Strona główna » Matematyka » Trójkąt równoboczny

Zadanie - trójkąt w układzie współrzędnych

Dane są punkty A=(1,1), B=(4,-2). Znajdź punkt C, który jest wierzchołkiem trójkąta równobocznego ABC

Rozwiązanie zadania uproszczone

$A=(1,1), \ B=(4,-2)\\ |AB|=\sqrt{(1-4)^2+(1+2)^2}=3\sqrt{2}$

$A=(1,1), \ B=(4,-2)\\ x_D=\frac{5}{2}\\ y_D=-\frac{1}{2}\\ D=(\frac{5}{2},-\frac{1}{2})$

$A=(1,1), \ B=(4,-2)\\ \underline{- \ \begin{cases} 1=a+b\\ -2=4a+b \end{cases}}\\ 3=-3a \\ a=-1\\ b=2\\ y=-x+2$

Jeżeli równanie symetralnej oznaczymy przez , to mamy:

$a_1=-\frac{1}{a}=1\\ y=x+b_1$

$D=(\frac{5}{2},-\frac{1}{2})\\ -\frac{1}{2}=\frac{5}{2}+b_1 \\ b_1=-3\\ y=x-3$

$r=|\overline{AB}|=3\sqrt{2}\\ A=(1,1)\\ (x-1)^2+(y-1)^2=(3\sqrt{2})^2$

$\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=18\\ y=x-3 \end{cases}\\ (x-1)^2+(x-4)^2=18\\ x^2-2x+1+x^2-8x+16-18=0\\ 2x^2-10x-1=0\\ \Delta=108\\ \sqrt{\Delta}=6\sqrt{3}\\ x_1=\frac{5-3\sqrt{3}}{2}\approx -0,1\\ x_2=\frac{5+3\sqrt{3}}{2}\approx 5,1\\ y_1=\frac{-1-3\sqrt{3}}{2}\\ y_2=\frac{-1+3\sqrt{3}}{2}\\ y_1\approx -3,1\\ y_2\approx 2,1$
$C_1=(\frac{5+3\sqrt{3}}{2}, \frac{-1+3\sqrt{3}}{2}),\\ C_2=(\frac{5-3\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-3\sqrt{3}}{2})$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy szkic.

Widać, że mamy dwa takie trójkąty, które spełniają warunki zadania. Przyjmujemy następujący plan rozwiązania zadania. Możemy obliczyć długość boku trójkąta, który jest jednocześnie promieniem okręgu, na którym leży punkt C. Punkt C leży także na symetralnej podstawy trójkąta AB (gdyż mamy do czynienia z trójkątem równobocznym). Rozwiązując układ równań okręgu i symetralnej znajdziemy punkty wspólne - współrzędne punktów C₁ oraz C₂

Szukamy długości boku trójkąta. Skorzystamy ze wzoru na odległość dwóch punktów A=(x_A, y_B) i B=(x_B, y_B) w układzie współrzędnych

$|AB|=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$

Mamy więc:

$A=(1,1), \ B=(4,-2)\\ |AB|=\sqrt{(1-4)^2+(1+2)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{2\cdot 9}=3\sqrt{2}$

Aby znaleźć symetralną podstawy trójkąta musimy znaleźć środek S=(x_S,y_S) odcinka $\overline{AB}$ . Korzystamy ze wzorów:

$x_S=\frac{x_A+x_B}{2}\\ y_S=\frac{y_A+y_B}{2}$

Środek podstawy trójkąta oznaczyliśmy literą D. Mamy więc:

$A=(1,1), \ B=(4,-2)\\ x_D=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}\\ y_D=\frac{1-2}{2}=-\frac{1}{2}\\ D=(\frac{5}{2},-\frac{1}{2})$

Aby znaleźć równanie symetralnej warto skorzystać z tego, że symetralna jest prostopadła do prostej zawierającej podstawę trójkąta, której równanie możemy łatwo znaleźć (podstawiamy do równania kierunkowego prostej współrzędne punktów Ai B):

$A=(1,1), \ B=(4,-2)\\ y=ax+b\\ \begin{cases} 1=a\cdot 1+b\\ -2=4\cdot a+b \end{cases}\\ \underline{- \ \begin{cases} 1=a+b\\ -2=4a+b \end{cases}}\\ 1-(-2)=a-4a\\ 3=-3a/:(-1)\\ a=-1\\ 1=a+b\\ 1=-1+b\\ b=2\\ y=-x+2$

Powyższe równanie prostej zawierającej podstawę trójkąta wyznaczyliśmy po to, żeby od razu zapisać współczynnik kierunkowy symetralnej, gdyż między współczynnikami kierunkowymi dwóch prostych prostopadłych zachodzi związek:

$a_1=-\frac{1}{a}$

Jeżeli równanie symetralnej oznaczymy przez , to mamy:

$a_1=-\frac{1}{a}=-\frac{1}{-1}=1\\ y=x+b_1$

Teraz przydadzą nam się współrzędne punktu D, przez który przechodzi symetralna. Dzięki temu wyznaczymy współczynnik b₁:

$D=(\frac{5}{2},-\frac{1}{2})\\ y=x+b_1\\ -\frac{1}{2}=\frac{5}{2}+b_1\\ -b_1=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}\\ -b_1=\frac{6}{2}=3/:(-1)\\ b_1=-3\\ y=x-3$

Otrzymaliśmy pierwsze z szukanych równań. Pora na równanie okręgu, o którym pisaliśmy na początku. Zauważ, że Okrąg o promieniu AB przecina symetralną w szukanych punktach C. Okrąg o środku S=(x_S, y_S) i promieniu r opisuje równanie:

W naszym przypadku środkiem okręgu jest punkt A:

$r=|\overline{AB}|=3\sqrt{2}\\ A=(1,1)\\ (x-1)^2+(y-1)^2=(3\sqrt{2})^2\\ (x-1)^2+(y-1)^2=18$

Rozwiązujemy więc układ równań:

$\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=18\\ y=x-3 \end{cases}\\ (x-1)^2+(x-3-1)^2=18\\ (x-1)^2+(x-4)^2=18\\ x^2-2x+1+x^2-8x+16-18=0\\ 2x^2-10x-1=0\\ a=2, \ b=-10, \c=-1\\ \Delta=b^2-4ac=100+8=108\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{10-6\sqrt{3}}{4}=\frac{5-3\sqrt{3}}{2}\approx -0,1\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{10+6\sqrt{3}}{4}=\frac{5+3\sqrt{3}}{2}\approx 5,1\\ y=x-3\\ y_1=\frac{5-3\sqrt{3}}{2}-3=\frac{-1-3\sqrt{3}}{2}\\ y_2=\frac{5+3\sqrt{3}}{2}-3=\frac{-1+3\sqrt{3}}{2}\\ y_1\approx -3,1\\ y_2\approx 2,1$