Nauka » Matematyka » Trójkąt równoboczny

Zadanie - trójkąt równoboczny

W trójkąt równoboczny o boku długości 2 wpisano kwadrat o polu 1. Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego, wyznaczonego przez ten kwadrat.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy szkic.

Aby wyznaczyć wysokość h, skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa (zielony trójkąt):

$h^2+(\frac{1}{2})^2=x^2\\ h^2=x^2-\frac{1}{4}$

Nie mamy wyznaczonej długości x. Aby ją wyznaczyć ponownie skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa, tym razem dla trójkąta prostokątnego zaznaczonego na pomarańczowo.

$1^2+(\frac{1}{2})^2=y^2\\ y^2=1+\frac{1}{4}\\ y^2=\frac{5}{4}\\ y=\sqrt{\frac{5}{4}}\\ y=\frac{\sqrt{5}}{2}$

Mamy dalej:

$x+y=2\\ x+\frac{\sqrt{5}}{2}=2\\ x=2-\frac{\sqrt{5}}{2}$

Możemy wstawić wyznaczoną wartość x do pierwszego wzoru:

$h^2=x^2-\frac{1}{4}\\ h^2=(2-\frac{\sqrt{5}}{2})^2-\frac{1}{4}$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

i otrzymujemy:

$h^2=4-2\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{5}}{2}+(\frac{\sqrt{5}}{2})^2-\frac{1}{4}\\ h^2=4-2\sqrt{5}+\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\\ h^2=4-2\sqrt{5}+\frac{4}{4}\\ h^2=5-2\sqrt{5}\\ h=\sqrt{5-2\sqrt{5}}$

Odpowiedź

$h=\sqrt{5-2\sqrt{5}}$

Zadania podobne

Zadanie - trójkąt wpisany w okrąg
Na trójkącie równobocznym o boku a=1 opisano okrąg. Oblicz obwód tego okręgu i pole koła wyznaczonego przez ten okrąg.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - okrąg wpisany w trójkąt równoboczny
W trójkąt równoboczny o boku długości a=1 wpisano koło. Oblicz jego pole i obwód.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie okręgu
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty $A=(1,1), \ B=(5,1),\ C=(3,2\sqrt{3}+1)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt w układzie współrzędnych
Dane są punkty A=(1,1), B=(4,-2). Znajdź punkt C, który jest wierzchołkiem trójkąta równobocznego ABC

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt równoboczny
Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Oblicz wysokość mniejszego trójkąta leżącego w środku danego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - przystawanie trójkątów
Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Wykaż, że wszystkie mniejsze trójkąty są przystające i są trójkątami równobocznymi.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.