Nauka » Matematyka » Trójkąt równoboczny

Zadanie - trójkąt w układzie współrzędnych

Dane są punkty A=(1,1), B=(4,-2). Znajdź punkt C, który jest wierzchołkiem trójkąta równobocznego ABC

Rozwiązanie zadania uproszczone

$A=(1,1), \ B=(4,-2)\\ |AB|=\sqrt{(1-4)^2+(1+2)^2}=3\sqrt{2}$

$A=(1,1), \ B=(4,-2)\\ x_D=\frac{5}{2}\\ y_D=-\frac{1}{2}\\ D=(\frac{5}{2},-\frac{1}{2})$

$A=(1,1), \ B=(4,-2)\\ \underline{- \ \begin{cases} 1=a+b\\ -2=4a+b \end{cases}}\\ 3=-3a \\ a=-1\\ b=2\\ y=-x+2$

Jeżeli równanie symetralnej oznaczymy przez , to mamy:

$a_1=-\frac{1}{a}=1\\ y=x+b_1$

$D=(\frac{5}{2},-\frac{1}{2})\\ -\frac{1}{2}=\frac{5}{2}+b_1 \\ b_1=-3\\ y=x-3$

$r=|\overline{AB}|=3\sqrt{2}\\ A=(1,1)\\ (x-1)^2+(y-1)^2=(3\sqrt{2})^2$

$\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=18\\ y=x-3 \end{cases}\\ (x-1)^2+(x-4)^2=18\\ x^2-2x+1+x^2-8x+16-18=0\\ 2x^2-10x-1=0\\ \Delta=108\\ \sqrt{\Delta}=6\sqrt{3}\\ x_1=\frac{5-3\sqrt{3}}{2}\approx -0,1\\ x_2=\frac{5+3\sqrt{3}}{2}\approx 5,1\\ y_1=\frac{-1-3\sqrt{3}}{2}\\ y_2=\frac{-1+3\sqrt{3}}{2}\\ y_1\approx -3,1\\ y_2\approx 2,1$
$C_1=(\frac{5+3\sqrt{3}}{2}, \frac{-1+3\sqrt{3}}{2}),\\ C_2=(\frac{5-3\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-3\sqrt{3}}{2})$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy szkic.

Widać, że mamy dwa takie trójkąty, które spełniają warunki zadania. Przyjmujemy następujący plan rozwiązania zadania. Możemy obliczyć długość boku trójkąta, który jest jednocześnie promieniem okręgu, na którym leży punkt C. Punkt C leży także na symetralnej podstawy trójkąta AB (gdyż mamy do czynienia z trójkątem równobocznym). Rozwiązując układ równań okręgu i symetralnej znajdziemy punkty wspólne - współrzędne punktów C₁ oraz C₂

Szukamy długości boku trójkąta. Skorzystamy ze wzoru na odległość dwóch punktów A=(x_A, y_B) i B=(x_B, y_B) w układzie współrzędnych

$|AB|=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$

Mamy więc:

$A=(1,1), \ B=(4,-2)\\ |AB|=\sqrt{(1-4)^2+(1+2)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{2\cdot 9}=3\sqrt{2}$

Aby znaleźć symetralną podstawy trójkąta musimy znaleźć środek S=(x_S,y_S) odcinka $\overline{AB}$ . Korzystamy ze wzorów:

$x_S=\frac{x_A+x_B}{2}\\ y_S=\frac{y_A+y_B}{2}$

Środek podstawy trójkąta oznaczyliśmy literą D. Mamy więc:

$A=(1,1), \ B=(4,-2)\\ x_D=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}\\ y_D=\frac{1-2}{2}=-\frac{1}{2}\\ D=(\frac{5}{2},-\frac{1}{2})$

Aby znaleźć równanie symetralnej warto skorzystać z tego, że symetralna jest prostopadła do prostej zawierającej podstawę trójkąta, której równanie możemy łatwo znaleźć (podstawiamy do równania kierunkowego prostej współrzędne punktów Ai B):

