Zadanie maturalne nr 6, matura 2020 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których równanie \(|x−5|=(a−1)^2−4\) ma dwa różne rozwiązania dodatnie.
Rozwiązanie zadania
Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej rozważamy dwa przypadki:
Przypadek 1
\(x-5\geq 0\)
\(x\geq 5\)
Wówczas możemy opuścić wartości bezwzględne w naszym równaniu.
\(x-5=(a-1)^2-4\)
\(x=(a-1)^2+1\)
Rozwiązania, czyli \(x\) musi być dodatnie:
\((a-1)^2+1>0\)
\(a^2-2a+1+1>0\)
\(a^2-2a+2>0\)
\(\Delta=4-8<0\)
Delta jest ujemna, współczynnik przy \(a^2\) jest dodatni, więc mamy do czynienia z przypadkiem na pierwszym rysunku. Szukamy wartości dodatnich, więc: \(a\in \mathbb{R}\).
Rysunek 1.
Pamiętajmy jednak, że rozpatrujemy przypadek w którym \(x\geq 5\). zatem:
\(x=(a-1)^2+1\geq 5\)
\(a^2-2a+1+1-5\geq 0\)
\(a^2-2a-3\geq 0\)
\(\Delta=4+12=16\)
\(a_1=\frac{2-4}{2}=-1\)
\(a_2=\frac{2+4}{2}=3\)
Mamy deltę większą od zera i ramiona paraboli są skierowane ku górze i szukamy wartości dodatnich. Zatem:
\(a\in(-\infty;-1⟩\cup⟨3;+\infty)\)
Przypadek 2
\(x-5<0 0\)
\(x< 5\)
Wówczas możemy opuścić wartości bezwzględne w naszym równaniu. ale ze zmianą znaku.
\(-x+5=(a-1)^2-4\)
\(-x=(a-1)^2-9\)
\(x=9-(a-1)^2\)
Rozwiązania, czyli \(x\) musi być dodatnie:
\(9-(a-1)^2>0\)
\(-a^2+2a+8>0\)
\(\Delta=4+32=36\)
\(a_1=\frac{-2-6}{-2}=4\)
\(a_2=\frac{-2+6}{-2}=-2\)
Ramiona paraboli są skierowane w dół (współczynnik przy \(a^2\) jest ujemny i mamy dwa pierwiastki, szukamy zaś wartości dodatnich. Mamy wić przypadek szósty z Rysunku 1.
\(a\in(-2;4)\)
Pamiętaj<\geq 5\). zatem:
\(x=-(a-1)^2+9< 5\)
\(-(a-1)^2+4<0/\cdot (-1)\)
\((a-1)^2-4>0\)
\((a-1-2)(a-1+2)>0\)
\((a-3)(a+1)>0\)
\(a_1=-1\)
\(a_2=3\)
Zatem
\(a\in(-\infty;-1)\cup (3;+\infty)\)
Uwzględniając wynik \(a\in(-2;4)\) mamy:
\(a\in(-2;-1)\cup (3;4)\)
Podsumowanie
Uwzględniając przypadek 1 i 2 mamy:
\(a\in(-2;-1)\cup (3;4)\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-03-09, ZAD-4774
Zadania podobne
Zadanie nr 6.
Dany jest wektor \(\vec{AB}=[2,5]\) zaczepiony w punkcie \(A=(1,1)\). Znaleźć taki punkt \(C\), leżący na prostej \(y=2\), że pole trójkąta \(ABC\) jest równe 10.
Zadanie nr 7 — maturalne.
Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem
\(f(x)=\begin{cases}x-2 \quad dla \quad x\leq0\\||x+3|-4| \quad dla \quad x>0 \end{cases}\).
Równanie \(f(x)=1\) ma dokładnie
A. jedno rozwiązanie.
B. dwa rozwiązania.
C. cztery rozwiązania.
D. pięć rozwiązań.
Zadanie nr 9 — maturalne.
Liczba różnych pierwiastków równania \(3x+|x-4|=0\) jest równa
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3