Nauka » Matematyka » Równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi

zadanie

Zadanie - równanie okręgu

Rozwiązać graficznie równanie

.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$(x^2+4x+4)+(y^2+6y+9)+9-9-4=0 \\ (x+2)^2+(y+3)^2=4$
$S=(-2,-3)\\ r=2$

Sporządzamy wykres okręgu o promieniu r i środku S:

Okrąg w układzie współrzędnych

Wykres ten jest graficznym rozwiązaniem równania.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Mamy do czynienia z równaniem algebraicznym (wielomianowym) z dwoma niewiadomymi. Wykresem takiego równania może być okrąg, elipsa, parabola, hiperbola. Równanie może też nie mieć rozwiązania lub może spełniać je para liczb. Ponieważ w równaniu nie ma wyrazu xy, a obie niewiadome występują w drugiej potędze, prawdopodobnie wykresem tego równania będzie okrąg. Trzeba jednak przekształcić powyższe równanie do postaci kanonicznej.

Skorzystamy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia:

Pogrupujmy wyrazy:

$(x^2+4x)+(y^2+6y)+9=0 \\ (x^2+2\cdot 2x)+(y^2+2\cdot 3y)+9=0$

Aby zastosować wyżej wymieniony wzór skróconego mnożenia brakuje nam jeszcze liczb: w pierwszym nawiasie 2² i w drugim nawiasie 3²=9. Dodajmy je więc do lewej strony równania, a żeby otrzymać równanie równoważne, odejmijmy te same liczby pod lewej strony równania:

$(x^2+2\cdot 2x+2^2)+(y^2+2\cdot 3y+3^2)+9-4-9=0 \\ (x+2)^2+(y+3)^2=4 \\ [x-(-2)]^2+[y-(-3)]^2=2^2$ tło

Otrzymaliśmy równanie w postaci:

gdzie (p,q) - współrzędne środka okręgu o promieniu r. Porównując ten wzór do naszego równania odczytujemy:

$p=-2\\ q=-3\\ S=(-2,-3)\\ r=2$

Sporządzamy wykres:

Okrąg w układzie współrzędnych

Wykres ten jest graficznym rozwiązaniem równania.

© medianauka.pl, 2010-02-01, ZAD-567

Zadania podobne

Zadanie - równanie okręgu - odczyt z wykresu
Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.
okrąg w układzie współrzędnych

okrąg w układzie współrzędnych

Zadanie - równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie równanie

Zadanie - równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie równanie

Zadanie - równanie okręgu
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty $A=(1,1), \ B=(5,1),\ C=(3,2\sqrt{3}+1)$

Zadanie - długość wektora i równanie okręgu
Dany jest punkt A=(-1,1). Znaleźć punkt B jeżeli wiadomo, że $|\vec{AB}|=4$ .

Zadanie maturalne nr 8, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że x²+y²=2, prawdziwa jest nierówność x +y ≤ 2.

Zadanie maturalne nr 15, matura 2014
Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x+2)²+(y-3)²=4 z osiami układu współrzędnych jest równa:

A. 0
B. 1
C. 2
D. 4

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka

Polecamy

Kalkulator Axel AX-1206e

Kalkulator Axel AX-1206e
STARPAK

Einstein

Einstein
Jerzy Kierul

Zasady statystyki jedno- i dwuwymiarowej T.1

Zasady statystyki jedno- i dwuwymiarowej T.1
Wiesław Wagner, Andrzej Mantaj

Człowiek i Wszechświat

Człowiek i Wszechświat
Brian Cox, Andrew Cohen

© Media Nauka 2008-2017 r.