Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie maturalne nr 2, matura 2015 (poziom rozszerzony)


Dana jest funkcja f określona wzorem f(x)=\begin{cases}x-2 \quad dla \quad x\leq0\\||x+3|-4| \quad dla \quad x>0 \end{cases}. Równanie f(x)=1 ma dokładnie

A. jedno rozwiązanie.
B. dwa rozwiązania.
C. cztery rozwiązania.
D. pięć rozwiązań.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Wykorzystujemy własność wartości bezwzględnej:

|x| = \\begin{cases} x \\text{ dla x\\geq 0} \\\\-x \\text{ dla x<0}\\end{cases}

Mamy do rozwiązania równanie:

A w zasadzie dwa równania (przypadki):

I. Przypadek dla x≤0 . M

Mamy do rozwiązania równanie:

x-2=1\\x=3>0

Otrzymaliśmy wynik, który nie należy do dziedziny naszego równania. Nie jest to więc rozwiązanie naszego równania głównego.

I. Przypadek dla x>0 .

Mamy do rozwiązania następujące równanie:

||x+3|-4|=1

Równanie rozwiązujemy tylko dla dodatnich wartości x, stąd wartość wyrażdenia x+3 jest również dodatnia i możemy opuścić wewnętrzną wartość bezwzględną:

|x+3-4|=1
|x-1|=1

Teraz musimy rozpatrzyć znów dwa przypadki, gdy wyrażenie pod wartością bezwzględna jest dodatnie (możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną) i gdy wyrażenie to jest mniejsze od zera (możemy wówczas opuścić wartość bezwzględna, zmieniając znak wyrażenia na przeciwny).

\begin{cases}x-1=1\\x-1\geq 0\end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases}-(x-1)=1\\x-1<0\end{cases}\\\begin{cases}x=2\\x\geq 1\end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases}x=0\\x<1\end{cases}

Sprawdzamy, czy uzyskane rozwiązania należą do dziedziny równania (x>0). Tylko pierwsze rozwiązanie jest liczbą dodatnią.

Nasze równanie ma więc tylko jedno rozwiązanie x=2.

ksiązki Odpowiedź

Odpowiedź A

© medianauka.pl, 2017-01-07, ZAD-3359





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.