Zadanie - pole trójkąta


W trójkąt równoramienny o polu \sqrt{15} wpisano okrąg o promieniu r=\frac{\sqrt{15}}{5}. Na tym samy trójkącie opisano okrąg o promieniu R=\frac{8\sqrt{15}}{15}. Oblicz długości boków tego trójkąta.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy z dwóch wzorów na pole trójkąta, gdy dane są promienie okręgu wpisanego i opisanego:

P=\frac{abc}{4R}\\ P=\frac{a+b+c}{2}r

My mamy do czynienia z trójkątem równoramiennym, czyli długość dwóch boków jest taka sama. Oznaczmy długość ramienia przez a i podstawy trójkąta przez b. Pierwszy z powyższych wzorów przyjmie postać (po uwzględnieniu danego pola oraz promienia okręgu opisanego):

P=\frac{a\cdot a\cdot b}{4R}\\ P=\frac{a^2b}{4R}/\cdot 4R\\ a^2b=4RP\\ P=\sqrt{15}\\ R=\frac{8\sqrt{15}}{15}\\ a^2b=4\cdot \frac{8\sqrt{15}}{15} \cdot \sqrt{15}\\ a^2b=32

Drugi z przytoczonych wyżej wzorów przyjmuje postać:

P=\frac{a+a+b}{2}\cdot r\\ P=\frac{2a+b}{2}r/\cdot \frac{2}{r}\\ 2a+b=\frac{2P}{r}\\ P=\sqrt{15}\\ r=\frac{\sqrt{15}}{5}\\ 2a+b=\frac{2\sqrt{15}}{\frac{\sqrt{15}}{5}}\\ 2a+b=10

Otrzymaliśmy dwa równania i mamy dwie niewiadome. Rozwiązujemy układ równań:

\begin{cases}a^2b=32\\ 2a+b=10\end{cases}\\ \begin{cases}a^2b=32\\ b=10-2a\end{cases}\\ a^2(10-2a)=32\\ 10a^2-2a^3-32=0/:(-2)\\ a^3-5a^2+16=0

Otrzymaliśmy równanie algebraiczne. Pierwiastków szukamy pośród dzielników wyrazu wolnego:

W(2)=2^3-5\cdot 2^2+16=8-20+16=4\neq 0\\ W(4)=4^3-5\cdot 4^2+16=64-80+16=0

Liczba 4 jest pierwiastkiem równania. Dzielimy pisemnie wielomiany:

(a^3-5a^2+16):(a-4)=a^2-a-4\\ \underline{a^3-4a^2}\\ \ \ \ -a^2+16\\ \ \ \ \underline{-a^2+4a} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ -4a+16\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-4a+16}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0

Nasze równanie a^3-5a^2+16=0 możemy zapisać w postaci:

(a-4)(a^2-a-4)=0

Drugi z nawiasów zawiera trójmian kwadratowy, który teraz rozkładamy na czynniki:

a^2-a-4\\ \Delta_a=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-4)=1+16=17\\ a_1=\frac{-(-1)-\sqrt{17}}{2\cdot 1}=\frac{1-\sqrt{17}}{2}<0\\ a_2=\frac{1+\sqrt{17}}{2}

Pierwsze z rozwiązań musimy odrzucić, gdyż długość boku trójkąta nie może być ujemna. Równanie przyjmuje postać:

(a-4)(a-\frac{1-\sqrt{17}}{2})(a+\frac{1+\sqrt{17}}{2})=0

Przyjmujemy dwa rozwiązania z powyższych trzech i wracamy do naszego układu równań, aby wyznaczyć długość boku b trójkąta.

b=10-2a\\ \begin{cases}a_1=4\\ b_1=10-2a_1=10-8=2\end{cases}\\  \begin{cases}a_2=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\\ b_2=10-2\cdot \frac{1+\sqrt{17}}{2}=10-(1+\sqrt{17})=9-\sqrt{17}\end{cases}

ksiązki Odpowiedź

\begin{cases}a_1=4\\ b_1=2\end{cases} \ lub \ \begin{cases}a_2=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\\ b_2=9-\sqrt{17}\end{cases}

© medianauka.pl, 2011-02-13, ZAD-1155


Zadania podobne

kulkaZadanie - długość odcinka i pole trójkąta
Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pole trójkąta
Oblicz pole powierzchni i obwód trójkąta równobocznego o wysokości h=2 cm

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pole trójkąta
Środki trójkąta równobocznego o boku długości 2 połączono ze sobą tak, że powstał mniejszy trójkąt wewnątrz większego. Obliczyć jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pole powierzchni i twierdzenie Pitagorasa
Ceny poszczególnych działek są następujące:
A: 60 000 PLN
B: 50 000 PLN
C: 50 000 PLN
D: 100 000 PLN
Zakup której działki jest najbardziej opłacalny?
Twierdzenie Pitagorasa - zadanie

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pole trójkąta
Dany jest trójkąt o bokach długości 2, 3 i 4. Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pole trójkąta
Wektory \vec{a}=[1,2], \ \vec{b}=[-3,4] wyznaczają trójkąt. Obliczyć jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pole trójkąta
Dany jest wektor \vec{AB}=[2,5] zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Pole trójkąta
Dany jest trójkąt równoramienny o ramionach długości 5 i kącie wewnętrznym między tymi ramionami \alpha=30^o. Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pole trójkąta, okrąg opisany na trójkącie
Na trójkącie o polu równym 6 i o bokach o długości 2,3 i 4 opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pole trójkąta
Dany jest trójkąt A, B, C o wierzchołkach A=(-1,1), B=(2,1), C=(-2,-1). Oblicz jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pole trójkąta
Z kwadratu o boku a wycięto trójkąt tak, że jeden z jego wierzchołków stanowi środek boku kwadratu, a jeden z boków tego trójkąta stanowi bok kwadratu. Czy pole ścinków jest większe od pola trójkąta?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 19, matura 2016 (poziom podstawowy)
Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).
wzór
Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe: A. 14
B. 2\sqrt{33}
C. 4\sqrt{33}
D. 12


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 34, matura 2014
Kąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę 30°. Pole kwadratu DEFG, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.
rysunek do zadania 34, matura 2014

Pokaż rozwiązanie zadania



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.