Zadanie maturalne nr 11, matura 2017 (poziom rozszerzony)

Rozwiązanie zadania

Oznaczmy przez S=(a,b) współrzędne środka danego okręgu i r - promień tego okręgu.

Pierwsze równanie

Ponieważ okrąg leży na prostej x−3y+1=0, możemy zapisać, że:

\( a-3b+1=0 \)

Drugie równanie

Równanie okręgu dane jest wzorem:

Ponieważ A=(−5, 3) i B=(0, 6) leżą na tym okręgu, spełniają zatem jego równanie. Możemy więc zapisać układ równań:

\( \begin{cases} (-5-a)^2+(3-b)^2=r^2 \\ (0-a)^2+(6-b)^2=r^2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} (5+a)^2+(3-b)^2=r^2 \\ a^2+(6-b)^2=r^2 \end{cases} \)

\( (5-a)^2+(3-b)^2=a^2+(6-b)^2 \)

\( 25+10a+a^2+9-6b+b^2=a^2+36-12b+b^2 \)

\( 25+10a+9-6b=36-12b \)

\( 5a+3b-1=0 \)

Podsumowanie

Wykorzystamy teraz oba wyprowadzone równania:

\( \begin{cases} 5a+3b-1=0 \\ a-3b+1=0 \end{cases} \)

\( 6a=0 \)

\( a=0 \)

\( 0-3b+1=0 \)

\( b=\frac{1}{3} \)

\( S=(0,\frac{1}{3}) \)

Mamy współrzędne środka, potrzebujemy jeszcze znać długość promienia r. Skorzystamy z jednego z powyższych równań z r²:

\( (-a)^2+(6-b)^2=r^2 \)

\( (0)^2+(6-\frac{1}{3})^2=r^2 \)

\( r^2=\frac{289}{9} \)

Zatem możemy już zapisać równanie szukanego okręgu:

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2022-12-30, ZAD-4577

Zadania podobne

Rozwiązać graficznie równanie \(x^2+y^2+4x+6y+9=0\).

Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.

Rozwiązać graficznie równanie \(xy-1=0\).

Rozwiązać graficznie równanie \(2x^2+y+x-1=0\).

Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty \(A=(1,1), B=(5,1), C=(3,2\sqrt{3}+1)\).

Dany jest punkt \(A=(-1,1)\). Znaleźć punkt \(B\), jeżeli wiadomo, że \(|\vec{AB}|=4\).

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) takich, że \(x^2+y^2=2\), prawdziwa jest nierówność \(x+y\leq 2\).

Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu \((x+2)^2+(y-3)^2=4\) z osiami układu współrzędnych jest równa:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Dany jest okrąg o środku \(S=(2,3)\) i promieniu \(r=5\). Który z podanych punktów leży na tym okręgu?

A. \(A=(-1, 7)\)

B. \(B=(2, 3)\)

C. \(C=(3, 2)\)

D. \(D=(5, 3)\)

Średnicą okręgu jest odcinek \(KL\), gdzie \(K=(6,8)\), \(L=(−6, − 8)\). Równanie tego okręgu ma postać

A. \(x^2+y^2=200\)

B. \(x^2+y^2=100\)

C. \(x^2+y^2=400\)

D. \(x^2+y^2=300\)

Dane są okręgi o równaniach \(x^2+y^2−12x−8y+43=0\) i \(x^2+y^2−2ax+4y+a^2−77=0\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.