Nauka » Matematyka » Równania z wartością bezwzględną

Zadanie - nierówność z wartością bezwzględną

Rozwiązać nierówność

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zgodnie z określeniem wartości bezwzględnej:

$x=\begin{cases} x, \ dla \ x\geq 0 \\ -x, \ dla \ x<0 \end{cases}$

Mamy następujące przypadki:

Przypadek 1, gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest liczbą dodatnią lub zerem:

Możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną w naszej nierówności bez zmiany znaku:

$|2x+1|>3 \\ 2x+1>3\\ 2x>2/:2 \\ x>1$

Pamiętamy, że to rozwiązanie jest prawdziwe tylko dla x większych lub równych -1/2. Zaznaczamy część wspólną obu zbiorów:

Częścią wspólną obu zbiorów jest zbiór $(1;+\infty)$

Przypadek 2, gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest liczbą ujemną:

$2x+1< 0 \\ 2x< -1/:2 \\ x< -\frac{1}{2}$

Możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną w naszej nierówności, pamiętając o zmianie znaku:

$|2x+1|>3 \\ -(2x+1)>3\\ -2x>3+1/:(-2) \\ x<-2$

Pamiętamy, że to rozwiązanie jest prawdziwe tylko dla x mniejszych od -1/2. Zaznaczamy część wspólną obu zbiorów:

Częścią wspólną obu zbiorów jest zbiór $(-\infty;-2)$

Rozwiązaniem nierówności jest suma rozwiązań obu przypadków.

Odpowiedź

$x\in (-\infty;-2)\cup (1;+\infty)$

Zadania podobne

Zadanie - równanie z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność liniowa z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie liniowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie liniowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie $\frac{|x|}{3}-1=2x$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta
Dany jest wektor $\vec{AB}=[2,5]$ zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 2, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dana jest funkcja f określona wzorem $f(x)=\begin{cases}x-2 \quad dla \quad x\leq0\\||x+3|-4| \quad dla \quad x>0 \end{cases}$ . Równanie f(x)=1 ma dokładnie

A. jedno rozwiązanie.
B. dwa rozwiązania.
C. cztery rozwiązania.
D. pięć rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 1, matura 2018 (poziom rozszerzony)
Rozwiąż równanie 3|x+2|=|x−3|+11.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.