Nauka » Matematyka » Równania z wartością bezwzględną

Zadanie maturalne nr 1, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Rozwiąż równanie 3|x+2|=|x−3|+11.

Rozwiązanie zadania

Wartość bezwzględną liczby x określamy w następujący sposób:

$|x| = \\begin{cases} x \\text{ dla x\\geq 0} \\\\-x \\text{ dla x<0}\\end{cases}$

Mówiąc inaczej, wartość bezwzględna liczby nieujemnej to ta sama liczba, natomiast wartość bezwzględna liczby ujemnej, to liczba do niej przeciwna.

Mamy równanie:

$ 3|x+2|=|x−3|+11$

Ponieważ w naszym równaniu mamy dwie wartości bezwzględne, musimy rozpatrzyć 4 różne przypadki.

Przypadek 1

$ \begin{cases} x+2\ge 0\\x-3\ge 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x\ge -2\\x\ge 3 \end{cases} $

$ D: x\in \langle 3;\infty) $

Możemy opuścić symbol wartości bezwzględnej, bo dla x z powyższego przedziału mamy tylko do czynienia z wartościami nieujemnymi po wartością bezwzględną. Zatem nasze równanie przyjmuje postać:

$ 3(x+2)=x−3+11$

$ 3x-x=-6+8$

$ 2x=2$

$ x=1\notin D$

Przypadek 2

$ \begin{cases} x+2< 0\\x-3< 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x< -2\\x< 3 \end{cases} $

$ D: x\in (-\infty;-2) $

Możemy opuścić symbol wartości bezwzględnej, zmieniając w obu przypadkach znak na przeciwny:

$ 3(-x-2)=-x+3+11$

$ -3x+x=6+14$

$ -2x=20$

$ x=-10\in D$

Przypadek 3

$ \begin{cases} x+2\ge 0\\x-3< 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x\ge -2\\x< 3 \end{cases} $

$ D: x\in \langle -2;3) $

Nasze równanie przyjmuje postać:

$ 3(x+2)=-x+3+11$

$ 3x+x=-6+14$

$ 4x=8$

$ x=2\in D$

Przypadek 4

$ \begin{cases} x+2< 0\\x-3\ge 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x< -2\\x\ge 3 \end{cases} $

$ D: x\in \emptyset $

Odpowiedź

$ x=2 \vee x=-10$

Zadania podobne

Zadanie - równanie z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność liniowa z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie liniowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie liniowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie $\frac{|x|}{3}-1=2x$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta
Dany jest wektor $\vec{AB}=[2,5]$ zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 2, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dana jest funkcja f określona wzorem $f(x)=\begin{cases}x-2 \quad dla \quad x\leq0\\||x+3|-4| \quad dla \quad x>0 \end{cases}$ . Równanie f(x)=1 ma dokładnie

A. jedno rozwiązanie.
B. dwa rozwiązania.
C. cztery rozwiązania.
D. pięć rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.