Równanie okręgu
Równanie okręgu jest szczególnym przypadkiem równania drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi. Zanim poznamy wzór na równanie okręgu, zaczniemy od omówienia równania drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi.
Równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Równanie w postaci:
gdzie zachodzi co najmniej jedna z zależności: \(a\neq{0},b\neq{0},c\neq{0}\), natomiast \(d, e, f\) — są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy równaniem drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi.
Przykłady
Kilka przykładów takich równań:
- \(-x^2-2y^2+34y-5=0\)
- \(xy+1=0\)
- \(x^2+y^2=0\)
Rozwiązanie równania drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi polega na podaniu zbioru par liczb, które spełniają dane równanie. Przedstawiamy zwykle obraz geometryczny zbioru rozwiązań takiego równania poprzez sporządzenie wykresu takiego równania.
Wykresem takiego równania może być okrąg, elipsa, parabola, hiperbola. Równanie może też nie mieć rozwiązania lub może spełniać je para liczb.
Równanie kanoniczne okręgu
Szczególnym przypadkiem równania drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi jest równanie kanoniczne okręgu.
gdzie \(r>0\) jest promieniem okręgu, a \(S(p,q)\) jest jego środkiem.
Przykłady
Znajdziemy dla przykładu zbiór rozwiązań równania \(x^2+y^2-6x-2y+6=0\).
Ponieważ w równaniu nie ma wyrazu \(xy\), a obie niewiadome występują w drugiej potędze, prawdopodobnie wykresem tego równania będzie okrąg. Trzeba jednak przekształcić powyższe równanie do postaci kanonicznej.
Grupujemy wyrazy: \(x^2-6x+y^2-2y+6=0\).
Aby skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia, musimy jeszcze mieć wyrazy wolne, możemy więc dodać je do obu stron równania.
\((x^2-6x+9)+(y^2-2y+1)+6=9+1\)
\((x-3)^2+(y-1)^2=10-6\)
\((x-3)^2+(y-1)^2=2^2\)
Teraz wyraźnie widać, że rozwiązaniem równania jest zbiór par liczb, będących współrzędnymi punktów należących do okręgu o promieniu \(r=2\) i środku \(S(3,1)\).
Pytania
Jak sprawdzić, czy podane równanie jest równaniem okręgu?
Jeżeli równanie da się przekształcić do postaci kanonicznej okręgu, to znaczy, że dane równanie jest nim. Gdy tylko obie niewiadome nie są w drugiej potędze lub występuje ich iloczyn, można podejrzewać, że dane równanie nie jest równaniem okręgu.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 2.
Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.
Zadanie nr 5.
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty \(A=(1,1), B=(5,1), C=(3,2\sqrt{3}+1)\).
Zadanie nr 6 — maturalne.
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) takich, że \(x^2+y^2=2\), prawdziwa jest nierówność \(x+y\leq 2\).
Zadanie nr 7 — maturalne.
Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu \((x+2)^2+(y-3)^2=4\) z osiami układu współrzędnych jest równa:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Zadanie nr 8 — maturalne.
Dany jest okrąg o środku \(S=(2,3)\) i promieniu \(r=5\). Który z podanych punktów leży na tym okręgu?
A. \(A=(-1, 7)\)
B. \(B=(2, 3)\)
C. \(C=(3, 2)\)
D. \(D=(5, 3)\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty \(A=(−5, 3)\) i \(B=(0, 6)\), którego środek leży na prostej o równaniu \(x−3y+1=0\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Średnicą okręgu jest odcinek \(KL\), gdzie \(K=(6,8)\), \(L=(−6, − 8)\). Równanie tego okręgu ma postać
A. \(x^2+y^2=200\)
B. \(x^2+y^2=100\)
C. \(x^2+y^2=400\)
D. \(x^2+y^2=300\)
Zadanie nr 11 — maturalne.
Dane są okręgi o równaniach \(x^2+y^2−12x−8y+43=0\) i \(x^2+y^2−2ax+4y+a^2−77=0\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.
Zadanie nr 12.
Dany jest punkt \(A=(-1,1)\). Znaleźć punkt \(B\), jeżeli wiadomo, że \(|\vec{AB}|=4\).
Powiązane materiały
Nierówność drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Równania i nierówności 2st. z 2 niewiadomymi
Okrąg i koło
Równanie okręgu© medianauka.pl, 2009-08-16, A-276
Data aktualizacji artykułu: 2023-05-07