Logo Media Nauka

Równanie okręgu

Równanie okręgu jest szczególnym przypadkiem równania drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi. Zanim poznamy wzór na równanie okręgu, zaczniemy od omówienia równania drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi

Definicja Definicja

Równanie w postaci:

ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0

gdzie zachodzi co najmniej jedna z zależności: a\neq{0},b\neq{0},c\neq{0}, natomiast d, e, f - są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy równaniem drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Przykład Przykład

Kilka przykładów takich równań:
-x^2-2y^2+34y-5=0\\xy+1=0\\x^2+y^2=0

Teoria Rozwiązanie równania drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi polega na podaniu zbioru par liczb, które spełniają dane równanie. Przedstawiamy zwykle obraz geometryczny zbioru rozwiązań takiego równania poprzez sporządzenie wykresu takiego równania.

Wykresem takiego równania może być okrąg, elipsa, parabola, hiperbola. Równanie może też nie mieć rozwiązania lub może spełniać je para liczb.

Równanie kanoniczne okręgu

Teoria Szczególnym przypadkiem równania drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi jest równanie kanoniczne okręgu:

(x-p)^2+(y-q)^2=r^2

gdzie r>0 jest promieniem okręgu, a S(p,q) jest jego środkiem.

równanie okręgu

Przykład Przykład

Znajdziemy dla przykładu zbiór rozwiązań równania x^2+y^2-6x-2y+6=0.

Ponieważ w równaniu nie ma wyrazu xy, a obie niewiadome występują w drugiej potędze, prawdopodobnie wykresem tego równania będzie okrąg. Trzeba jednak przekształcić powyższe równanie do postaci kanonicznej.

Grupujemy wyrazy: x^2-6x+y^2-2y+6=0
Aby skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia musimy jeszcze mieć wyrazy wolne, możemy więc dodać je do obu stron równania.

(x^2-6x+9)+(y^2-2y+1)+6=9+1\\(x-3)^2+(y-1)^2=10-6\\(x-3)^2+(y-1)^2=2^2

Teraz wyraźnie widać, że rozwiązaniem równania jest zbiór par liczb, będących współrzędnymi punktów należących do okręgu o promieniu r=2 i środku S(3,1).

wykres

Pytania

Jak sprawdzić, czy podane równanie jest równaniem okręgu?

Jeżeli równanie da się przekształcić do postaci kanonicznej okręgu, to znaczy, że dane równanie jest nim. Gdy tylko obie niewiadome nie są w drugiej potędze lub występuje ich iloczyn, można podejrzewać, że dane równanie nie jest równaniem okręgu.


© medianauka.pl, 2009-08-16, ART-276





Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Równanie okręgu

zadanie-ikonka Zadanie - równanie okręgu
Rozwiązać graficznie równanie x^2+y^2+4x+6y+9=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie okręgu - odczyt z wykresu
Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.
okrąg w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie równanie xy-1=0

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie równanie 2x^2+y+x-1=0

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie okręgu
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty A=(1,1), \ B=(5,1),\ C=(3,2\sqrt{3}+1)

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 8, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że x2+y2=2, prawdziwa jest nierówność x +y ≤ 2.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 15, matura 2014
Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x+2)2+(y-3)2=4 z osiami układu współrzędnych jest równa:

A. 0
B. 1
C. 2
D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - długość wektora i równanie okręgu
Dany jest punkt A=(-1,1). Znaleźć punkt B jeżeli wiadomo, że |\vec{AB}|=4.

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Nierówność drugiego stopnia z dwiema niewiadomymiNierówność drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Nierówność kwadratowa z dwiema niewiadomymi - definicja i przykłady rozwiązań.



© Media Nauka 2008-2018 r.