$A=(1,1), \ B=(4,-2)\\ y=ax+b\\ \begin{cases} 1=a\cdot 1+b\\ -2=4\cdot a+b \end{cases}\\ \underline{- \ \begin{cases} 1=a+b\\ -2=4a+b \end{cases}}\\ 1-(-2)=a-4a\\ 3=-3a/:(-1)\\ a=-1\\ 1=a+b\\ 1=-1+b\\ b=2\\ y=-x+2$

Powyższe równanie prostej zawierającej podstawę trójkąta wyznaczyliśmy po to, żeby od razu zapisać współczynnik kierunkowy symetralnej, gdyż między współczynnikami kierunkowymi dwóch prostych prostopadłych zachodzi związek:

$a_1=-\frac{1}{a}$

Jeżeli równanie symetralnej oznaczymy przez , to mamy:

$a_1=-\frac{1}{a}=-\frac{1}{-1}=1\\ y=x+b_1$

Teraz przydadzą nam się współrzędne punktu D, przez który przechodzi symetralna. Dzięki temu wyznaczymy współczynnik b₁:

$D=(\frac{5}{2},-\frac{1}{2})\\ y=x+b_1\\ -\frac{1}{2}=\frac{5}{2}+b_1\\ -b_1=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}\\ -b_1=\frac{6}{2}=3/:(-1)\\ b_1=-3\\ y=x-3$

Otrzymaliśmy pierwsze z szukanych równań. Pora na równanie okręgu, o którym pisaliśmy na początku. Zauważ, że Okrąg o promieniu AB przecina symetralną w szukanych punktach C. Okrąg o środku S=(x_S, y_S) i promieniu r opisuje równanie:

W naszym przypadku środkiem okręgu jest punkt A:

$r=|\overline{AB}|=3\sqrt{2}\\ A=(1,1)\\ (x-1)^2+(y-1)^2=(3\sqrt{2})^2\\ (x-1)^2+(y-1)^2=18$

Rozwiązujemy więc układ równań:

$\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=18\\ y=x-3 \end{cases}\\ (x-1)^2+(x-3-1)^2=18\\ (x-1)^2+(x-4)^2=18\\ x^2-2x+1+x^2-8x+16-18=0\\ 2x^2-10x-1=0\\ a=2, \ b=-10, \c=-1\\ \Delta=b^2-4ac=100+8=108\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{10-6\sqrt{3}}{4}=\frac{5-3\sqrt{3}}{2}\approx -0,1\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{10+6\sqrt{3}}{4}=\frac{5+3\sqrt{3}}{2}\approx 5,1\\ y=x-3\\ y_1=\frac{5-3\sqrt{3}}{2}-3=\frac{-1-3\sqrt{3}}{2}\\ y_2=\frac{5+3\sqrt{3}}{2}-3=\frac{-1+3\sqrt{3}}{2}\\ y_1\approx -3,1\\ y_2\approx 2,1$

Odpowiedź

$C_1=(\frac{5+3\sqrt{3}}{2}, \frac{-1+3\sqrt{3}}{2}),\\ C_2=(\frac{5-3\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-3\sqrt{3}}{2})$

Zadania podobne

Zadanie - trójkąt wpisany w okrąg
Na trójkącie równobocznym o boku a=1 opisano okrąg. Oblicz obwód tego okręgu i pole koła wyznaczonego przez ten okrąg.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - okrąg wpisany w trójkąt równoboczny
W trójkąt równoboczny o boku długości a=1 wpisano koło. Oblicz jego pole i obwód.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie okręgu
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty $A=(1,1), \ B=(5,1),\ C=(3,2\sqrt{3}+1)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt równoboczny
Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Oblicz wysokość mniejszego trójkąta leżącego w środku danego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt równoboczny
W trójkąt równoboczny o boku długości 2 wpisano kwadrat o polu 1. Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego, wyznaczonego przez ten kwadrat.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - przystawanie trójkątów
Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Wykaż, że wszystkie mniejsze trójkąty są przystające i są trójkątami równobocznymi.

Pokaż rozwiązanie zadania