Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - równanie z wartością bezwzględną


Rozwiązać równanie |x+1|-|x-1|=5.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

1) \begin{cases}x+1\geq 0 \\ x-1\geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x\geq -1 \\ x\geq 1 \end{cases}
rysunek pomocniczy

x\in \langle 1;+\infty)

|x+1|-|x-1|=5 \\ x+1-x+1=5 \\ 2=5
W tym przypadku równanie nie ma rozwiązania

2) \begin{cases}x+1< 0 \\ x-1< 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x< -1 \\ x< 1 \end{cases}
rysunek pomocniczy

x\in (-\infty;-1)

|x+1|-|x-1|=5 \\ -(x+1)-[-(x-1)]=5 \\ -x-1+x-1=5 \\ -2=5

W tym przypadku równanie również nie ma rozwiązania

3) \begin{cases}x+1\geq 0 \\ x-1< 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x\geq -1 \\ x< 1 \end{cases}
rysunek pomocniczy
x\in \langle -1;1)

|x+1|-|x-1|=5 \\ x+1-[-(x-1)]=5 \\ x+1+x-1=5 \\ 2x=5/:2 \\x=\frac{5}{2}
Liczba 5/2 nie należy do przedziału <-1;1), nie jest więc rozwiązaniem równania.

4) \begin{cases}x+1< 0 \\ x-1\geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x< -1 \\ x\geq 1 \end{cases}
rysunek pomocniczy


x\in \empty

Równanie |x+1|-|x-1|=5 nie ma rozwiązania.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby rozwiązać to równanie skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej

|x|=\begin{cases} x, dla \ \ x\geq 0 \\ -x, dla \ \ x< 0 \end{cases}

W równaniu mamy dwie wartości bezwzględne. Musimy rozpatrzyć kilka przypadków: gdy wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi są dodatnie, ujemne, jedno dodatnie, a drugie ujemne i odwrotnie. Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej, jeśli wyrażenie pod wartością bezwzględną jest większe lub równe zeru, możemy opuścić wartość bezwzględną, jeśli jest ujemne, opuszczamy wartość bezwzględną zapisując wartość całego wyrażenia ze znakiem minus.

Przypadek 1

\begin{cases}x+1\geq 0 \\ x-1\geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x\geq -1 \\ x\geq 1 \end{cases}
rysunek pomocniczy

Dla x\in \langle 1;+\infty) możemy opuścić wartości bezwzględne. Otrzymujemy równanie:

|x+1|-|x-1|=5 \\ x+1-(x-1)=5 \\ x+1-x+1=5 \\ 2=5

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne. W tym przypadku równanie nie ma rozwiązania

Przypadek 2

\begin{cases}x+1< 0 \\ x-1< 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x< -1 \\ x< 1 \end{cases}
rysunek pomocniczy

Dla x\in (-\infty;-1) możemy opuścić wartości bezwzględne, jednak musimy w obu przypadkach zmienić znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Otrzymujemy równanie:

|x+1|-|x-1|=5 \\ -(x+1)-[-(x-1)]=5 \\ -x-1+x-1=5 \\ -2=5

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne. W tym przypadku równanie również nie ma rozwiązania

Przypadek 3

\begin{cases}x+1\geq 0 \\ x-1< 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x\geq -1 \\ x< 1 \end{cases}
rysunek pomocniczy

Dla x\in \langle -1;1) możemy opuścić wartości bezwzględne, jednak musimy w przypadku drugiej wartości bezwzględnej musimy zmienić znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Otrzymujemy równanie:

|x+1|-|x-1|=5 \\ x+1-[-(x-1)]=5 \\ x+1+x-1=5 \\ 2x=5/:2 \\x=\frac{5}{2}

Liczba 5/2 nie należy do przedziału <-1;1), nie jest więc rozwiązaniem równania.

Przypadek 4

\begin{cases}x+1< 0 \\ x-1\geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x< -1 \\ x\geq 1 \end{cases}
rysunek pomocniczy

x\in \empty

W tym przypadku nie ma takich wartości zmiennej x, dla których spełniony jest powyższy warunek.

ksiązki Odpowiedź

Równanie |x+1|-|x-1|=5 nie ma rozwiązania.

© medianauka.pl, 2009-12-28, ZAD-451





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.