Zadanie - twierdzenie Pitagorasa

Rozwiązanie zadania

Szkic ułatwi zapisanie równania.

Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa, które mówi, że w trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych

Z warunków zadania wynika, że pole mniejszego kwadratu ma być równe \(\frac{1}{4}\) pola kwadratu przeciwprostokątnej (pola zakreskowane). Możemy to zapisać:

\(a^2=\frac{1}{4}c^2\)

\(a=\frac{c}{2}\)

Podstawiamy powyższe równanie do równania z twierdzenia Pitagorasa:

\(\frac{1}{4}c^2+b^2=c^2\)

\(b^2=c^2-\frac{1}{4}c^2\)

\(b^2=\frac{3}{4}c^2\)

\(b=\sqrt{\frac{3}{4}c^2}\)

\(b=\frac{\sqrt{3}}{2}c\)

Aby podać przykład dowolnego trójkąta, który spełnia warunki zadania, możemy obrać dowolną wartość \(c\) i obliczyć pozostałe długości boków. Na przykład:

\(c=2\)

\(a=\frac{c}{2}=1\)

\(b=\frac{\sqrt{3}}{2}c=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2=\sqrt{3}\)

Jest to tylko jedno z możliwych rozwiązań, których jest nieskończenie wiele.

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2011-02-10, ZAD-1143

Zadania podobne

Przez punkty \(A, B\) na okręgu o promieniu \(r=2,5\) poprowadzono średnicę. Punkt \(D\) leży na okręgu tak, że \(|BD|=4\). Oblicz odległość \(|AD|\).

Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o ramionach długości 10 i o podstawie długości 12.

W trójkącie równoramiennym o ramionach długości 5 wysokość ma długość 4. Oblicz długość podstawy.

W trójkącie prostokątnym miary dwóch kątów wewnętrznych są równe, a długość przeciwprostokątnej jest równa 6. Oblicz miarę kątów w tym trójkącie oraz długość boków.

W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą odpowiednio 5 i 8. Oblicz długość przeciwprostokątnej.

Dane są kwadraty o polach \(\frac{1}{4}\) oraz \(\frac{1}{9}\). Jakie pole ma trzeci kwadrat, jeżeli wiadomo, że z ich boków można skonstruować trójkąt prostokątny?

Oblicz pole powierzchni i obwód trójkąta równobocznego o wysokości \(h=2 cm\).

Ceny poszczególnych działek są następujące:

A. 60 000 PLN

B. 50 000 PLN

C. 50 000 PLN

D. 100 000 PLN

Zakup której działki jest najbardziej opłacalny?

Przekątna kwadratu ma długość 1. Oblicz długość jego boku.

W trójkącie \(ABC\) bok \(BC\) ma długość 13, a wysokość \(CD\) tego trójkąta dzieli bok \(AB\) na odcinki o długościach \(|AD|=3\) i \(|BD|=12\) (zobacz rysunek obok). Długość boku \(AC\) jest równa

A. \(\sqrt{34}\)

B. \(\frac{13}{4}\)

C. \(2\sqrt{14}\)

D. \(3\sqrt{45}\)