Równanie okręgu

Równanie okręgu jest szczególnym przypadkiem równania drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi. Zanim poznamy wzór na równanie okręgu, zaczniemy od omówienia równania drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi

Definicja

Równanie w postaci:

gdzie zachodzi co najmniej jedna z zależności: $a\neq{0},b\neq{0},c\neq{0}$ , natomiast d, e, f - są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy równaniem drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Przykład

Kilka przykładów takich równań:
$-x^2-2y^2+34y-5=0\\xy+1=0\\x^2+y^2=0$

Rozwiązanie równania drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi polega na podaniu zbioru par liczb, które spełniają dane równanie. Przedstawiamy zwykle obraz geometryczny zbioru rozwiązań takiego równania poprzez sporządzenie wykresu takiego równania.

Wykresem takiego równania może być okrąg, elipsa, parabola, hiperbola. Równanie może też nie mieć rozwiązania lub może spełniać je para liczb.

Równanie kanoniczne okręgu

Szczególnym przypadkiem równania drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi jest równanie kanoniczne okręgu:

gdzie r>0 jest promieniem okręgu, a S(p,q) jest jego środkiem.

Przykład

Znajdziemy dla przykładu zbiór rozwiązań równania .

Ponieważ w równaniu nie ma wyrazu xy, a obie niewiadome występują w drugiej potędze, prawdopodobnie wykresem tego równania będzie okrąg. Trzeba jednak przekształcić powyższe równanie do postaci kanonicznej.

Grupujemy wyrazy:
Aby skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia musimy jeszcze mieć wyrazy wolne, możemy więc dodać je do obu stron równania.

$(x^2-6x+9)+(y^2-2y+1)+6=9+1\\(x-3)^2+(y-1)^2=10-6\\(x-3)^2+(y-1)^2=2^2$

Teraz wyraźnie widać, że rozwiązaniem równania jest zbiór par liczb, będących współrzędnymi punktów należących do okręgu o promieniu r=2 i środku S(3,1).

wykres

Pytania

Jak sprawdzić, czy podane równanie jest równaniem okręgu?

Jeżeli równanie da się przekształcić do postaci kanonicznej okręgu, to znaczy, że dane równanie jest nim. Gdy tylko obie niewiadome nie są w drugiej potędze lub występuje ich iloczyn, można podejrzewać, że dane równanie nie jest równaniem okręgu.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Równanie okręgu

Zadanie - równanie okręgu
Rozwiązać graficznie równanie .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie okręgu - odczyt z wykresu
Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.
okrąg w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie okręgu
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty $A=(1,1), \ B=(5,1),\ C=(3,2\sqrt{3}+1)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 8, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że x²+y²=2, prawdziwa jest nierówność x +y ≤ 2.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 15, matura 2014
Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x+2)²+(y-3)²=4 z osiami układu współrzędnych jest równa:

A. 0
B. 1
C. 2
D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 20, matura 2017 (poziom podstawowy)
Dany jest okrąg o środku S = (2,3) i promieniu r = 5 . Który z podanych punktów leży na tym okręgu?
A. A = (-1, 7)
B. B = (2, 3)
C. C = (3, 2)
D. D = (5, 3)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 11, matura 2017 (poziom rozszerzony)
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A=(−5, 3) i B=(0, 6), którego środek leży na prostej o równaniu x−3y+1=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 18, matura 2018

Średnicą okręgu jest odcinek KL, gdzie K = (6,8) , L = (−6, − 8) . Równanie tego okręgu ma
postać

x²+y²=200
x²+y²=100
x²+y²=400
x²+y²=300

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - długość wektora i równanie okręgu
Dany jest punkt A=(-1,1). Znaleźć punkt B jeżeli wiadomo, że $|\vec{AB}|=4$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Nierówność drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi

Nierówność kwadratowa z dwiema niewiadomymi - definicja i przykłady rozwiązań.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.