Zadanie - okrąg opisany na trójkącie
Treść zadania:
Na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 3 i 4 opisano koło. Oblicz pole i obwód tego koła.
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy rysunek:
Kąt oparty na średnicy koła jest kątem prostym, zatem środek naszego koła leży na przeciwprostokątnej naszego trójkąta. Ponieważ środek okręgu opisanego na trójkącie leży na przecięciu symetralnych boków trójkąta, środek koła opisanego dzieli przeciwprostokątną trójkąta na dwie równe części. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:
\(a^2+b^2=(2R)^2\)
\(a^2+b^2=4R^2/:4\)
\(R^2=\frac{a^2+b^2}{4}\)
\(R=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\)
\(a=3, \ b=4\)
\(R=\frac{\sqrt{3^2+4^2}}{2}=\frac{\sqrt{25}}{2}= \frac{5}{2}\)
Obliczamy pole koła:
\(P=\pi R^2\)
\(P=\pi \cdot (\frac{5}{2})^2\)
\(P=\pi \cdot \frac{25}{4}\)
\(P=\frac{25\pi}{4}\)
Obliczamy obwód okręgu:
\(S=2\pi R=2\pi \cdot \frac{5}{2}=5\pi\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-01-18, ZAD-1111
Zadania podobne
Zadanie nr 4.
Ile potrzeba sznurka, aby ułożyć z niego okrąg o średnicy 2 m?
Zadanie nr 5.
Pole koła jest równe \(\pi\). Jaki promień ma koło o polu dwa razy mniejszym? Oblicz stosunek promieni tych okręgów.
Zadanie nr 6.
Z kwadratowej blachy o boku długości 1 m wycięto koła o promieniu \(r=10\ cm\) tak, że środki tych kół leżą na prostych równoległych i prostopadłych. Jaka jest powierzchnia ścinków? Jaki procent powierzchni blachy stanowią ścinki?
Zadanie nr 7.
W koło o promieniu \(r\) wpisano kwadrat. Oblicz pole figury, która stanowi różnicę tego koła i kwadratu?
Zadanie nr 8.
Na trójkącie równobocznym o boku \(a=1\) opisano okrąg. Oblicz obwód tego okręgu i pole koła wyznaczonego przez ten okrąg.
Zadanie nr 9.
W trójkąt równoboczny o boku długości \(a=1\) wpisano koło. Oblicz jego pole i obwód.
Zadanie nr 10.
Oblicz długość okręgu danego równaniem \((x-1)^2+(y-1)^2=2\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Pole figury \(F_1\) złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach 1 i 3 jest równe polu figury \(F_2\) złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach długości \(r\) (zobacz rysunek).
Długość \(r\) promienia jest równa
A. \(\sqrt{3}\)
B. \(2\)
C. \(\sqrt{5}\)
D. \(3\)