Strona główna » Matematyka » Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną

Zadanie maturalne nr 2, matura 2015 (poziom rozszerzony)

Dana jest funkcja f określona wzorem $f(x)=\begin{cases}x-2 \quad dla \quad x\leq0\\||x+3|-4| \quad dla \quad x>0 \end{cases}$ . Równanie f(x)=1 ma dokładnie

A. jedno rozwiązanie.
B. dwa rozwiązania.
C. cztery rozwiązania.
D. pięć rozwiązań.

Rozwiązanie zadania

Wykorzystujemy własność wartości bezwzględnej:

$|x| = \\begin{cases} x \\text{ dla x\\geq 0} \\\\-x \\text{ dla x<0}\\end{cases}$

Mamy do rozwiązania równanie:

A w zasadzie dwa równania (przypadki):

I. Przypadek dla x≤0 . M

Mamy do rozwiązania równanie:

$x-2=1\\x=3>0$

Otrzymaliśmy wynik, który nie należy do dziedziny naszego równania. Nie jest to więc rozwiązanie naszego równania głównego.

I. Przypadek dla x>0 .

Mamy do rozwiązania następujące równanie:

||x+3|-4|=1

Równanie rozwiązujemy tylko dla dodatnich wartości x, stąd wartość wyrażdenia x+3 jest również dodatnia i możemy opuścić wewnętrzną wartość bezwzględną:

|x+3-4|=1
|x-1|=1

Teraz musimy rozpatrzyć znów dwa przypadki, gdy wyrażenie pod wartością bezwzględna jest dodatnie (możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną) i gdy wyrażenie to jest mniejsze od zera (możemy wówczas opuścić wartość bezwzględna, zmieniając znak wyrażenia na przeciwny).

$\begin{cases}x-1=1\\x-1\geq 0\end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases}-(x-1)=1\\x-1<0\end{cases}\\\begin{cases}x=2\\x\geq 1\end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases}x=0\\x<1\end{cases}$