Równania z wartością bezwzględną
Równania z wartością bezwzględną to takie równania, w których niewiadoma znajduje się pod wartością bezwzględną. Tutaj zajmiemy się wyłącznie równaniami pierwszego stopnia.
Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną
Rozwiązywanie równania z wartością bezwzględną wymaga rozpatrywania kilku przypadków. Wynika to bezpośrednio z definicji wartości bezwzględnej.
Zgodnie z definicją:

Należy więc rozpatrzyć co najmniej dwa przypadki.
Przykład
Rozwiązać równanie: |x|-1=0.
1) Dla mamy |x|=x, więc:
Spełnione jest założenie, więc liczba 1 jest pierwiastkiem równania.
2) Dla mamy z definicji wartości bezwzględnej |x|=-x, więc:
Spełnione jest założenie (x<0), więc liczba -1 jest pierwiastkiem równania.
Odpowiedź: Pierwiastkami równania |x|-1=0 są liczby -1 i 1.
Naszkicujmy wykres funkcji y=|x|-1.

Jak widać wykres tej funkcji ma dwa miejsca zerowe, są to jednocześnie pierwiastki rozpatrywanego równania.
Przykład
Rozwiązać równanie: |x|+1=0.
1) Dla mamy |x|=x, więc:
Niestety nie jest spełnione założenie , więc liczba -1 nie jest pierwiastkiem równania.
2) Dla mamy z definicji wartości bezwzględnej |x|=-x, więc:
I znów nie jest spełnione jest założenie (x<0), więc liczba 1 nie jest pierwiastkiem równania.
Odpowiedź: Równanie nie ma rozwiązań; jest sprzeczne.
Naszkicujmy wykres funkcji y=|x|+1.
Jak się należało spodziewać, wykres tej funkcji nie ma miejsc zerowych.
W przypadku gdy pod wartością bezwzględną znajduje się całe wyrażenie zawierające zmienną, rozpatrujemy przypadki, gdy całe to wyrażenie przyjmuje różne znaki. Ilustruje to poniższy przykład.
Przykład
Rozwiązać równanie:
1) Dla otrzymujemy równanie:
2) Dla otrzymujemy równanie:
Otrzymaliśmy sprzeczność.
Odpowiedź: Równanie ma jeden pierwiastek x=0
Jeżeli w równaniu pojawia się więcej wartości bezwzględnych,
np. |x+1|-x=|x|-1, wówczas musimy rozpatrywać odpowiednio więcej przypadków (kiedy obie wartości pod wartościami bezwzględnymi są ujemne, obie dodatnie oraz jedna z nich dodatnia, druga ujemna i odwrotnie).
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dana jest funkcja f określona wzorem
A. jedno rozwiązanie.
B. dwa rozwiązania.
C. cztery rozwiązania.
D. pięć rozwiązań.
Zadanie nr 7 — maturalne.
Rozwiąż równanie 3|x+2|=|x−3|+11.Zadanie nr 8.
Dany jest wektor![\vec{AB}=[2,5]](matematyka/wzory/zad621/1.gif)
Inne zagadnienia z tej lekcji
Równanie liniowe

Równanie liniowe z jedną niewiadomą jest to równanie w postaci: ax+b=0, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi, x - niewiadoma.
Rozwiązywanie równań liniowych

Rozwiązywanie równań liniowych z jedną niewiadomą, Równanie liniowe z parametrem, Zadania z treścią
© medianauka.pl, 2009-06-26, ART-249