Zadanie - trójkąt prostokątny
Treść zadania:
W trójkącie prostokątnym miary dwóch kątów wewnętrznych są równe, a długość przeciwprostokątnej jest równa 6. Oblicz miarę kątów w tym trójkącie oraz długość boków.
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy szkic.
Ponieważ mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym, a pozostałe kąty są równe, więc jeden z kątów jest prosty (ma miarę 90°), a trójkąt jest trójkątem równoramiennym. Suma miar kątów w każdym trójkącie wynosi 180°, więc:
\(90°+\alpha+\alpha=180°\)
\(2\alpha=180°-90°/:2\)
\(\alpha=45°\)
aby obliczyć długość boku \(a\), wystarczy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa (suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej):
\(a^2+a^2=b^2\)
\(2a^2=6^2/:2\)
\(a^2=18\)
\(a=\sqrt{18}\)
\(a=\sqrt{9\cdot 2}\)
\(a=3\sqrt{2}\)
Odpowiedź
\(\alpha=45^o, \ a=3\sqrt{2}\)© medianauka.pl, 2011-01-26, ZAD-1129
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 3 i 4 opisano koło. Oblicz pole i obwód tego koła.
Zadanie nr 2.
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30°. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.
Zadanie nr 3.
W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą odpowiednio 5 i 8. Oblicz długość przeciwprostokątnej.
Zadanie nr 4.
W trójkącie prostokątnym wysokość o długości \(2\sqrt{2}\) opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli podstawę na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków trójkąta.
Zadanie nr 5.
W równoramiennym trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 10 cm. Obliczyć długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
Zadanie nr 6.
Jaką długość mają przyprostokątne trójkąta prostokątnego, jeżeli wiadomo, że jedna z przyprostokątnych jest 3 razy dłuższa od drugiej i średnica okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość równą \(\sqrt{10}\).
Zadanie nr 7.
Długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym równoramiennym jest dwa razy większa od długości przyprostokątnej. Oblicz długości boków tego trójkąta.
Zadanie nr 8.
Znaleźć punkt na prostej \(y=1\), który wraz z punktami \(A=(2,3), B=(4,2)\) wyznaczy trójkąt prostokątny.
Zadanie nr 9 — maturalne.
Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie \(P\) przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).
Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe:
A. \(14\)
B. \(2\sqrt{33}\)
C. \(4\sqrt{33}\)
D. \(12\)