Zadanie - pole powierzchni i twierdzenie Pitagorasa
Treść zadania:
Ceny poszczególnych działek są następujące:
A. 60 000 PLN
B. 50 000 PLN
C. 50 000 PLN
D. 100 000 PLN
Zakup której działki jest najbardziej opłacalny?
Rozwiązanie zadania
Dwie działki mają kształt trójkąta. Pole powierzchni trójkąta o podstawie \(a\) i wysokości \(h\) obliczamy ze wzoru:
\(P=\frac{1}{2}ah\)Pole powierzchni kwadratu o boku a obliczamy ze wzoru:
\(P=a^2\)Wszystkie działki opierają się o trójkąt prostokątny. Dane są długości jego przyprostokątnych, musimy znaleźć długość przeciwprostokątnej.
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa, które mówi, że w trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych:
\(c^2=(20\ m)^2+(40\ m)^2\)
\(c^2=400\ m^2+1600\ m^2\)
\(c^2=2000\ m^2\)
\(c=\sqrt{2000\ m^2}\)
\(c=\sqrt{400\cdot 5}\ m^2\)
\(c=20\sqrt{5}\ m\)
Obliczamy pole działki A. Zakładamy na podstawie rysunku, że długość boku działki jest równa połowie długości przeciwprostokątnej:
\(P_A=(\frac{1}{2}c)^2=(\frac{1}{2}\cdot 20\sqrt{5}\ m)^2=(10\sqrt{5}m)^2=100\cdot 5\ m^2=500\ m^2\)
Obliczamy pole działki B.
\(P_B=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot 40\ m \cdot 20\ m=400\ m^2\)
Obliczamy pole działki C.
\(P_C=(20\ m)^2=400\ m^2\)
Obliczamy pole działki D.
\(P_D=\frac{1}{2}\cdot 40\ m \cdot 40\ m=800\ m^2\)
Aby porównać ceny poszczególnych działek musimy znaleźć cenę jednego metra kwadratowego każdej z działek. Ta działka, której metr kwadratowy będzie najtańszy będzie działką, której zakup jest najbardziej opłacalny. Aby obliczyć cenę jednego metra kwadratowego działki wystarczy podzielić jej cenę przez powierzchnię.
Cena jednego metra kwadratowego działek:
\(C_A=\frac{60000 PLN}{500\ m^2}=120 \ PLN/\ m^2\)
\(C_B=\frac{50000 PLN}{400\ m^2}=125 \ PLN/\ m^2\)
\(C_C=\frac{50000 PLN}{400\ m^2}=125 \ PLN/\ m^2\)
\(C_D=\frac{100000 PLN}{800\ m^2}=125 \ PLN/\ m^2\)
Z powyższych rachunków wynika, że ceny działek są takie same, za wyjątkiem ceny działki A.
Odpowiedź
Zakup działki A jest najbardziej opłacalny.© medianauka.pl, 2011-02-12, ZAD-1147
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Przez punkty \(A, B\) na okręgu o promieniu \(r=2,5\) poprowadzono średnicę. Punkt \(D\) leży na okręgu tak, że \(|BD|=4\). Oblicz odległość \(|AD|\).
Zadanie nr 2.
Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o ramionach długości 10 i o podstawie długości 12.
Zadanie nr 3.
W trójkącie równoramiennym o ramionach długości 5 wysokość ma długość 4. Oblicz długość podstawy.
Zadanie nr 4.
W trójkącie prostokątnym miary dwóch kątów wewnętrznych są równe, a długość przeciwprostokątnej jest równa 6. Oblicz miarę kątów w tym trójkącie oraz długość boków.
Zadanie nr 5.
W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą odpowiednio 5 i 8. Oblicz długość przeciwprostokątnej.
Zadanie nr 6.
Znaleźć dowolny trójkąt prostokątny, dla którego kwadrat krótszej przyprostokątnej jest równy 1/4 kwadratu przeciwprostokątnej.
Zadanie nr 7.
Dane są kwadraty o polach \(\frac{1}{4}\) oraz \(\frac{1}{9}\). Jakie pole ma trzeci kwadrat, jeżeli wiadomo, że z ich boków można skonstruować trójkąt prostokątny?
Zadanie nr 8.
Oblicz pole powierzchni i obwód trójkąta równobocznego o wysokości \(h=2 cm\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
W trójkącie \(ABC\) bok \(BC\) ma długość 13, a wysokość \(CD\) tego trójkąta dzieli bok \(AB\) na odcinki o długościach \(|AD|=3\) i \(|BD|=12\) (zobacz rysunek obok). Długość boku \(AC\) jest równa
A. \(\sqrt{34}\)
B. \(\frac{13}{4}\)
C. \(2\sqrt{14}\)
D. \(3\sqrt{45}\)