Równania z wartością bezwzględną

Równania z wartością bezwzględną to takie równania, w których niewiadoma znajduje się pod wartością bezwzględną. Tutaj zajmiemy się wyłącznie równaniami pierwszego stopnia.

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną

Rozwiązywanie równania z wartością bezwzględną wymaga rozpatrywania kilku przypadków. Wynika to bezpośrednio z definicji wartości bezwzględnej.
Zgodnie z definicją:

$|x|=\begin{cases}x\text{ dla x\geq 0}\\-x\text{ dla x<0}\end{cases}$

Należy więc rozpatrzyć co najmniej dwa przypadki.

Przykład

Rozwiązać równanie: |x|-1=0.
1) Dla $x\geq{0}$ mamy |x|=x, więc:
$|x|-1=0\Rightarrow{x-1=0}\Leftrightarrow{x=1}$
Spełnione jest założenie, więc liczba 1 jest pierwiastkiem równania.

2) Dla mamy z definicji wartości bezwzględnej |x|=-x, więc:
$|x|-1=0\Rightarrow{-x-1=0}\Leftrightarrow{x=-1}$
Spełnione jest założenie (x<0), więc liczba -1 jest pierwiastkiem równania.

Odpowiedź: Pierwiastkami równania |x|-1=0 są liczby -1 i 1.

Naszkicujmy wykres funkcji y=|x|-1.

Jak widać wykres tej funkcji ma dwa miejsca zerowe, są to jednocześnie pierwiastki rozpatrywanego równania.

Przykład

Rozwiązać równanie: |x|+1=0.
1) Dla $x\geq{0}$ mamy |x|=x, więc:
$x+1=0\\{x=-1}$
Niestety nie jest spełnione założenie $x\geq{0}$ , więc liczba -1 nie jest pierwiastkiem równania.

2) Dla mamy z definicji wartości bezwzględnej |x|=-x, więc:
$-x+1=0\\{x=1}$

I znów nie jest spełnione jest założenie (x<0), więc liczba 1 nie jest pierwiastkiem równania.

Odpowiedź: Równanie nie ma rozwiązań; jest sprzeczne.

Naszkicujmy wykres funkcji y=|x|+1.

wykres funkcji y=|x|-1

Jak się należało spodziewać, wykres tej funkcji nie ma miejsc zerowych.

W przypadku gdy pod wartością bezwzględną znajduje się całe wyrażenie zawierające zmienną, rozpatrujemy przypadki, gdy całe to wyrażenie przyjmuje różne znaki. Ilustruje to poniższy przykład.

Przykład

Rozwiązać równanie:

1) Dla $x+1\geq{0}\Leftrightarrow{x\geq{-1}}$ otrzymujemy równanie:

$x+1+x=1\\{2x=0}\\{x=0}$

2) Dla $x+1<0\Leftrightarrow{x<-1}$ otrzymujemy równanie:

$-x-1+x=1\\{-1=1}$

Otrzymaliśmy sprzeczność.

Odpowiedź: Równanie ma jeden pierwiastek x=0

Jeżeli w równaniu pojawia się więcej wartości bezwzględnych,
np. |x+1|-x=|x|-1, wówczas musimy rozpatrywać odpowiednio więcej przypadków (kiedy obie wartości pod wartościami bezwzględnymi są ujemne, obie dodatnie oraz jedna z nich dodatnia, druga ujemna i odwrotnie).

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać równanie $\frac{|x|}{3}-1=2x$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Dana jest funkcja f określona wzorem $f(x)=\begin{cases}x-2 \quad dla \quad x\leq0\\||x+3|-4| \quad dla \quad x>0 \end{cases}$ . Równanie f(x)=1 ma dokładnie

A. jedno rozwiązanie.
B. dwa rozwiązania.
C. cztery rozwiązania.
D. pięć rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Rozwiąż równanie 3|x+2|=|x−3|+11.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Dany jest wektor $\vec{AB}=[2,5]$ zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Równanie liniowe

Równanie liniowe z jedną niewiadomą jest to równanie w postaci: ax+b=0, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi, x - niewiadoma.

Rozwiązywanie równań liniowych

Rozwiązywanie równań liniowych z jedną niewiadomą, Równanie liniowe z parametrem, Zadania z treścią

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.