Strona główna » Matematyka » Wartość bezwzględna - wiadomości podstawowe • Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną

Zadanie - równanie z wartością bezwzględną

Rozwiązać równanie

Rozwiązanie zadania uproszczone

$1) \begin{cases}x+1\geq 0 \\ x-1\geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x\geq -1 \\ x\geq 1 \end{cases}$
rysunek pomocniczy

$x\in \langle 1;+\infty)$

$|x+1|-|x-1|=5 \\ x+1-x+1=5 \\ 2=5$
W tym przypadku równanie nie ma rozwiązania

$2) \begin{cases}x+1< 0 \\ x-1< 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x< -1 \\ x< 1 \end{cases}$
rysunek pomocniczy

$x\in (-\infty;-1)$

$|x+1|-|x-1|=5 \\ -(x+1)-[-(x-1)]=5 \\ -x-1+x-1=5 \\ -2=5$

W tym przypadku równanie również nie ma rozwiązania

$3) \begin{cases}x+1\geq 0 \\ x-1< 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x\geq -1 \\ x< 1 \end{cases}$
rysunek pomocniczy

$x\in \langle -1;1)$

$|x+1|-|x-1|=5 \\ x+1-[-(x-1)]=5 \\ x+1+x-1=5 \\ 2x=5/:2 \\x=\frac{5}{2}$
Liczba 5/2 nie należy do przedziału <-1;1), nie jest więc rozwiązaniem równania.

$4) \begin{cases}x+1< 0 \\ x-1\geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x< -1 \\ x\geq 1 \end{cases}$
rysunek pomocniczy

$x\in \empty$

Równanie

nie ma rozwiązania.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby rozwiązać to równanie skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej

$|x|=\begin{cases} x, dla \ \ x\geq 0 \\ -x, dla \ \ x< 0 \end{cases}$

W równaniu mamy dwie wartości bezwzględne. Musimy rozpatrzyć kilka przypadków: gdy wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi są dodatnie, ujemne, jedno dodatnie, a drugie ujemne i odwrotnie. Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej, jeśli wyrażenie pod wartością bezwzględną jest większe lub równe zeru, możemy opuścić wartość bezwzględną, jeśli jest ujemne, opuszczamy wartość bezwzględną zapisując wartość całego wyrażenia ze znakiem minus.

Przypadek 1

$\begin{cases}x+1\geq 0 \\ x-1\geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x\geq -1 \\ x\geq 1 \end{cases}$

Dla $x\in \langle 1;+\infty)$ możemy opuścić wartości bezwzględne. Otrzymujemy równanie:

$|x+1|-|x-1|=5 \\ x+1-(x-1)=5 \\ x+1-x+1=5 \\ 2=5$

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne. W tym przypadku równanie nie ma rozwiązania

Przypadek 2

$\begin{cases}x+1< 0 \\ x-1< 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x< -1 \\ x< 1 \end{cases}$

Dla $x\in (-\infty;-1)$ możemy opuścić wartości bezwzględne, jednak musimy w obu przypadkach zmienić znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Otrzymujemy równanie:

$|x+1|-|x-1|=5 \\ -(x+1)-[-(x-1)]=5 \\ -x-1+x-1=5 \\ -2=5$

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne. W tym przypadku równanie również nie ma rozwiązania

Przypadek 3

$\begin{cases}x+1\geq 0 \\ x-1< 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x\geq -1 \\ x< 1 \end{cases}$

Dla $x\in \langle -1;1)$ możemy opuścić wartości bezwzględne, jednak musimy w przypadku drugiej wartości bezwzględnej musimy zmienić znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Otrzymujemy równanie: