Równania z wartością bezwzględną

Równania z wartością bezwzględną to takie równania, w których niewiadoma znajduje się pod wartością bezwzględną. Tutaj zajmiemy się wyłącznie równaniami pierwszego stopnia.

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną

Teoria Rozwiązywanie równania z wartością bezwzględną wymaga rozpatrywania kilku przypadków. Wynika to bezpośrednio z definicji wartości bezwzględnej.
Zgodnie z definicją:

|x|=\begin{cases}x\text{ dla x\geq 0}\\-x\text{ dla x<0}\end{cases}

Należy więc rozpatrzyć co najmniej dwa przypadki.

Przykład Przykład

Rozwiązać równanie: |x|-1=0.
1) Dla x\geq{0} mamy |x|=x, więc:
|x|-1=0\Rightarrow{x-1=0}\Leftrightarrow{x=1}
Spełnione jest założenie, więc liczba 1 jest pierwiastkiem równania.

2) Dla x<0 mamy z definicji wartości bezwzględnej |x|=-x, więc:
|x|-1=0\Rightarrow{-x-1=0}\Leftrightarrow{x=-1}
Spełnione jest założenie (x<0), więc liczba -1 jest pierwiastkiem równania.

Odpowiedź: Pierwiastkami równania |x|-1=0 są liczby -1 i 1.

Naszkicujmy wykres funkcji y=|x|-1.

wykres funkcji y=|x|-1

Jak widać wykres tej funkcji ma dwa miejsca zerowe, są to jednocześnie pierwiastki rozpatrywanego równania.

Przykład Przykład

Rozwiązać równanie: |x|+1=0.
1) Dla x\geq{0} mamy |x|=x, więc:
x+1=0\\{x=-1}
Niestety nie jest spełnione założenie x\geq{0}, więc liczba -1 nie jest pierwiastkiem równania.

2) Dla x<0 mamy z definicji wartości bezwzględnej |x|=-x, więc:
-x+1=0\\{x=1}

I znów nie jest spełnione jest założenie (x<0), więc liczba 1 nie jest pierwiastkiem równania.

Odpowiedź: Równanie nie ma rozwiązań; jest sprzeczne.

Naszkicujmy wykres funkcji y=|x|+1.

wykres funkcji y=|x|-1

Jak się należało spodziewać, wykres tej funkcji nie ma miejsc zerowych.

Teoria W przypadku gdy pod wartością bezwzględną znajduje się całe wyrażenie zawierające zmienną, rozpatrujemy przypadki, gdy całe to wyrażenie przyjmuje różne znaki. Ilustruje to poniższy przykład.

Przykład Przykład

Rozwiązać równanie: |x+1|+x=1

1) Dla x+1\geq{0}\Leftrightarrow{x\geq{-1}} otrzymujemy równanie:

x+1+x=1\\{2x=0}\\{x=0}

2) Dla x+1<0\Leftrightarrow{x<-1} otrzymujemy równanie:

-x-1+x=1\\{-1=1}

Otrzymaliśmy sprzeczność.

Odpowiedź: Równanie ma jeden pierwiastek x=0

Teoria Jeżeli w równaniu pojawia się więcej wartości bezwzględnych,
np. |x+1|-x=|x|-1, wówczas musimy rozpatrywać odpowiednio więcej przypadków (kiedy obie wartości pod wartościami bezwzględnymi są ujemne, obie dodatnie oraz jedna z nich dodatnia, druga ujemna i odwrotnie).




Zadania z rozwiązaniami

zadania
Zadania związane z tematem:
Równania z wartością bezwzględną

zadanie-ikonka Zadanie - równanie z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie |x+1|-|x-1|=5.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - nierówność liniowa z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność 2-|x+1|>3+x

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - nierówność z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność |2x+1|>3

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie liniowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie |-3x+1|=2x+4

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie liniowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie \frac{|x|}{3}-1=2x

Pokaż rozwiązanie zadania

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 2, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dana jest funkcja f określona wzorem f(x)=\begin{cases}x-2 \quad dla \quad x\leq0\\||x+3|-4| \quad dla \quad x>0 \end{cases}. Równanie f(x)=1 ma dokładnie

A. jedno rozwiązanie.
B. dwa rozwiązania.
C. cztery rozwiązania.
D. pięć rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - pole trójkąta
Dany jest wektor \vec{AB}=[2,5] zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.

Pokaż rozwiązanie zadania


Inne zagadnienia z tej lekcji

Równanie liniowe

Równanie liniowe

Równanie liniowe z jedną niewiadomą jest to równanie w postaci: ax+b=0, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi, x - niewiadoma.

Rozwiązywanie równań liniowych

Rozwiązywanie równań liniowych

Rozwiązywanie równań liniowych z jedną niewiadomą, Równanie liniowe z parametrem, Zadania z treścią

Test wiedzy

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.




© medianauka.pl, 2009-06-26, ART-249





Polecamy w naszym sklepie

Matematyka dla menedżerów
Algebra
Kolorowe skarpetki 3D
Kolorowe skarpetki Miasto
Krótka historia wielkich umysłów
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.