Zadanie maturalne nr 11, matura 2017 (poziom rozszerzony)
Rozwiązanie zadania
Oznaczmy przez S=(a,b) współrzędne środka danego okręgu i r - promień tego okręgu.
Pierwsze równanie
Ponieważ okrąg leży na prostej x−3y+1=0, możemy zapisać, że:
\( a-3b+1=0 \)
Drugie równanie
Równanie okręgu dane jest wzorem:
Ponieważ A=(−5, 3) i B=(0, 6) leżą na tym okręgu, spełniają zatem jego równanie. Możemy więc zapisać układ równań:
\( \begin{cases} (-5-a)^2+(3-b)^2=r^2 \\ (0-a)^2+(6-b)^2=r^2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} (5+a)^2+(3-b)^2=r^2 \\ a^2+(6-b)^2=r^2 \end{cases} \)
\( (5-a)^2+(3-b)^2=a^2+(6-b)^2 \)
\( 25+10a+a^2+9-6b+b^2=a^2+36-12b+b^2 \)
\( 25+10a+9-6b=36-12b \)
\( 5a+3b-1=0 \)
Podsumowanie
Wykorzystamy teraz oba wyprowadzone równania:
\( \begin{cases} 5a+3b-1=0 \\ a-3b+1=0 \end{cases} \)
\( 6a=0 \)
\( a=0 \)
\( 0-3b+1=0 \)
\( b=\frac{1}{3} \)
\( S=(0,\frac{1}{3}) \)
Mamy współrzędne środka, potrzebujemy jeszcze znać długość promienia r. Skorzystamy z jednego z powyższych równań z r2:
\( (-a)^2+(6-b)^2=r^2 \)
\( (0)^2+(6-\frac{1}{3})^2=r^2 \)
\( r^2=\frac{289}{9} \)
Zatem możemy już zapisać równanie szukanego okręgu:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2022-12-30, ZAD-4577
Zadania podobne

Rozwiązać graficznie równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać graficznie równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać graficznie równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty

Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest punkt A=(-1,1). Znaleźć punkt B jeżeli wiadomo, że

Pokaż rozwiązanie zadania

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że x2+y2=2, prawdziwa jest nierówność x +y ≤ 2.
Pokaż rozwiązanie zadania

Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x+2)2+(y-3)2=4 z osiami układu współrzędnych jest równa:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest okrąg o środku S = (2,3) i promieniu r = 5 . Który z podanych punktów leży na tym okręgu?
A. A = (-1, 7)
B. B = (2, 3)
C. C = (3, 2)
D. D = (5, 3)
Pokaż rozwiązanie zadania

Średnicą okręgu jest odcinek KL, gdzie K = (6,8) , L = (−6, − 8) . Równanie tego okręgu ma
postać
- x2+y2=200
- x2+y2=100
- x2+y2=400
- x2+y2=300
Pokaż rozwiązanie zadania