Logo Media Nauka

Twierdzenie Pitagorasa

Rozważamy dowolny trójkąt prostokątny.

trójkąt prostokątny

Twierdzenie Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych:

a^2+b^2=c^2

Powyższy wzór wyraża właśnie słynne twierdzenie Pitagorasa.

Teoria Twierdzenie Pitagorasa można rozumieć jako związek między dowolnymi liczbami, które stanowią długość boków w trójkącie prostokątnym. Można jednak to twierdzenie rozumieć tak, że pole kwadratu, którego bokiem jest przeciwprostokątna jest równe polu kwadratów, których bokami są przyprostokątne (zobacz poniższy rysunek).

twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa jest często wykorzystywanym twierdzeniem w matematyce. Ma bardzo wiele zastosowań. Poniżej przykład jego wykorzystania.

Przykłady

Przykład Przykład

prostokąt

Dany jest prostokąt o bokach 5 i 10. Obliczyć długość przekątnej tego prostokąta.

Sporządzamy rysunek. Przekątna o długości d dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne. Korzystamy więc z twierdzenia Pitagorasa:

d^2=10^2+5^2\\ d^2=125\\ d=\sqrt{125}=5\sqrt{5}

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Teoria Jeżeli w pewnym trójkącie suma kwadratów długości dwóch jego boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku, to trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym.

Ciekawostki

ciekawostki Pitagoras był greckim matematykiem i filozofem, który żył w latach około 572-497 p.n.e. Uważany jest za twórcę początku teorii liczb.

ciekawostki Pitagoras nie jest autorem tego słynnego twierdzenia, ale jako pierwszy podał jego dowód. Twierdzenie to było znane już wcześniej!

ciekawostki W matematyce pewne liczby naturalne, które spełniają twierdzenie Pitagorasa nazywamy pitagorejską trójką. Są to na przykład liczby: 3,4,5 lub 5,12,13. Jeśli długości boków trójkąta prostokątnego są pitagorejską trójka, to taki trójkąt nazywamy trójkątem pitagorejskim.

twierdzenie Pitagorasa - uogólnienie

ciekawostki Co ciekawe prawdziwe jest także następujące twierdzenie:

Suma pól podobnych figur płaskich zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa polu figury podobnej do poprzednich, zbudowanej na przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Pytania

Jak brzmi twierdzenie Pitagorasa?

W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych.

Twierdzenie to można także sformułować inaczej. Na przykład tak:

Pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na obu przyprostokątnych.

Co to jest wzór Pitagorasa?

To nic innego jak a2+b2=c2.

Co to jest trójkąt pitagorejski?

Trójkąt pitagorejski lub trójkąt Pitagorasa jest to trójkąt, którego boki są wyrażone liczbami naturalnymi a, b, c związanymi warunkiem a2+b2=c2. Są to trójkąty prostokątne.

Co to jest trójkąt egipski?

Trójkąt egipski jest szczególnym przypadkiem trójkąta pitagorejskiego. Jego boki mają długości odpowiednio 3, 4 i 5. Za pomocą listew o odpowiedniej długości (3,4,5) w starożytnym Egipcie i w Babilonii wyznaczano kąty proste. To jednocześnie jedyny trójkąt pitagorejski, którego długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi.


© medianauka.pl, 2010-12-04, ART-1042





Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Twierdzenie Pitagorasa

zadanie-ikonka Zadanie - wysokość w trójkącie
Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o ramionach długości 10 i podstawie długości 12.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - trójkąt równoramienny
W trójkącie równoramiennym o ramionach długości 5 wysokość ma długość 4. Oblicz długość podstawy.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - trójkąt prostokątny
W trójkącie prostokątnym miary dwóch kątów wewnętrznych są równe, a długość przeciwprostokątnej jest równa 6. Oblicz miarę kątów w tym trójkącie oraz długość boków.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - trójkąt prostokątny, twierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą odpowiednio 5 i 8. Oblicz długość przeciwprostokątnej.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - twierdzenie Pitagorasa
Znaleźć dowolny trójkąt prostokątny, dla którego kwadrat krótszej przyprostokątnej jest równy 1/4 kwadratu przeciwprostokątnej.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - twierdzenie Pitagorasa
Dane są kwadraty o polach \frac{1}{4} oraz \frac{1}{9}. Jakie pole ma trzeci kwadrat, jeżeli wiadomo, że z ich boków można skonstruować trójkąt prostokątny?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - kąt wpisany w okrąg
Przez punkty A, B na okręgu o promieniu r=2,5 poprowadzono średnicę. Punkt D leży na okręgu tak, że |BD|=4. Oblicz odległość |AD|.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - pole trójkąta
Oblicz pole powierzchni i obwód trójkąta równobocznego o wysokości h=2 cm

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - pole powierzchni i twierdzenie Pitagorasa
Ceny poszczególnych działek są następujące:
A: 60 000 PLN
B: 50 000 PLN
C: 50 000 PLN
D: 100 000 PLN
Zakup której działki jest najbardziej opłacalny?
Twierdzenie Pitagorasa - zadanie

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - pole kwadratu, obliczanie długości boku
Przekątna kwadratu ma długość 1. Oblicz długość jego boku.

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

TrójkątTrójkąt
Trójkąt jest to wielokąt o trzech bokach. Rodzaje trójkątów, konstrukcja trójkąta.
Trójkąt prostokątnyTrójkąt prostokątny
Trójkąt prostokątny jest to trójkąt, w którym jeden z kątów jest kątem prostym.
Trójkąt równobocznyTrójkąt równoboczny
Definicja trójkąta równobocznego, wysokość trójkąta równobocznego oraz promienie okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym.
Twierdzenia o trójkącieTwierdzenia o trójkącie
Podstawowe twierdzenia o trójkącie poza twierdzeniem Pitagorasa, które zostało omówione w oddzielnym artykule.
Pole i obwód trójkątaPole i obwód trójkąta
Istnieje co najmniej kilka wzorów na pole trójkąta. Ich stosowanie zależy od danych jakie posiadamy i czasem od rodzaju trójkąta z jakim mamy do czynienia.
Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensówTwierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów
Omówienie twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów wraz z przykładami ich zastosowania w rozwiązywaniu trójkątów



© Media Nauka 2008-2018 r.