Zadanie - twierdzenie Pitagorasa
Znaleźć dowolny trójkąt prostokątny, dla którego kwadrat krótszej przyprostokątnej jest równy 1/4 kwadratu przeciwprostokątnej.
Rozwiązanie zadania

Szkic ułatwi zapisanie równania.
Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa, które mówi, że w trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych
Z warunków zadania wynika, że pole mniejszego kwadratu ma być równe \(\frac{1}{4}\) pola kwadratu przeciwprostokątnej (pola zakreskowane). Możemy to zapisać:
\(a^2=\frac{1}{4}c^2\)
\(a=\frac{c}{2}\)
Podstawiamy powyższe równanie do równania z twierdzenia Pitagorasa:
\(\frac{1}{4}c^2+b^2=c^2\)
\(b^2=c^2-\frac{1}{4}c^2\)
\(b^2=\frac{3}{4}c^2\)
\(b=\sqrt{\frac{3}{4}c^2}\)
\(b=\frac{\sqrt{3}}{2}c\)
Aby podać przykład dowolnego trójkąta, który spełnia warunki zadania, możemy obrać dowolną wartość \(c\) i obliczyć pozostałe długości boków. Na przykład:
\(c=2\)
\(a=\frac{c}{2}=1\)
\(b=\frac{\sqrt{3}}{2}c=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2=\sqrt{3}\)
Jest to tylko jedno z możliwych rozwiązań, których jest nieskończenie wiele.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-02-10, ZAD-1143
Zadania podobne

Przez punkty \(A, B\) na okręgu o promieniu \(r=2,5\) poprowadzono średnicę. Punkt \(D\) leży na okręgu tak, że \(|BD|=4\). Oblicz odległość \(|AD|\).
Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o ramionach długości 10 i o podstawie długości 12.
Pokaż rozwiązanie zadania

W trójkącie równoramiennym o ramionach długości 5 wysokość ma długość 4. Oblicz długość podstawy.
Pokaż rozwiązanie zadania

W trójkącie prostokątnym miary dwóch kątów wewnętrznych są równe, a długość przeciwprostokątnej jest równa 6. Oblicz miarę kątów w tym trójkącie oraz długość boków.
Pokaż rozwiązanie zadania

W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą odpowiednio 5 i 8. Oblicz długość przeciwprostokątnej.
Pokaż rozwiązanie zadania

Dane są kwadraty o polach \(\frac{1}{4}\) oraz \(\frac{1}{9}\). Jakie pole ma trzeci kwadrat, jeżeli wiadomo, że z ich boków można skonstruować trójkąt prostokątny?
Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz pole powierzchni i obwód trójkąta równobocznego o wysokości \(h=2 cm\).
Pokaż rozwiązanie zadania

Ceny poszczególnych działek są następujące:
A. 60 000 PLN
B. 50 000 PLN
C. 50 000 PLN
D. 100 000 PLN
Zakup której działki jest najbardziej opłacalny?
Pokaż rozwiązanie zadania

Przekątna kwadratu ma długość 1. Oblicz długość jego boku.
Pokaż rozwiązanie zadania

W trójkącie \(ABC\) bok \(BC\) ma długość 13, a wysokość \(CD\) tego trójkąta dzieli bok \(AB\) na odcinki o długościach \(|AD|=3\) i \(|BD|=12\) (zobacz rysunek obok). Długość boku \(AC\) jest równa
A. \(\sqrt{34}\)
B. \(\frac{13}{4}\)
C. \(2\sqrt{14}\)
D. \(3\sqrt{45}\)
Pokaż rozwiązanie zadania