (poziom podstawowy)
Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).
wzór

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe: A. 14
B. $2\sqrt{33}$
C. $4\sqrt{33}$
D. 12

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.