logo

Zadanie maturalne nr 34, matura 2014


Kąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę 30°. Pole kwadratu DEFG, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.
rysunek do zadania 34, matura 2014

ksiązki Rozwiązanie zadania

Niech a oznacza długość boku kwadratu DEFG. Ponieważ pole tego kwadratu jest równe 4, długość boku jest równa a=2.

Trójkąt ADE to „połowa trójkąta równobocznego” o boku AD i wysokości AE. Ponieważ kąt DAE ma miarę 30°, stąd wniosek o tym że opisywany trójkąt jest równoboczny (suma miar kątów w trójkącie jest równa 180°). Mamy więc:

|AD|=2a=4\\|AE|-\frac{|AD|\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}

Skorzystaliśmy tutaj ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym:

d=\frac{a\sqrt{3}}{2}

Trójkąt GBF to „połowa trójkąta równobocznego” o boku BG i wysokości FG, więc:

|BG|-2|BF|\\
|FG|=\frac{|BG|\sqrt{3}}{2}

Stąd:

2=\frac{|BG|\sqrt{3}}{2}\\|BG|=\frac{4}{\sqrt{3}}\\|BF|=\frac{1}{2}|BG|=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}

Obliczamy |AB|:

|AB|=|AE|+|EF|+|BF|=\\=2\sqrt{3}+2+\frac{2}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}+2+\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{8}{3}\sqrt{3}+2

Trójkąt ACB jest „połową trójkąta równobocznego” o boku AB. Zatem

|BC|=\frac{1}{2}|AB|\\|CD|=\frac{\sqrt{3}}{2}|AB|

Możemy już teraz przystąpić do obliczenia pola naszego trójkąta:

P=\frac{1}{2}|AC||BC|=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}|AB|\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}|AB|=\frac{\sqrt{3}}{8}|AB|^2\\P=\frac{\sqrt{3}}{8}(\frac{8}{3}\sqrt{3}+2)^2=\frac{\sqrt{3}}{8}(\frac{64}{9}\cdot 3+\frac{32}{3}\sqrt{3}+4)=\frac{19\sqrt{3}}{6}+4

 

ksiązkiOdpowiedź

P=\frac{19\sqrt{3}}{6}+4

© medianauka.pl, 2017-02-05, ZAD-3457

Zadania podobne

kulkaZadanie - długość odcinka i pole trójkąta
Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pole trójkąta
Oblicz pole powierzchni i obwód trójkąta równobocznego o wysokości h=2 cm

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pole trójkąta
Środki trójkąta równobocznego o boku długości 2 połączono ze sobą tak, że powstał mniejszy trójkąt wewnątrz większego. Obliczyć jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pole powierzchni i twierdzenie Pitagorasa
Ceny poszczególnych działek są następujące:
A: 60 000 PLN
B: 50 000 PLN
C: 50 000 PLN
D: 100 000 PLN
Zakup której działki jest najbardziej opłacalny?
Twierdzenie Pitagorasa - zadanie

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pole trójkąta
Dany jest trójkąt o bokach długości 2, 3 i 4. Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pole trójkąta
Wektory \vec{a}=[1,2], \ \vec{b}=[-3,4] wyznaczają trójkąt. Obliczyć jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pole trójkąta
Dany jest wektor \vec{AB}=[2,5] zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Pole trójkąta
Dany jest trójkąt równoramienny o ramionach długości 5 i kącie wewnętrznym między tymi ramionami \alpha=30^o. Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pole trójkąta, okrąg opisany na trójkącie
Na trójkącie o polu równym 6 i o bokach o długości 2,3 i 4 opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pole trójkąta
Dany jest trójkąt A, B, C o wierzchołkach A=(-1,1), B=(2,1), C=(-2,-1). Oblicz jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pole trójkąta
Z kwadratu o boku a wycięto trójkąt tak, że jeden z jego wierzchołków stanowi środek boku kwadratu, a jeden z boków tego trójkąta stanowi bok kwadratu. Czy pole ścinków jest większe od pola trójkąta?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pole trójkąta
W trójkąt równoramienny o polu \sqrt{15} wpisano okrąg o promieniu r=\frac{\sqrt{15}}{5}. Na tym samy trójkącie opisano okrąg o promieniu R=\frac{8\sqrt{15}}{15}. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 19, matura 2016 (poziom podstawowy)
Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).
wzór
Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe: A. 14
B. 2\sqrt{33}
C. 4\sqrt{33}
D. 12


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 17, matura 2017 (poziom podstawowy)
Obwód trójkąta ABC, przedstawionego na rysunku, jest równy
A. (3+ \frac{\sqrt{3}}{2})
B. (2+ \frac{\sqrt{2}}{2})
C. (3+ \sqrt{3})
D. (2+ \sqrt{2})



Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

Kolorowe skarpetki - smart owl - sowa
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach
Algebra
Czy kości grają rolę Boga? Matematyka niepewności
kolorowe skarpetki góra lodowa
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2021 r.