Zadanie - równanie okręgu


Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty A=(1,1), \ B=(5,1),\ C=(3,2\sqrt{3}+1)

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

A=(1,1), \ B=(5,1)\\ |AB|=a=4
h=\frac{\sqrt{3}}{2}a=2\sqrt{3}
r=\frac{2}{3}h=\frac{4\sqrt{3}}{3}
x_s=\frac{1+5}{2}=3
y_s=1+\frac{1}{3}h=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}
(x-x_s)^2+(y-y_s)^2=r^2\\ (x-3)^2+(y-1-\frac{2\sqrt{3}}{3})^2=\frac{16}{3}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy szkic:

Okrąg opisany na trójkącie

Równanie okręgu o środku O=(x_s, y_s) i promieniu r jest dane wzorem:

(x-x_s)^2+(y-y_s)^2=r^2

Musimy więc znaleźć współrzędne środka okręgu oraz jego promień. Ponieważ mamy do czynienia z okręgiem opisanym na trójkącie równobocznym, środek okręgu dzieli wysokość trójkąta na trzy równe części, więc:

r=\frac{2}{3}h

Wysokość trójkąta można wyznaczyć, znając długość boku. Długość boku można obliczyć na podstawie wzoru na odległość między dwoma punktami w układzie współrzędnych:

|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Mamy więc dla punktów A i B:

A=(1,1), \ B=(5,1)\\ |AB|=a=\sqrt{(5-1)^2+(1-1)^2}=4

Obliczamy wysokość trójkąta, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

h^2+(\frac{1}{2}a)^2=a^2\\ h^2=\frac{3}{4}a^2\\ h=\frac{\sqrt{3}}{2}a\\ a=4\\ h=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4=2\sqrt{3}

a następnie promień:

r=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot 2\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}

Aby wyznaczyć współrzędne środka okręgu posłużymy się wiedzą na temat środka okręgu opisanego na trójkącie, który leży na przecięciu się symetralnych boków trójkąta. Zatem współrzędna x środka okręgu jest taka sama jak współrzędna x środka odcinka AB. Środek odcinka wyznaczonego przez punkty w układzie współrzędnych obliczamy ze wzoru:

x_s=\frac{x_A+x_B}{2}

Mamy więc:

x_s=x_O=\frac{1+5}{2}=3

Środek okręgu leży o 1/3 wysokości nad podstawą trójkąta AB, która leży na prostej y=1. Współrzędna y środka okręgu spełnia więc zależność:

y_s=1+\frac{1}{3}h=1+\frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{3}=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}

Mamy już wszystkie dane, aby napisać równanie okręgu:

(x-x_s)^2+(y-y_s)^2=r^2\\ (x-3)^2+(y-1-\frac{2\sqrt{3}}{3})^2=(\frac{4\sqrt{3}}{3})^2=\frac{16\cdot 3}{9}=\frac{16}{3}

ksiązki Odpowiedź

(x-3)^2+(y-1-\frac{2\sqrt{3}}{3})^2=\frac{16}{3}

© medianauka.pl, 2011-01-18, ZAD-1112

Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie okręgu
Rozwiązać graficznie równanie x^2+y^2+4x+6y+9=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie okręgu - odczyt z wykresu
Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.
okrąg w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie równanie xy-1=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie równanie 2x^2+y+x-1=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - długość wektora i równanie okręgu
Dany jest punkt A=(-1,1). Znaleźć punkt B jeżeli wiadomo, że |\vec{AB}|=4.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 8, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że x2+y2=2, prawdziwa jest nierówność x +y ≤ 2.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 15, matura 2014
Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x+2)2+(y-3)2=4 z osiami układu współrzędnych jest równa:

A. 0
B. 1
C. 2
D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 20, matura 2017 (poziom podstawowy)
Dany jest okrąg o środku S = (2,3) i promieniu r = 5 . Który z podanych punktów leży na tym okręgu?
A. A = (-1, 7)
B. B = (2, 3)
C. C = (3, 2)
D. D = (5, 3)


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 11, matura 2017 (poziom rozszerzony)
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A=(−5, 3) i B=(0, 6), którego środek leży na prostej o równaniu x−3y+1=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 18, matura 2018

Średnicą okręgu jest odcinek KL, gdzie K = (6,8) , L = (−6, − 8) . Równanie tego okręgu ma
postać

  1. x2+y2=200
  2. x2+y2=100
  3. x2+y2=400
  4. x2+y2=300


Pokaż rozwiązanie zadania




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.