Nauka » Matematyka » Równania z wartością bezwzględną

Zadanie - nierówność liniowa z wartością bezwzględną

Rozwiązać nierówność

Rozwiązanie zadania uproszczone

$1) \ x+1\geq 0 \Leftrightarrow x\geq -1$
$2-|x+1|>3+x\\ 2-(x+1)>3+x\\ 2-x-1>3+x\\ -x-x>3-2+1 \\ -2x>2/:(-2) \\ x<-1$
Rysunek pomocniczy

$x\in \empty$

$2) \ x+1< 0 \Leftrightarrow x<-1$
$2-|x+1|>3+x\\ 2+x+1>3+x\\ x-x>3-3 \\ 0>0$

Nierówność nie ma rozwiązania.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zgodnie z określeniem wartości bezwzględnej mamy dwa przypadki:

$x=\begin{cases} x, \ dla \ x\geq 0 \\ -x, \ dla \ x<0 \end{cases}$

Oto one:

Przypadek 1, gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest liczbą dodatnią lub zerem:

$x+1\geq 0 \Leftrightarrow x\geq -1$

Możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną w naszej nierówności bez zmiany znaku:

$2-|x+1|>3+x\\ 2-(x+1)>3+x\\ 2-x-1>3+x\\ -x-x>3-2+1 \\ -2x>2/:(-2) \\ x<-1$

Pamiętamy, że to rozwiązanie jest prawdziwe tylko dla x większych lub równych -1. Zaznaczamy część wspólną obu zbiorów:

Częścią wspólna obu zbiorów jest zbiór pusty. Nierówność nie ma więc rozwiązania w tym przypadku.

Przypadek 2, gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest liczbą ujemną:

$x+1< 0 \Leftrightarrow x<-1$

Możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną w naszej nierówności pamiętając o zmianie znaku:

$2-|x+1|>3+x\\ 2-[-(x+1)]>3+x\\ 2+x+1>3+x\\ x-x>3-3 \\ 0>0$

Otrzymaliśmy nierówność sprzeczną.

W obu przypadkach nie znaleźliśmy rozwiązania, zatem:

Odpowiedź

Nierówność nie ma rozwiązania.

Zadania podobne

Zadanie - równanie z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie liniowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie liniowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie $\frac{|x|}{3}-1=2x$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta
Dany jest wektor $\vec{AB}=[2,5]$ zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 2, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dana jest funkcja f określona wzorem $f(x)=\begin{cases}x-2 \quad dla \quad x\leq0\\||x+3|-4| \quad dla \quad x>0 \end{cases}$ . Równanie f(x)=1 ma dokładnie

A. jedno rozwiązanie.
B. dwa rozwiązania.
C. cztery rozwiązania.
D. pięć rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.