Nauka » Matematyka » Równanie okręgu

Zadanie maturalne nr 11, matura 2017 (poziom rozszerzony)

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A=(−5, 3) i B=(0, 6), którego środek leży na prostej o równaniu x−3y+1=0.

Rozwiązanie zadania

Oznaczmy przez S=(a,b) współrzędne środka danego okręgu i r - promień tego okręgu.

Pierwsze równanie

Ponieważ okrąg leży na prostej x−3y+1=0, możemy zapisać, że:

$ a-3b+1=0 $

Drugie równanie

Równanie okręgu dane jest wzorem:

$ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 $

Ponieważ A=(−5, 3) i B=(0, 6) leżą na tym okręgu, spełniają zatem jego równanie. Możemy więc zapisać układ równań:

$ \begin{cases} (-5-a)^2+(3-b)^2=r^2 \\ (0-a)^2+(6-b)^2=r^2 \end{cases} $

$ \begin{cases} (5+a)^2+(3-b)^2=r^2 \\ a^2+(6-b)^2=r^2 \end{cases} $

$ (5-a)^2+(3-b)^2=a^2+(6-b)^2 $

$ 25+10a+a^2+9-6b+b^2=a^2+36-12b+b^2 $

$ 25+10a+9-6b=36-12b $

$ 5a+3b-1=0 $

Podsumowanie

Wykorzystamy teraz oba wyprowadzone równania:

$ \begin{cases} 5a+3b-1=0 \\ a-3b+1=0 \end{cases} $

$ 6a=0 $

$ a=0 $

$ 0-3b+1=0 $

$ b=\frac{1}{3} $

$ S=(0,\frac{1}{3}) $

Mamy współrzędne środka, potrzebujemy jeszcze znać długość promienia r. Skorzystamy z jednego z powyższych równań z r²:

$ (-a)^2+(6-b)^2=r^2 $

$ (0)^2+(6-\frac{1}{3})^2=r^2 $

$ r^2=\frac{289}{9} $

Zatem możemy już zapisać równanie szukanego okręgu:

Odpowiedź

$ x^2+(y-\frac{1}{3})^2=\frac{289}{9} $

Zadania podobne

Zadanie - równanie okręgu
Rozwiązać graficznie równanie

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie okręgu - odczyt z wykresu
Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.
okrąg w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie okręgu
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty $A=(1,1), \ B=(5,1),\ C=(3,2\sqrt{3}+1)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - długość wektora i równanie okręgu
Dany jest punkt A=(-1,1). Znaleźć punkt B jeżeli wiadomo, że $|\vec{AB}|=4$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 8, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że x²+y²=2, prawdziwa jest nierówność x +y ≤ 2.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 15, matura 2014
Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x+2)²+(y-3)²=4 z osiami układu współrzędnych jest równa:

A. 0
B. 1
C. 2
D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 20, matura 2017 (poziom podstawowy)
Dany jest okrąg o środku S = (2,3) i promieniu r = 5 . Który z podanych punktów leży na tym okręgu?
A. A = (-1, 7)
B. B = (2, 3)
C. C = (3, 2)
D. D = (5, 3)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 18, matura 2018

Średnicą okręgu jest odcinek KL, gdzie K = (6,8) , L = (−6, − 8) . Równanie tego okręgu ma
postać

x²+y²=200
x²+y²=100
x²+y²=400
x²+y²=300

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.