Zadanie - pole trójkąta
Treść zadania:
Dany jest wektor \(\vec{AB}=[2,5]\) zaczepiony w punkcie \(A=(1,1)\). Znaleźć taki punkt \(C\), leżący na prostej \(y=2\), że pole trójkąta \(ABC\) jest równe 10.
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy szkic:
Ponieważ punkt C leży na prostej \(y=2\) jego rzędna jest równa 2. Szukamy odciętej \(x\). (Punkt C przesuwamy po prostej \(y=2\) i sprawdzamy kiedy pole trójkąta \(ABC\) będzie odpowiednie.) Pole trójkąta wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory \(\vec{a}=[a_x,a_y], \ \vec{b}=[b_x,b_y]\) zaczepione we wspólnym początku jest równe połowie modułu wyznacznika tych wektorów.
\(W=\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=a_xb_y-a_yb_x\\ P=\frac{1}{2}|W|\)
Mamy współrzędne wektora \(\vec{AB}=[2,5]\), brakuje nam wektora . Znajdziemy jego współrzędne:
\(A=(1,1), C=(x,2)\)
\(\vec{AC}=[x-1,2-1]=[x-1,1]\)
Obliczamy wyznacznik:
\(\vec{AB}=[2,5], \ \vec{AC}=[x-1,1]\\ W=\begin{vmatrix} 2&5\\x-1&1 \end{vmatrix}=2\cdot 1-(x-1)\cdot 5=2-5x+5=-5x+7\)
Pole powierzchni jest dane, równe 10 i jest równe:
\(P=\frac{1}{2}|W|\)
\(P=10\)
\(10=\frac{1}{2}|-5x+7|/\cdot 2\)
\(|-5x+7|=20\)
Mamy równanie liniowe z wartością bezwzględną. Korzystając z definicji wartości bezwzględnej:
otrzymujemy:
Przypadek 1
Dla \(-5x+7\geq 0 \Leftrightarrow -5x\geq -7/:(-5) \Leftrightarrow x\leq \frac{7}{5}\) możemy opuścić wartość bezwzględną. Otrzymujemy równanie:
\(-5x+7=20\)
\(-5x=13/:(-5)\)
\(x=-\frac{13}{5}\)
\(x=-3\frac{3}{5}\)
\(C=(-3\frac{3}{5},2)\)
Przypadek 2
Dla \(-5x+7< 0 \Leftrightarrow x>\frac{7}{5}\) możemy opuścić wartość bezwzględną, zmieniając znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Otrzymujemy równanie:
\(5x-7=20\)
\(5x=27/:5\)
\(x=\frac{27}{5}\)
\(x=5\frac{2}{5}\)
\(C=(5\frac{2}{5},2)\)
Zadanie ma więc dwa rozwiązania:
Odpowiedź
\(C=(-3\frac{3}{5},2) \ lub \ C=(5\frac{2}{5},2)\)© medianauka.pl, 2011-02-12, ZAD-1150
Zadania podobne
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem
\(f(x)=\begin{cases}x-2 \quad dla \quad x\leq0\\||x+3|-4| \quad dla \quad x>0 \end{cases}\).
Równanie \(f(x)=1\) ma dokładnie
A. jedno rozwiązanie.
B. dwa rozwiązania.
C. cztery rozwiązania.
D. pięć rozwiązań.
Zadanie nr 8 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których równanie \(|x−5|=(a−1)^2−4\) ma dwa różne rozwiązania dodatnie.
Zadanie nr 9 — maturalne.
Liczba różnych pierwiastków równania \(3x+|x-4|=0\) jest równa
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3