Logo Serwisu Media Nauka


Trójkąt równoboczny

Teoria Trójkąt równoboczny jest to trójkąt, w którym wszystkie boki są równe.

trójkąt równoboczny

Twierdzenie Twierdzenie

Miara wszystkich kątów wewnętrznych w trójkącie równobocznym jest równa 60o.

Twierdzenie Twierdzenie

W trójkącie równobocznym dwusieczne kątów wewnętrznych zawierają wysokości tego trójkąta.

Twierdzenie Twierdzenie

Środkowa w trójkącie równobocznym jest jednocześnie wysokością. Środkowe i wysokości trzech boków przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy środkiem ciężkości trójkąta. Środek ciężkości dzieli każdą ze środkowych w stosunku 2:1.

środkowe w trójkącie równobocznym

Wysokość trójkąta równobocznego

wysokość trójkąta równobocznego

Teoria Wysokość h trójkąta równobocznego dzieli go na dwa trójkąty prostokątne, których jedna przyprostokątna ma długość równą długości wysokości, druga przyprostokątna ma długość równą połowie długości boku trójkąta równobocznego, natomiast przeciwprostokątna ma długość równą długości boku trójkąta równobocznego a. Długość wysokości obliczymy korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

a^2=h^2+(\frac{1}{2}a)^2\\ a^2-(\frac{1}{2})^2=h^2\\ h^2=a^2-\frac{1}{4}a^2\\ h^2=\frac{3}{4}a^2\\ h=\sqrt{\frac{3}{4}a^2}\\ h=\frac{1}{2}a\sqrt{3}

Zatem wysokość w trójkącie równobocznym wyraża się wzorem:

d=\frac{a\sqrt{3}}{2}

Pole powierzchni trójkąta równobocznego

Pole powierzchni dowolnego trójkąta wyraża się wzorem: P=\frac{1}{2}ah, gdzie a jest długością boku trójkąta, a h jego wysokością. Ponieważ wyżej wyznaczyliśmy wysokość trójkąta, możemy wyrazić pole powierzchni trójkąta równobocznego tylko w zależności od długości jego boku.

P=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}a\cdot \frac{1}{2}a\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}

Zatem pole powierzchni trójkąta równobocznego wyraża się wzorem:

P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}

Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny

Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny

Teoria Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. W przypadku trójkąta równobocznego dwusieczne kątów wewnętrznych zawierają wysokości trójkąta. Wysokości, jak już wyżej napisano, przecinają się w środku ciężkości trójkąta, który dzieli wysokość w stosunku 2:1. Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równy jednej trzeciej wysokości trójkąta równobocznego, którą wcześniej wyznaczyliśmy.

r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}a\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}

Zatem długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny wyraża się wzorem:

r=\frac{a\sqrt{3}}{6}

Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym

Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym

Teoria Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego w ten trójkąt. W przypadku trójkąta równobocznego symetralne boków zawierają wysokości trójkąta. Środek okręgu wpisanego w trójkąt jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Wysokości, jak już wyżej napisano, przecinają się w środku ciężkości trójkąta, który dzieli wysokość w stosunku 2:1. Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równy dwóm trzecim wysokości trójkąta równobocznego, którą wcześniej wyznaczyliśmy.

R=\frac{2}{3}h=\frac{\cancel{2}}{3}\cdot \frac{1}{\cancel{2}}a\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}

Zatem długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym wyraża się wzorem:

R=\frac{a\sqrt{3}}{3}

© Media Nauka, 2010-12-05, ART-1043



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 580 - trójkąt wpisany w okrąg
Na trójkącie równobocznym o boku a=1 opisano okrąg. Oblicz obwód tego okręgu i pole koła wyznaczonego przez ten okrąg.

zadanie - ikonka Zadanie 581 - okrąg wpisany w trójkąt równoboczny
W trójkąt równoboczny o boku długości a=1 wpisano koło. Oblicz jego pole i obwód.

zadanie - ikonka Zadanie 597 - trójkąt w układzie współrzędnych
Dane są punkty A=(1,1), B=(4,-2). Znajdź punkt C, który jest wierzchołkiem trójkąta równobocznego ABC

zadanie - ikonka Zadanie 611 - trójkąt równoboczny
Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Oblicz wysokość mniejszego trójkąta leżącego w środku danego trójkąta.

zadanie - ikonka Zadanie 612 - trójkąt równoboczny
W trójkąt równoboczny o boku długości 2 wpisano kwadrat o polu 1. Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego, wyznaczonego przez ten kwadrat.

zadanie - ikonka Zadanie 613 - przystawanie trójkątów
Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Wykaż, że wszystkie mniejsze trójkąty są przystające i są trójkątami równobocznymi.

zadanie - ikonka Zadanie 583 - równanie okręgu
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty A=(1,1), \ B=(5,1),\ C=(3,2\sqrt{3}+1)



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy koszyk