Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Zadanie - równanie okręgu

Rozwiązać graficznie równanie x^2+y^2+4x+6y+9=0.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

(x^2+4x+4)+(y^2+6y+9)+9-9-4=0 \\ (x+2)^2+(y+3)^2=4
S=(-2,-3)\\ r=2

Sporządzamy wykres okręgu o promieniu r i środku S:

Okrąg w układzie współrzędnych
Wykres ten jest graficznym rozwiązaniem równania.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Mamy do czynienia z równaniem algebraicznym (wielomianowym) z dwoma niewiadomymi. Wykresem takiego równania może być okrąg, elipsa, parabola, hiperbola. Równanie może też nie mieć rozwiązania lub może spełniać je para liczb. Ponieważ w równaniu nie ma wyrazu xy, a obie niewiadome występują w drugiej potędze, prawdopodobnie wykresem tego równania będzie okrąg. Trzeba jednak przekształcić powyższe równanie do postaci kanonicznej.

Skorzystamy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia:

a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

Pogrupujmy wyrazy:

(x^2+4x)+(y^2+6y)+9=0 \\ (x^2+2\cdot 2x)+(y^2+2\cdot 3y)+9=0

Aby zastosować wyżej wymieniony wzór skróconego mnożenia brakuje nam jeszcze liczb: w pierwszym nawiasie 22 i w drugim nawiasie 32=9. Dodajmy je więc do lewej strony równania, a żeby otrzymać równanie równoważne, odejmijmy te same liczby pod lewej strony równania:

(x^2+2\cdot 2x+2^2)+(y^2+2\cdot 3y+3^2)+9-4-9=0 \\ (x+2)^2+(y+3)^2=4 \\ [x-(-2)]^2+[y-(-3)]^2=2^2 tło tło tło tło

Otrzymaliśmy równanie w postaci:

(x-p)^2+(y-q)^2=r^2

gdzie (p,q) - współrzędne środka okręgu o promieniu r. Porównując ten wzór do naszego równania odczytujemy:

p=-2\\ q=-3\\ S=(-2,-3)\\ r=2

Sporządzamy wykres:

Okrąg w układzie współrzędnych

Wykres ten jest graficznym rozwiązaniem równania.


© medianauka.pl, 2010-02-01, ZAD-567





Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie okręgu - odczyt z wykresu
Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.
okrąg w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie równanie xy-1=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie równanie 2x^2+y+x-1=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie okręgu
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty A=(1,1), \ B=(5,1),\ C=(3,2\sqrt{3}+1)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - długość wektora i równanie okręgu
Dany jest punkt A=(-1,1). Znaleźć punkt B jeżeli wiadomo, że |\vec{AB}|=4.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 8, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że x2+y2=2, prawdziwa jest nierówność x +y ≤ 2.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 15, matura 2014
Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x+2)2+(y-3)2=4 z osiami układu współrzędnych jest równa:

A. 0
B. 1
C. 2
D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.