Logo Media Nauka

Zadanie - okrąg opisany na trójkącie

Na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 3 i 4 opisano koło. Oblicz pole i obwód tego koła.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

a^2+b^2=(2R)^2\\ R=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\\ R=\frac{\sqrt{3^2+4^2}}{2}=\frac{5}{2}
P=\pi R^2=\frac{25\pi}{4}
S=2\pi R=5\pi


ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy rysunek:

Okrąg opisany na trójkącie

Kąt oparty na średnicy koła jest kątem prostym, zatem środek naszego koła leży na przeciwprostokątnej naszego trójkąta. Ponieważ środek okręgu opisanego na trójkącie leży na przecięciu symetralnych boków trójkąta, środek koła opisanego dzieli przeciwprostokątną trójkąta na dwie równe części. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:

a^2+b^2=(2R)^2\\ a^2+b^2=4R^2/:4\\ R^2=\frac{a^2+b^2}{4}\\ R=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\\ a=3, \ b=4\\ R=\frac{\sqrt{3^2+4^2}}{2}=\frac{\sqrt{25}}{2}=\frac{5}{2}

Obliczamy pole koła:

P=\pi R^2\\ P=\pi \cdot (\frac{5}{2})^2\\ P=\pi \cdot \frac{25}{4}\\ P=\frac{25\pi}{4}

Obliczamy obwód okręgu:

S=2\pi R=2\pi \cdot \frac{5}{2}=5\pi

ksiązki Odpowiedź

P=\frac{25\pi}{4}, \ S=5\pi

© medianauka.pl, 2011-01-18, ZAD-1111



Zadania podobne

kulkaZadanie - suma miar kątów w tójkącie
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - trójkąt prostokątny
W trójkącie prostokątnym miary dwóch kątów wewnętrznych są równe, a długość przeciwprostokątnej jest równa 6. Oblicz miarę kątów w tym trójkącie oraz długość boków.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - trójkąt prostokątny, twierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą odpowiednio 5 i 8. Oblicz długość przeciwprostokątnej.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - trójkąt prostokątny
W trójkącie prostokątnym wysokość o długości 2\sqrt{2}opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli podstawę na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - trójkąt prostokątny
W równoramiennym trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 10 cm. Obliczyć długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - trójkąt prostokątny
Jaką długość mają przyprostokątne trójkąta prostokątnego, jeżeli wiadomo, że jedna z przyprostokątnych jest 3 razy dłuższa od drugiej i średnica okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość równą \sqrt{10}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - trójkąt prostokątny
Długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym równoramiennym jest dwa razy większa od długości przyprostokątnej. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - trójkąt prostokątny
Znaleźć punkt na prostej y=1, który wraz z punktami A=(2,3), B=(4,2) wyznaczy trójkąt prostokątny.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 19, matura 2016 (poziom podstawowy)
Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).
wzór
Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe: A. 14
B. 2\sqrt{33}
C. 4\sqrt{33}
D. 12


Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.