Nauka » Matematyka » Równania z wartością bezwzględną

Zadanie - równanie liniowe z wartością bezwzględną

Rozwiązać równanie

Rozwiązanie zadania uproszczone

$1) -3x+1\geq 0 \\ -3x\geq -1/:(-3) \\ x\leq \frac{1}{3}$

$|-3x+1|=2x+4 \\ -3x+1=2x+4 \\ -3x-2x=4-1\\ -5x=3/:(-5)\\ x=-\frac{3}{5}$

$2) -3x+1<0 \\ -3x<-1/:(-3) \\ x<\frac{1}{3}$

$|-3x+1|=2x+4 \\ 3x-1=2x+4\\3x-2x=4+1\\ x=5$

Rozwiązaniem równania są liczby $-\frac{3}{5},\ 5$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zgodnie z określeniem wartości bezwzględnej mamy dwa przypadki:

$x=\begin{cases} x, \ dla \ x\geq 0 \\ -x, \ dla \ x<0 \end{cases}$

Oto one:

Przypadek 1, gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest liczbą dodatnią lub zerem:

$-3x+1\geq 0 \\ -3x\geq -1/:(-3) \\ x\leq \frac{1}{3}$

Możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną w naszym równaniu bez zmiany znaku:

$|-3x+1|=2x+4 \\ -3x+1=2x+4 \\ -3x-2x=4-1\\ -5x=3/:(-5)\\ x=-\frac{3}{5}$

Pamiętamy, że to rozwiązanie jest prawdziwe tylko dla x mniejszych lub równych -1/3. Czy liczba -3/5 jest mniejsza od -1/3? Sprawdźmy:

Ponieważ $-\frac{3}{5}<-\frac{1}{3}, \ -\frac{9}{15}<-\frac{5}{15}$ liczba -3/5 jest rozwiązaniem równania.

Przypadek 2, gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest liczbą ujemną:

$-3x+1<0 \\ -3x<-1/:(-3) \\ x<\frac{1}{3}$

Możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną w naszym równaniu zmieniając znak wyrażenia na przeciwny:

$|-3x+1|=2x+4 \\ -(-3x+1)=2x+4 \\ 3x-1=2x+4\\3x-2x=4+1\\ x=5$

Pamiętamy, że to rozwiązanie jest prawdziwe tylko dla x większych od -1/3. Liczba 5 jest większa od -1/3 więc jest rozwiązaniem równania.

Odpowiedź

Rozwiązaniem równania są liczby $-\frac{3}{5},\ 5$

Zadania podobne

Zadanie - równanie z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność liniowa z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie liniowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie $\frac{|x|}{3}-1=2x$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta
Dany jest wektor $\vec{AB}=[2,5]$ zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 2, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dana jest funkcja f określona wzorem $f(x)=\begin{cases}x-2 \quad dla \quad x\leq0\\||x+3|-4| \quad dla \quad x>0 \end{cases}$ . Równanie f(x)=1 ma dokładnie

A. jedno rozwiązanie.
B. dwa rozwiązania.
C. cztery rozwiązania.
D. pięć rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.