Nauka » Matematyka » Równania z wartością bezwzględną

Zadanie - równanie liniowe z wartością bezwzględną

Rozwiązać równanie

Rozwiązanie zadania uproszczone

$1) -3x+1\geq 0 \\ -3x\geq -1/:(-3) \\ x\leq \frac{1}{3}$

$|-3x+1|=2x+4 \\ -3x+1=2x+4 \\ -3x-2x=4-1\\ -5x=3/:(-5)\\ x=-\frac{3}{5}$

$2) -3x+1<0 \\ -3x<-1/:(-3) \\ x<\frac{1}{3}$

$|-3x+1|=2x+4 \\ 3x-1=2x+4\\3x-2x=4+1\\ x=5$

Rozwiązaniem równania są liczby $-\frac{3}{5},\ 5$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zgodnie z określeniem wartości bezwzględnej mamy dwa przypadki:

$x=\begin{cases} x, \ dla \ x\geq 0 \\ -x, \ dla \ x<0 \end{cases}$

Oto one:

Przypadek 1, gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest liczbą dodatnią lub zerem:

$-3x+1\geq 0 \\ -3x\geq -1/:(-3) \\ x\leq \frac{1}{3}$

Możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną w naszym równaniu bez zmiany znaku:

$|-3x+1|=2x+4 \\ -3x+1=2x+4 \\ -3x-2x=4-1\\ -5x=3/:(-5)\\ x=-\frac{3}{5}$

Pamiętamy, że to rozwiązanie jest prawdziwe tylko dla x mniejszych lub równych -1/3. Czy liczba -3/5 jest mniejsza od -1/3? Sprawdźmy:

Ponieważ $-\frac{3}{5}<-\frac{1}{3}, \ -\frac{9}{15}<-\frac{5}{15}$ liczba -3/5 jest rozwiązaniem równania.

Przypadek 2, gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest liczbą ujemną:

$-3x+1<0 \\ -3x<-1/:(-3) \\ x<\frac{1}{3}$

Możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną w naszym równaniu zmieniając znak wyrażenia na przeciwny:

$|-3x+1|=2x+4 \\ -(-3x+1)=2x+4 \\ 3x-1=2x+4\\3x-2x=4+1\\ x=5$

Pamiętamy, że to rozwiązanie jest prawdziwe tylko dla x większych od -1/3. Liczba 5 jest większa od -1/3 więc jest rozwiązaniem równania.

Odpowiedź

Rozwiązaniem równania są liczby $-\frac{3}{5},\ 5$

Zadania podobne

Zadanie - równanie z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność liniowa z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie liniowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie $\frac{|x|}{3}-1=2x$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta
Dany jest wektor $\vec{AB}=[2,5]$ zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 2, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dana jest funkcja f określona wzorem $f(x)=\begin{cases}x-2 \quad dla \quad x\leq0\\||x+3|-4| \quad dla \quad x>0 \end{cases}$ . Równanie f(x)=1 ma dokładnie

A. jedno rozwiązanie.
B. dwa rozwiązania.
C. cztery rozwiązania.
D. pięć rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie zadania