Równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi

Definicja

Równanie w postaci

gdzie zachodzi co najmniej jedna z zależności: $a\neq{0},b\neq{0},c\neq{0}$ , natomiast d, e, f - są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy równaniem drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Przykład

Kilka przykładów takich równań:
$-x^2-2y^2+34y-5=0\\xy+1=0\\x^2+y^2=0$

Rozwiązanie równania drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi polega na podaniu zbioru par liczb, które spełniają dane równanie. Przedstawiamy zwykle obraz geometryczny zbioru rozwiązań takiego równania poprzez sporządzenie wykresu takiego równania.

Wykresem takiego równania może być okrąg, elipsa, parabola, hiperbola. Równanie może też nie mieć rozwiązania lub może spełniać je para liczb.

Równanie kanoniczne okręgu

Szczególnym przypadkiem równania drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi jest równanie kanoniczne okręgu:

gdzie r>0 jest promieniem okręgu, a S(p,q) jest jego środkiem.

Przykład

Znajdziemy dla przykładu zbiór rozwiązań równania .

Ponieważ w równaniu nie ma wyrazu xy, a obie niewiadome występują w drugiej potędze, prawdopodobnie wykresem tego równania będzie okrąg. Trzeba jednak przekształcić powyższe równanie do postaci kanonicznej.

Grupujemy wyrazy:
Aby skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia musimy jeszcze mieć wyrazy wolne, możemy więc dodać je do obu stron równania.

$(x^2-6x+9)+(y^2-2y+1)+6=9+1\\(x-3)^2+(y-1)^2=10-6\\(x-3)^2+(y-1)^2=2^2$

Teraz wyraźnie widać, że rozwiązaniem równania jest zbiór par liczb, będących współrzędnymi punktów należących do okręgu o promieniu r=2 i środku S(3,1).

wykres