Logo Serwisu Media Nauka

Równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi

Definicja Definicja

Równanie w postaci

ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0

gdzie zachodzi co najmniej jedna z zależności: a\neq{0},b\neq{0},c\neq{0}, natomiast d, e, f - są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy równaniem drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Przykład Przykład

Kilka przykładów takich równań:
-x^2-2y^2+34y-5=0\\xy+1=0\\x^2+y^2=0

Teoria Rozwiązanie równania drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi polega na podaniu zbioru par liczb, które spełniają dane równanie. Przedstawiamy zwykle obraz geometryczny zbioru rozwiązań takiego równania poprzez sporządzenie wykresu takiego równania.

Wykresem takiego równania może być okrąg, elipsa, parabola, hiperbola. Równanie może też nie mieć rozwiązania lub może spełniać je para liczb.

Równanie kanoniczne okręgu

Teoria Szczególnym przypadkiem równania drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi jest równanie kanoniczne okręgu:

(x-p)^2+(y-q)^2=r^2

gdzie r>0 jest promieniem okręgu, a S(p,q) jest jego środkiem.

równanie okręgu

Przykład Przykład

Znajdziemy dla przykładu zbiór rozwiązań równania x^2+y^2-6x-2y+6=0.

Ponieważ w równaniu nie ma wyrazu xy, a obie niewiadome występują w drugiej potędze, prawdopodobnie wykresem tego równania będzie okrąg. Trzeba jednak przekształcić powyższe równanie do postaci kanonicznej.

Grupujemy wyrazy: x^2-6x+y^2-2y+6=0
Aby skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia musimy jeszcze mieć wyrazy wolne, możemy więc dodać je do obu stron równania.

(x^2-6x+9)+(y^2-2y+1)+6=9+1\\(x-3)^2+(y-1)^2=10-6\\(x-3)^2+(y-1)^2=2^2

Teraz wyraźnie widać, że rozwiązaniem równania jest zbiór par liczb, będących współrzędnymi punktów należących do okręgu o promieniu r=2 i środku S(3,1).

wykres


© medianauka.pl, 2009-08-16, ART-276





Inne zagadnienia z tej lekcji


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie - równanie okręgu
Rozwiązać graficznie równanie x^2+y^2+4x+6y+9=0.

zadanie-ikonka Zadanie - równanie okręgu - odczyt z wykresu
Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.
okrąg w układzie współrzędnych

zadanie-ikonka Zadanie - równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie równanie xy-1=0

zadanie-ikonka Zadanie - równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie równanie 2x^2+y+x-1=0

zadanie-ikonka Zadanie - równanie okręgu
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty A=(1,1), \ B=(5,1),\ C=(3,2\sqrt{3}+1)

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 8, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że x2+y2=2, prawdziwa jest nierówność x +y ≤ 2.

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 15, matura 2014
Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x+2)2+(y-3)2=4 z osiami układu współrzędnych jest równa:

A. 0
B. 1
C. 2
D. 4

zadanie-ikonka Zadanie - długość wektora i równanie okręgu
Dany jest punkt A=(-1,1). Znaleźć punkt B jeżeli wiadomo, że |\vec{AB}|=4.




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.