Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie maturalne nr 34, matura 2014


Kąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę 30°. Pole kwadratu DEFG, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.
rysunek do zadania 34, matura 2014


ksiązki Rozwiązanie zadania

Niech a oznacza długość boku kwadratu DEFG. Ponieważ pole tego kwadratu jest równe 4, długość boku jest równa a=2.

Trójkąt ADE to „połowa trójkąta równobocznego” o boku AD i wysokości AE. Ponieważ kąt DAE ma miarę 30°, stąd wniosek o tym że opisywany trójkąt jest równoboczny (suma miar kątów w trójkącie jest równa 180°). Mamy więc:

|AD|=2a=4\\|AE|-\frac{|AD|\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}

Skorzystaliśmy tutaj ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym:

d=\frac{a\sqrt{3}}{2}

Trójkąt GBF to „połowa trójkąta równobocznego” o boku BG i wysokości FG, więc:

|BG|-2|BF|\\
|FG|=\frac{|BG|\sqrt{3}}{2}

Stąd:

2=\frac{|BG|\sqrt{3}}{2}\\|BG|=\frac{4}{\sqrt{3}}\\|BF|=\frac{1}{2}|BG|=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}

Obliczamy |AB|:

|AB|=|AE|+|EF|+|BF|=\\=2\sqrt{3}+2+\frac{2}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}+2+\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{8}{3}\sqrt{3}+2

Trójkąt ACB jest „połową trójkąta równobocznego” o boku AB. Zatem

|BC|=\frac{1}{2}|AB|\\|CD|=\frac{\sqrt{3}}{2}|AB|

Możemy już teraz przystąpić do obliczenia pola naszego trójkąta:

P=\frac{1}{2}|AC||BC|=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}|AB|\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}|AB|=\frac{\sqrt{3}}{8}|AB|^2\\P=\frac{\sqrt{3}}{8}(\frac{8}{3}\sqrt{3}+2)^2=\frac{\sqrt{3}}{8}(\frac{64}{9}\cdot 3+\frac{32}{3}\sqrt{3}+4)=\frac{19\sqrt{3}}{6}+4

 

ksiązkiOdpowiedź

P=\frac{19\sqrt{3}}{6}+4

© medianauka.pl, 2017-02-05, ZAD-3457




Zadania podobne

kulkaZadanie - długość odcinka i pole trójkąta
Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)


kulkaZadanie - pole trójkąta
Oblicz pole powierzchni i obwód trójkąta równobocznego o wysokości h=2 cm


kulkaZadanie - pole trójkąta
Środki trójkąta równobocznego o boku długości 2 połączono ze sobą tak, że powstał mniejszy trójkąt wewnątrz większego. Obliczyć jego pole.


kulkaZadanie - pole powierzchni i twierdzenie Pitagorasa
Ceny poszczególnych działek są następujące:
A: 60 000 PLN
B: 50 000 PLN
C: 50 000 PLN
D: 100 000 PLN
Zakup której działki jest najbardziej opłacalny?
Twierdzenie Pitagorasa - zadanie


kulkaZadanie - pole trójkąta
Dany jest trójkąt o bokach długości 2, 3 i 4. Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.


kulkaZadanie - pole trójkąta
Wektory \vec{a}=[1,2], \ \vec{b}=[-3,4] wyznaczają trójkąt. Obliczyć jego pole.


kulkaZadanie - pole trójkąta
Dany jest wektor \vec{AB}=[2,5] zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.


kulkaZadanie - Pole trójkąta
Dany jest trójkąt równoramienny o ramionach długości 5 i kącie wewnętrznym między tymi ramionami \alpha=30^o. Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.


kulkaZadanie - pole trójkąta, okrąg opisany na trójkącie
Na trójkącie o polu równym 6 i o bokach o długości 2,3 i 4 opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.


kulkaZadanie - pole trójkąta
Dany jest trójkąt A, B, C o wierzchołkach A=(-1,1), B=(2,1), C=(-2,-1). Oblicz jego pole.


kulkaZadanie - pole trójkąta
Z kwadratu o boku a wycięto trójkąt tak, że jeden z jego wierzchołków stanowi środek boku kwadratu, a jeden z boków tego trójkąta stanowi bok kwadratu. Czy pole ścinków jest większe od pola trójkąta?


kulkaZadanie - pole trójkąta
W trójkąt równoramienny o polu \sqrt{15} wpisano okrąg o promieniu r=\frac{\sqrt{15}}{5}. Na tym samy trójkącie opisano okrąg o promieniu R=\frac{8\sqrt{15}}{15}. Oblicz długości boków tego trójkąta.


kulkaZadanie maturalne nr 19, matura 2016 (poziom podstawowy)
Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).
wzór
Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe: A. 14
B. 2\sqrt{33}
C. 4\sqrt{33}
D. 12



Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.