Równania z wartością bezwzględną

Równania z wartością bezwzględną to takie równania, w których niewiadoma znajduje się pod wartością bezwzględną. Tutaj zajmiemy się wyłącznie równaniami pierwszego stopnia.

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną

Rozwiązywanie równania z wartością bezwzględną wymaga rozpatrywania kilku przypadków. Wynika to bezpośrednio z definicji wartości bezwzględnej.
Zgodnie z definicją:

$|x|=\begin{cases}x\text{ dla x\geq 0}\\-x\text{ dla x<0}\end{cases}$

Należy więc rozpatrzyć co najmniej dwa przypadki.

Przykład

Rozwiązać równanie: |x|-1=0.
1) Dla $x\geq{0}$ mamy |x|=x, więc:
$|x|-1=0\Rightarrow{x-1=0}\Leftrightarrow{x=1}$
Spełnione jest założenie, więc liczba 1 jest pierwiastkiem równania.

2) Dla mamy z definicji wartości bezwzględnej |x|=-x, więc:
$|x|-1=0\Rightarrow{-x-1=0}\Leftrightarrow{x=-1}$
Spełnione jest założenie (x<0), więc liczba -1 jest pierwiastkiem równania.

Odpowiedź: Pierwiastkami równania |x|-1=0 są liczby -1 i 1.

Naszkicujmy wykres funkcji y=|x|-1.

Jak widać wykres tej funkcji ma dwa miejsca zerowe, są to jednocześnie pierwiastki rozpatrywanego równania.

Przykład

Rozwiązać równanie: |x|+1=0.
1) Dla $x\geq{0}$ mamy |x|=x, więc:
$x+1=0\\{x=-1}$
Niestety nie jest spełnione założenie $x\geq{0}$ , więc liczba -1 nie jest pierwiastkiem równania.

2) Dla mamy z definicji wartości bezwzględnej |x|=-x, więc:
$-x+1=0\\{x=1}$

I znów nie jest spełnione jest założenie (x<0), więc liczba 1 nie jest pierwiastkiem równania.

Odpowiedź: Równanie nie ma rozwiązań; jest sprzeczne.

Naszkicujmy wykres funkcji y=|x|+1.

wykres funkcji y=|x|-1

Jak się należało spodziewać, wykres tej funkcji nie ma miejsc zerowych.

W przypadku gdy pod wartością bezwzględną znajduje się całe wyrażenie zawierające zmienną, rozpatrujemy przypadki, gdy całe to wyrażenie przyjmuje różne znaki. Ilustruje to poniższy przykład.

Przykład

Rozwiązać równanie:

1) Dla $x+1\geq{0}\Leftrightarrow{x\geq{-1}}$ otrzymujemy równanie:

$x+1+x=1\\{2x=0}\\{x=0}$

2) Dla $x+1<0\Leftrightarrow{x<-1}$ otrzymujemy równanie:

$-x-1+x=1\\{-1=1}$

Otrzymaliśmy sprzeczność.

Odpowiedź: Równanie ma jeden pierwiastek x=0

Jeżeli w równaniu pojawia się więcej wartości bezwzględnych,
np. |x+1|-x=|x|-1, wówczas musimy rozpatrywać odpowiednio więcej przypadków (kiedy obie wartości pod wartościami bezwzględnymi są ujemne, obie dodatnie oraz jedna z nich dodatnia, druga ujemna i odwrotnie).