Nauka » Matematyka » Trójkąt równoboczny • Równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi

Zadanie - równanie okręgu

Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty $A=(1,1), \ B=(5,1),\ C=(3,2\sqrt{3}+1)$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$A=(1,1), \ B=(5,1)\\ |AB|=a=4$
$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a=2\sqrt{3}$
$r=\frac{2}{3}h=\frac{4\sqrt{3}}{3}$
$x_s=\frac{1+5}{2}=3$
$y_s=1+\frac{1}{3}h=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$
$(x-x_s)^2+(y-y_s)^2=r^2\\ (x-3)^2+(y-1-\frac{2\sqrt{3}}{3})^2=\frac{16}{3}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy szkic:

Równanie okręgu o środku i promieniu r jest dane wzorem:

Musimy więc znaleźć współrzędne środka okręgu oraz jego promień. Ponieważ mamy do czynienia z okręgiem opisanym na trójkącie równobocznym, środek okręgu dzieli wysokość trójkąta na trzy równe części, więc:

$r=\frac{2}{3}h$

Wysokość trójkąta można wyznaczyć, znając długość boku. Długość boku można obliczyć na podstawie wzoru na odległość między dwoma punktami w układzie współrzędnych:

$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Mamy więc dla punktów A i B:

$A=(1,1), \ B=(5,1)\\ |AB|=a=\sqrt{(5-1)^2+(1-1)^2}=4$

Obliczamy wysokość trójkąta, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$h^2+(\frac{1}{2}a)^2=a^2\\ h^2=\frac{3}{4}a^2\\ h=\frac{\sqrt{3}}{2}a\\ a=4\\ h=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4=2\sqrt{3}$

a następnie promień:

$r=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot 2\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Aby wyznaczyć współrzędne środka okręgu posłużymy się wiedzą na temat środka okręgu opisanego na trójkącie, który leży na przecięciu się symetralnych boków trójkąta. Zatem współrzędna x środka okręgu jest taka sama jak współrzędna x środka odcinka AB. Środek odcinka wyznaczonego przez punkty w układzie współrzędnych obliczamy ze wzoru:

$x_s=\frac{x_A+x_B}{2}$