Zadanie - okrąg opisany na trójkącie
Treść zadania:
Na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 3 i 4 opisano koło. Oblicz pole i obwód tego koła.
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy rysunek:
Kąt oparty na średnicy koła jest kątem prostym, zatem środek naszego koła leży na przeciwprostokątnej naszego trójkąta. Ponieważ środek okręgu opisanego na trójkącie leży na przecięciu symetralnych boków trójkąta, środek koła opisanego dzieli przeciwprostokątną trójkąta na dwie równe części. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:
\(a^2+b^2=(2R)^2\)
\(a^2+b^2=4R^2/:4\)
\(R^2=\frac{a^2+b^2}{4}\)
\(R=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\)
\(a=3, \ b=4\)
\(R=\frac{\sqrt{3^2+4^2}}{2}=\frac{\sqrt{25}}{2}= \frac{5}{2}\)
Obliczamy pole koła:
\(P=\pi R^2\)
\(P=\pi \cdot (\frac{5}{2})^2\)
\(P=\pi \cdot \frac{25}{4}\)
\(P=\frac{25\pi}{4}\)
Obliczamy obwód okręgu:
\(S=2\pi R=2\pi \cdot \frac{5}{2}=5\pi\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-01-18, ZAD-1111
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30°. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.
Zadanie nr 2.
W trójkącie prostokątnym miary dwóch kątów wewnętrznych są równe, a długość przeciwprostokątnej jest równa 6. Oblicz miarę kątów w tym trójkącie oraz długość boków.
Zadanie nr 3.
W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą odpowiednio 5 i 8. Oblicz długość przeciwprostokątnej.
Zadanie nr 4.
W trójkącie prostokątnym wysokość o długości \(2\sqrt{2}\) opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli podstawę na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków trójkąta.
Zadanie nr 5.
W równoramiennym trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 10 cm. Obliczyć długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
Zadanie nr 6.
Jaką długość mają przyprostokątne trójkąta prostokątnego, jeżeli wiadomo, że jedna z przyprostokątnych jest 3 razy dłuższa od drugiej i średnica okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość równą \(\sqrt{10}\).
Zadanie nr 7.
Długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym równoramiennym jest dwa razy większa od długości przyprostokątnej. Oblicz długości boków tego trójkąta.
Zadanie nr 8.
Znaleźć punkt na prostej \(y=1\), który wraz z punktami \(A=(2,3), B=(4,2)\) wyznaczy trójkąt prostokątny.
Zadanie nr 9 — maturalne.
Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie \(P\) przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).
Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe:
A. \(14\)
B. \(2\sqrt{33}\)
C. \(4\sqrt{33}\)
D. \(12\)