Strona główna » Matematyka » Pole i obwód trójkąta • Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną • Zastosowanie iloczynu skalarnego

Zadanie - pole trójkąta

Dany jest wektor $\vec{AB}=[2,5]$ zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy szkic:

Ponieważ punkt C leży na prostej y=2 jego rzędna jest równa 2. Szukamy odciętej x. (Punkt C przesuwamy po prostej y=2 i sprawdzamy kiedy pole trójkąta ABC będzie odpowiednie.) Pole trójkąta wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory $\vec{a}=[a_x,a_y], \ \vec{b}=[b_x,b_y]$ zaczepione we wspólnym początku jest równe połowie modułu wyznacznika tych wektorów.

$W=\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=a_xb_y-a_yb_x\\ P=\frac{1}{2}|W|$

Mamy współrzędne wektora $\vec{AB}=[2,5]$ , brakuje nam wektora . Znajdziemy jego współrzędne:

$A=(1,1), C=(x,2)\\ \vec{AC}=[x-1,2-1]=[x-1,1]$

Obliczamy wyznacznik:

$\vec{AB}=[2,5], \ \vec{AC}=[x-1,1]\\ W=\begin{vmatrix} 2&5\\x-1&1 \end{vmatrix}=2\cdot 1-(x-1)\cdot 5=2-5x+5=-5x+7$

Pole powierzchni jest dane, równe 10 i jest równe:

$P=\frac{1}{2}|W|\\ P=10\\ 10=\frac{1}{2}|-5x+7|/\cdot 2\\ |-5x+7|=20$

Mamy równanie liniowe z wartością bezwzględną. Korzystając z definicji wartości bezwzględnej:

$x=\begin{cases} x, \ dla \ x\geq 0 \\ -x, \ dla \ x<0 \end{cases}$

otrzymujemy:

Przypadek 1

Dla $-5x+7\geq 0 \Leftrightarrow -5x\geq -7/:(-5) \Leftrightarrow x\leq \frac{7}{5}$ możemy opuścić wartość bezwzględną. Otrzymujemy równanie:

$-5x+7=20\\ -5x=13/:(-5)\\ x=-\frac{13}{5}\\ x=-3\frac{3}{5}\\ C=(-3\frac{3}{5},2)$

Przypadek 2

Dla $-5x+7< 0 \Leftrightarrow x>\frac{7}{5}$ możemy opuścić wartość bezwzględną, zmieniając znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Otrzymujemy równanie: