Nauka » Matematyka » Równania z wartością bezwzględną

Zadanie maturalne nr 6, matura 2020 - poziom rozszerzony

Wyznacz wszystkie wartości parametru a , dla których równanie |x −5| = (a −1)² − 4 ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Rozwiązanie zadania

Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej rozważamy dwa przypadki:

Przypadek 1

$x-5\geq 0$

$x\geq 5$

Wówczas możemy opuścić wartości bezwzględne w naszym równaniu.

$x-5=(a-1)^2-4$

$x=(a-1)^2+1$

Rozwiązania, czyli $x$ musi być dodatnie:

$(a-1)^2+1>0$

$a^2-2a+1+1>0$

$a^2-2a+2>0$

$\Delta=4-8<0$

Delta jest ujemna, współczynnik przy $a^2$ jest dodatni, więc mamy do czynienia z przypadkiem na pierwszym rysunku. Szukamy wartości dodatnich, więc: $a\in \mathbb{R}$.

Rysunek 1.

wykres trójmianu kwadraowego

Pamiętajmy jednak, że rozpatrujemy przypadek w którym $x\geq 5$. zatem:

$x=(a-1)^2+1\geq 5$

$a^2-2a+1+1-5\geq 0$

$a^2-2a-3\geq 0$

$\Delta=4+12=16$

$a_1=\frac{2-4}{2}=-1$

$a_2=\frac{2+4}{2}=3$

Mamy deltę większą od zera i ramiona paraboli są skierowane ku górze i szukamy wartości dodatnich. Zatem:

$a\in(-\infty;-1⟩\cup⟨3;+\infty)$

Przypadek 2

$x-5<0 0$

$x< 5$

Wówczas możemy opuścić wartości bezwzględne w naszym równaniu. ale ze zmianą znaku.

$-x+5=(a-1)^2-4$

$-x=(a-1)^2-9$

$x=9-(a-1)^2$

Rozwiązania, czyli $x$ musi być dodatnie:

$9-(a-1)^2>0$

$-a^2+2a+8>0$

$\Delta=4+32=36$

$a_1=\frac{-2-6}{-2}=4$

$a_2=\frac{-2+6}{-2}=-2$

Ramiona paraboli są skierowane w dół (współczynnik przy $a^2$ jest ujemny i mamy dwa pierwiastki, szukamy zaś wartości dodatnich. Mamy wić przypadek szósty z Rysunku 1.

$a\in(-2;4)$

Pamiętaj<\geq 5\). zatem:

$x=-(a-1)^2+9< 5$

$-(a-1)^2+4<0/\cdot (-1)$

$(a-1)^2-4>0$

$(a-1-2)(a-1+2)>0$

$(a-3)(a+1)>0$

$a_1=-1$

$a_2=3$

Zatem

$a\in(-\infty;-1)\cup (3;+\infty)$

Uwzględniając wynik $a\in(-2;4)$ mamy:

$a\in(-2;-1)\cup (3;4)$

Rysunek

Podsumowanie

Uwzględniając przypadek 1 i 2 mamy:

$a\in(-2;-1)\cup (3;4)$

Odpowiedź

$a\in(-2;-1)\cup (3;4)$

Zadania podobne

Zadanie - równanie z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność liniowa z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie liniowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie liniowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie $\frac{|x|}{3}-1=2x$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta
Dany jest wektor $\vec{AB}=[2,5]$ zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 2, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dana jest funkcja f określona wzorem $f(x)=\begin{cases}x-2 \quad dla \quad x\leq0\\||x+3|-4| \quad dla \quad x>0 \end{cases}$ . Równanie f(x)=1 ma dokładnie

A. jedno rozwiązanie.
B. dwa rozwiązania.
C. cztery rozwiązania.
D. pięć rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 1, matura 2018 (poziom rozszerzony)
Rozwiąż równanie 3|x+2|=|x−3|+11.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.