Pole koła

Pole koła o promieniu \(r\) jest równe:

\(P=\pi r^2\)

To wzór na pole koła. Zastosujmy go w przykładach.

Przykład 1

Obliczymy pole koła o średnicy \(8\ cm\).

Koło o średnicy \(8\ cm\) ma promień o długości \(r=4\ cm\) (połowa średnicy). Pole koła jest więc równe:

\(P=\pi r^2=\pi \cdot (4 cm)^2=16\pi \ cm^2\)

Przykład 2

Oblicz ile w przybliżeniu wynosi pole koła o średnicy 2.

Jeżeli średnica ma długość 2, to promień koła ma długość 1. Stosujemy wzór na pole koła \(P=\pi r^2=\pi \cdot 1^2=\pi\approx 3,14\).

Kalkulator — pole koła

Kalkulator
Podaj długość promienia koła, a nasz kalkulator obliczy pole powierzchni koła.

Wpisz dane:

Promień koła:

Rozwiązanie:

Wzór na pole koła ze średnicą

Jeżeli mamy podaną średnicę koła \(d\), pole koła obliczymy z następującego wzoru:

\(P=\frac{1}{4}\pi d^2\)

Długość okręgu

Długość okręgu to inaczej obwód koła. Podajemy wzór na obwód okręgu (długość okręgu). Długość okręgu o promieniu \(r\) jest równa:

\(2\pi r\)

Przykład

Obliczymy długość okręgu o średnicy 1 m.

Okrąg o średnicy 1 m ma promień o długości \(r=0,5\ m\) (połowa średnicy). Długość okręgu jest więc równa:

\(P=2\pi r=2\pi \cdot \frac{1}{2} \ m=\pi \ m\)

Pytania

Jak obliczyć pole koła?

Jeżeli znamy długość promienia, podnosimy jego wartość do kwadratu i mnożymy przez liczbę \(\pi \approx 3,14.\)

Jaka jest powierzchnia okręgu?

Okrąg ma zerowe pole powierzchni.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Obliczyć pole koła o średnicy \(d=\sqrt{2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Obliczyć długość okręgu o średnicy \(d=7\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Jaki promień ma koło o polu równym 1?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Ile potrzeba sznurka, aby ułożyć z niego okrąg o średnicy 2 m?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Pole koła jest równe \(\pi\). Jaki promień ma koło o polu dwa razy mniejszym? Oblicz stosunek promieni tych okręgów.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Z kwadratowej blachy o boku długości 1 m wycięto koła o promieniu \(r=10\ cm\) tak, że środki tych kół leżą na prostych równoległych i prostopadłych. Jaka jest powierzchnia ścinków? Jaki procent powierzchni blachy stanowią ścinki?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

W koło o promieniu \(r\) wpisano kwadrat. Oblicz pole figury, która stanowi różnicę tego koła i kwadratu?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Na trójkącie równobocznym o boku \(a=1\) opisano okrąg. Oblicz obwód tego okręgu i pole koła wyznaczonego przez ten okrąg.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

W trójkąt równoboczny o boku długości \(a=1\) wpisano koło. Oblicz jego pole i obwód.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10.

Na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 3 i 4 opisano koło. Oblicz pole i obwód tego koła.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11.

Oblicz długość okręgu danego równaniem \((x-1)^2+(y-1)^2=2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12 — maturalne.

Pole figury \(F_1\) złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach 1 i 3 jest równe polu figury \(F_2\) złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach długości \(r\) (zobacz rysunek).

Rysunek do zadani amaturalnego nr 24, 2021