Nauka » Matematyka » Równania z wartością bezwzględną

Zadanie - nierówność liniowa z wartością bezwzględną

Rozwiązać nierówność

Rozwiązanie zadania uproszczone

$1) \ x+1\geq 0 \Leftrightarrow x\geq -1$
$2-|x+1|>3+x\\ 2-(x+1)>3+x\\ 2-x-1>3+x\\ -x-x>3-2+1 \\ -2x>2/:(-2) \\ x<-1$
Rysunek pomocniczy

$x\in \empty$

$2) \ x+1< 0 \Leftrightarrow x<-1$
$2-|x+1|>3+x\\ 2+x+1>3+x\\ x-x>3-3 \\ 0>0$

Nierówność nie ma rozwiązania.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zgodnie z określeniem wartości bezwzględnej mamy dwa przypadki:

$x=\begin{cases} x, \ dla \ x\geq 0 \\ -x, \ dla \ x<0 \end{cases}$

Oto one:

Przypadek 1, gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest liczbą dodatnią lub zerem:

$x+1\geq 0 \Leftrightarrow x\geq -1$

Możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną w naszej nierówności bez zmiany znaku:

$2-|x+1|>3+x\\ 2-(x+1)>3+x\\ 2-x-1>3+x\\ -x-x>3-2+1 \\ -2x>2/:(-2) \\ x<-1$

Pamiętamy, że to rozwiązanie jest prawdziwe tylko dla x większych lub równych -1. Zaznaczamy część wspólną obu zbiorów:

Częścią wspólna obu zbiorów jest zbiór pusty. Nierówność nie ma więc rozwiązania w tym przypadku.

Przypadek 2, gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest liczbą ujemną:

$x+1< 0 \Leftrightarrow x<-1$

Możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną w naszej nierówności pamiętając o zmianie znaku:

$2-|x+1|>3+x\\ 2-[-(x+1)]>3+x\\ 2+x+1>3+x\\ x-x>3-3 \\ 0>0$

Otrzymaliśmy nierówność sprzeczną.

W obu przypadkach nie znaleźliśmy rozwiązania, zatem:

Odpowiedź

Nierówność nie ma rozwiązania.

Zadania podobne

Zadanie - równanie z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie liniowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie liniowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie $\frac{|x|}{3}-1=2x$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta
Dany jest wektor $\vec{AB}=[2,5]$ zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 2, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dana jest funkcja f określona wzorem $f(x)=\begin{cases}x-2 \quad dla \quad x\leq0\\||x+3|-4| \quad dla \quad x>0 \end{cases}$ . Równanie f(x)=1 ma dokładnie

A. jedno rozwiązanie.
B. dwa rozwiązania.
C. cztery rozwiązania.
D. pięć rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie zadania