Nauka » Matematyka » Równania z wartością bezwzględną

Zadanie - równanie liniowe z wartością bezwzględną

Rozwiązać równanie $\frac{|x|}{3}-1=2x$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$1) \ x\geq 0\\ \frac{|x|}{3}-1=2x\\ \frac{x}{3}-1=2x/\cdot 3\\ x-3=6x\\ x-6x=3\\ -5x=3/:(-5)\\ x=-\frac{3}{5}< 0$

$2) \ x< 0\\ \frac{|x|}{3}-1=2x\\ \frac{-x}{3}-1=2x/\cdot 3\\ -x-3=6x\\ -x-6x=3\\ -7x=3/:(-7)\\ x=-\frac{3}{7}$

Rozwiązaniem równania jest liczba $-\frac{3}{7}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zgodnie z określeniem wartości bezwzględnej ...

$x=\begin{cases} x, \ dla \ x\geq 0 \\ -x, \ dla \ x<0 \end{cases}$

...mamy dwa przypadki. Oto one:

Przypadek 1, gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest liczbą dodatnią lub zerem:

$x\geq 0$

Możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną w naszym równaniu bez zmiany znaku:

$\frac{|x|}{3}-1=2x\\ \frac{x}{3}-1=2x/\cdot 3\\ x-3=6x\\ x-6x=3\\ -5x=3/:(-5)\\ x=-\frac{3}{5}$

Pamiętamy, że to rozwiązanie jest prawdziwe tylko dla x większych lub równych 0. Nasze rozwiązanie nie spełnia tego warunku, więc nie jest rozwiązaniem równania.

Przypadek 2, gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest liczbą ujemną:

Możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną w naszym równaniu zmieniając znak na przeciwny wyrażenia pod wartością bezwzględną:

$\frac{|x|}{3}-1=2x\\ \frac{-x}{3}-1=2x/\cdot 3\\ -x-3=6x\\ -x-6x=3\\ -7x=3/:(-7)\\ x=-\frac{3}{7}$

Pamiętamy, że to rozwiązanie jest prawdziwe tylko dla x mniejszych od 0. Nasze rozwiązanie spełnia ten warunek.

Odpowiedź

Rozwiązaniem równania jest liczba $-\frac{3}{7}$

Zadania podobne

Zadanie - równanie z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność liniowa z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie liniowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta
Dany jest wektor $\vec{AB}=[2,5]$ zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 2, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dana jest funkcja f określona wzorem $f(x)=\begin{cases}x-2 \quad dla \quad x\leq0\\||x+3|-4| \quad dla \quad x>0 \end{cases}$ . Równanie f(x)=1 ma dokładnie

A. jedno rozwiązanie.
B. dwa rozwiązania.
C. cztery rozwiązania.
D. pięć rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie zadania