Nauka » Matematyka » Pole i obwód trójkąta Równania z wartością bezwzględną Iloczyn skalarny

Zadanie - pole trójkąta

Dany jest wektor $\vec{AB}=[2,5]$ zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy szkic:

Ponieważ punkt C leży na prostej y=2 jego rzędna jest równa 2. Szukamy odciętej x. (Punkt C przesuwamy po prostej y=2 i sprawdzamy kiedy pole trójkąta ABC będzie odpowiednie.) Pole trójkąta wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory $\vec{a}=[a_x,a_y], \ \vec{b}=[b_x,b_y]$ zaczepione we wspólnym początku jest równe połowie modułu wyznacznika tych wektorów.

$W=\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=a_xb_y-a_yb_x\\ P=\frac{1}{2}|W|$

Mamy współrzędne wektora $\vec{AB}=[2,5]$ , brakuje nam wektora . Znajdziemy jego współrzędne:

$A=(1,1), C=(x,2)\\ \vec{AC}=[x-1,2-1]=[x-1,1]$

Obliczamy wyznacznik:

$\vec{AB}=[2,5], \ \vec{AC}=[x-1,1]\\ W=\begin{vmatrix} 2&5\\x-1&1 \end{vmatrix}=2\cdot 1-(x-1)\cdot 5=2-5x+5=-5x+7$

Pole powierzchni jest dane, równe 10 i jest równe:

$P=\frac{1}{2}|W|\\ P=10\\ 10=\frac{1}{2}|-5x+7|/\cdot 2\\ |-5x+7|=20$

Mamy równanie liniowe z wartością bezwzględną. Korzystając z definicji wartości bezwzględnej:

$x=\begin{cases} x, \ dla \ x\geq 0 \\ -x, \ dla \ x<0 \end{cases}$

otrzymujemy:

Przypadek 1

Dla $-5x+7\geq 0 \Leftrightarrow -5x\geq -7/:(-5) \Leftrightarrow x\leq \frac{7}{5}$ możemy opuścić wartość bezwzględną. Otrzymujemy równanie:

$-5x+7=20\\ -5x=13/:(-5)\\ x=-\frac{13}{5}\\ x=-3\frac{3}{5}\\ C=(-3\frac{3}{5},2)$

Przypadek 2

Dla $-5x+7< 0 \Leftrightarrow x>\frac{7}{5}$ możemy opuścić wartość bezwzględną, zmieniając znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Otrzymujemy równanie:

$5x-7=20\\ 5x=27/:5\\ x=\frac{27}{5}\\ x=5\frac{2}{5}\\ C=(5\frac{2}{5},2)$

Zadanie ma więc dwa rozwiązania:

Odpowiedź

$C=(-3\frac{3}{5},2) \ lub \ C=(5\frac{2}{5},2)$

Zadania podobne

Zadanie - pole trójkąta
Wektory $\vec{a}=[1,2], \ \vec{b}=[-3,4]$ wyznaczają trójkąt. Obliczyć jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole powierzchni rombu
Oblicz pole rombu ABCD, jeżeli wiadomo, że A=(2,0), B=(3,2), C=(2,4), D=(1,2).

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równoległobok
Obliczyć pole równoległoboku ABCD, jeżeli wiadomo, że A=(1,1), B=(5,1), C=(7,3), D=(3,3).

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - iloczyn skalarny wektorów
Zbadać, czy wektory $\vec{a}=[4,8], \ \vec{b}=[2,-1]$ są prostopadłe.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - iloczyn skalarny wektorów
Jaki kąt tworzą ze sobą wektory $\vec{a}, \ \vec{b}$ , jeżeli ich iloczyn skalarny jest równy 1, a długości tych wektorów są równe odpowiednio 2 i 1?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - iloczyn skalarny wektorów
Dany jest wektor $\vec{a}=[4,-5]$ . Oblicz $\vec{a}\circ 2\vec{a}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - iloczyn skalarny wektorów
Dane są wektory $\vec{a}=2\vec{i}-4\vec{j},\ \vec{b}=2\vec{i}+3\vec{j}$ . Oblicz $\vec{a}\circ \vec{b}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie iloczynu skalarnego
Czy trójkąt wyznaczony przez wektory $\vec{a}=[-2,4],\ \vec{b}=[3,1]$ jest trójkątem prostokątnym?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie iloczynu skalarnego
Zbadać, czy wektory $\vec{a}=[12,24],\ \vec{b}=[-3,-6]$ są równoległe.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie iloczynu skalarnego
Dla jakiej wartości parametru m wektory $\vec{a}=[2,-3],\ \vec{b}=[5,3m]$ są równoległe.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie iloczynu skalarnego
Dla jakiej wartości parametru m wektory $\vec{a}=[m,3],\ \vec{b}=[4,-2m+1]$ są prostopadłe?

Pokaż rozwiązanie zadania