Zadanie - równanie okręgu

Treść zadania:

Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty \(A=(1,1), B=(5,1), C=(3,2\sqrt{3}+1)\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Sporządzamy szkic:

Okrąg opisany na trójkącie

Równanie okręgu o środku \(O=(x_s, y_s)\) i promieniu r jest dane wzorem:

\((x-x_s)^2+(y-y_s)^2=r^2\)

Musimy więc znaleźć współrzędne środka okręgu oraz jego promień. Ponieważ mamy do czynienia z okręgiem opisanym na trójkącie równobocznym, środek okręgu dzieli wysokość trójkąta na trzy równe części, więc:

\(r=\frac{2}{3}h\)

Wysokość trójkąta można wyznaczyć, znając długość boku. Długość boku można obliczyć na podstawie wzoru na odległość między dwoma punktami w układzie współrzędnych:

\(|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)

Mamy więc dla punktów \(A\) i \(B\):

\(A=(1,1), \ B=(5,1)\)

\(|AB|=a=\sqrt{(5-1)^2+(1-1)^2}=4\0

Obliczamy wysokość trójkąta, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

\(h^2+(\frac{1}{2}a)^2=a^2\)

\(h^2=\frac{3}{4}a^2\)

\(h=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)

\(a=4\)

\(h=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4=2\sqrt{3}\)

a następnie promień:

\(r=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot 2\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)

Aby wyznaczyć współrzędne środka okręgu posłużymy się wiedzą na temat środka okręgu opisanego na trójkącie, który leży na przecięciu się symetralnych boków trójkąta. Zatem współrzędna x środka okręgu jest taka sama jak współrzędna x środka odcinka AB. Środek odcinka wyznaczonego przez punkty w układzie współrzędnych obliczamy ze wzoru:

\(x_s=\frac{x_A+x_B}{2}\)

Mamy więc:

\(x_s=x_O=\frac{1+5}{2}=3\)

Środek okręgu leży o 1/3 wysokości nad podstawą trójkąta AB, która leży na prostej \(y=1\). Współrzędna \(y\) środka okręgu spełnia więc zależność:

\(y_s=1+\frac{1}{3}h=1+\frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{3}=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

Mamy już wszystkie dane, aby napisać równanie okręgu:

\((x-x_s)^2+(y-y_s)^2=r^2\)

\((x-3)^2+(y-1-\frac{2\sqrt{3}}{3})^2=(\frac{4\sqrt{3}}{3})^2=\frac{16\cdot 3}{9}=\frac{16}{3}\)

ksiązki Odpowiedź

\((x-3)^2+(y-1-\frac{2\sqrt{3}}{3})^2=\frac{16}{3}\)

© medianauka.pl, 2011-01-18, ZAD-1112

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać graficznie równanie \(x^2+y^2+4x+6y+9=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.

okrąg w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać graficznie równanie \(xy-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać graficznie równanie \(2x^2+y+x-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Dany jest punkt \(A=(-1,1)\). Znaleźć punkt \(B\), jeżeli wiadomo, że \(|\vec{AB}|=4\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) takich, że \(x^2+y^2=2\), prawdziwa jest nierówność \(x+y\leq 2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu \((x+2)^2+(y-3)^2=4\) z osiami układu współrzędnych jest równa:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Dany jest okrąg o środku \(S=(2,3)\) i promieniu \(r=5\). Który z podanych punktów leży na tym okręgu?

A. \(A=(-1, 7)\)

B. \(B=(2, 3)\)

C. \(C=(3, 2)\)

D. \(D=(5, 3)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty \(A=(−5, 3)\) i \(B=(0, 6)\), którego środek leży na prostej o równaniu \(x−3y+1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Średnicą okręgu jest odcinek \(KL\), gdzie \(K=(6,8)\), \(L=(−6, − 8)\). Równanie tego okręgu ma postać

A. \(x^2+y^2=200\)

B. \(x^2+y^2=100\)

C. \(x^2+y^2=400\)

D. \(x^2+y^2=300\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Dane są okręgi o równaniach \(x^2+y^2−12x−8y+43=0\) i \(x^2+y^2−2ax+4y+a^2−77=0\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.