Wartość bezwzględna

Definicja Definicja

Wartość bezwzględną liczby x oznaczamy symbolem |x| i określamy w następujący sposób:

|x| = \\begin{cases} x \\text{ dla x\\geq 0} \\\\-x \\text{ dla x<0}\\end{cases}

Mówiąc inaczej, wartość bezwzględna liczby nieujemnej to ta sama liczba, natomiast wartość bezwzględna liczby ujemnej, to liczba do niej przeciwna.

Przykład Przykład

|3|=3\\\\ |-3|=3\\\\ |-\\frac{5}{7}|=\\frac{5}{7}\\\\ |0|=0

Własności wartości bezwzględnej

Wartość bezwzględna ma następujące własności:

  1. |a|≥0, |a|=0 ⇔a=0;
  2. |a|=|-a|;
  3. |a·b|=|a|·|b|;
  4. Jeżeli b≠0, to |a/b|=|a|/|b|;
  5. a≤|a|;
  6. |a+b|≤|a|+|b|;
  7. ||a|-|b||≤|a-b|.

Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej

Zapis |a| można zinterpretować, jako odległość liczby a od początku układu współrzędnych.

Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej

Z kolei zapis |a-b| interpretujemy jako odległość na osi liczbowej między punktami a i b.

Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej

Obliczanie wartości bezwzględnej

Aby obliczyć wartość bezwzględną wyrażenia, należy ustalić, czy wyrażenie to jest dodatnie, czy ujemne. Jeżeli jest ujemne, zmieniamy znak na przeciwny.

Przykład Przykład

Obliczmy |4-√3|

Szacujemy, że √3≈1,73, więc gdy odejmiemy tę liczbę od 4, otrzymamy liczbę dodatnią. Możemy więc napisać, że: |4-√3|=4-√3

Obliczmy |√3-4|

Szacujemy, że √3≈1,73, więc gdy odejmiemy od tej liczby 4, otrzymamy liczbę ujemną, a zatem wyrażenie pod wartością bezwzględną jest mniejsze od zera - musimy zmienić znak podczas "opuszczania" wartości bezwzględnej. W tym przypadku musimy napisać, że: |√3-4|=-√3+4

Teoria Przyjrzyjmy się wyrażeniu: \\sqrt{a^2}=a. Jeżeli za a podstawimy na przykład liczbę 5, to otrzymamy zdanie prawdziwe. Kiedy natomiast do wyrażenia wstawimy za a liczbę -5, równości nie jest już prawdziwa. Obowiązuje zatem wyłącznie dla liczb nieujemnych. Z całą pewnością możemy zatem napisać, że:

\\sqrt{a^2}=|a|

Przykład Przykład

Kiedy prawdziwa jest równość |a|=-a?

Na pierwszy rzut oka wydaje się, że nie ma takiej liczby, która spełniałaby powyższe równanie, gdyż wiemy, że wartość bezwzględna liczby jest zawsze dodatnia. Jednak w równaniu mamy do czynienia z wyrazem ogólnym a, który może przybierać różne wartości. Wyraz a nie zawsze oznacza liczbę dodatnią, natomiast -a nie musi oznaczać wartości ujemnej. Prawa strona równania jest dodatnia, kiedy za a podstawimy liczbę ujemną, np. -(-5)=5. Zauważamy, że równanie jest w takim przypadku spełnione, bo np. |-5| = -(-5) = 5.

Zatem równanie jest spełnione dla liczb ujemnych.

Jak pozbyć się wartości bezwzględnej z równania?

Aby pozbyć się wartości bezwzględnej z dowolnego równania korzystamy bezpośrednio z definicji. Mamy do rozpatrzenia dwa przypadki:

  • przypadek pierwszy - gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest nieujemne, wówczas możemy opuścić symbol wartości bezwzględnej podczas przepisywania równania;
  • przypadek drugi - gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest ujemne, wówczas zapisujemy wyrażenie przeciwne do tego, które znajduje się pod wartością bezwzględną.

Przykład Przykład

|-x+1|=\\begin{cases} -x+1 \\text{ dla -x+1\\geq 0} \\\\x-1 \\text{ dla -x+1<0}\\end{cases}

Przykład, którym wartość bezwzględna jest tylko częścią wyrażenia:

|x^2-1|+x-1=\\begin{cases} x^2-1+x-1 = x^2+x-2 \\text{ dla x^2-1\\geq 0} \\\\-x^2+1+x-1 = -x^2+x \\text{ dla x^2-1<0}\\end{cases}

I jeszcze jeden ciekawy przykład:

|x^4+1|=x^4+1

Ponieważ x4+1 jest zawsze dodatnie, możemy pominąć w zapisie wartość bezwzględną.

Pytania

Czy wartość bezwzględna liczby i moduł to jest to samo?

Moduł liczby rzeczywistej i wartość bezwzględna liczby rzeczywistej ma tę samą wartość. Pojęcia "moduł" używa się w szerszym kontekście, bo także dla liczb zespolonych. Jednak i w tym przypadku można używać zamiennie tych terminów. Moduł odnosi się do miary długości odcinka. Staje się to jasne, gdy spojrzymy na interpretację geometryczną wartości bezwzględnej (patrz wyżej).

Jak obliczyć wartość bezwzględną w programie Excel?

Korzystamy z funkcji MODUŁ.LICZBY. Dla przykładu wpiszmy w dowolną komórkę formułę "=MODUŁ.LICZBY(-5)" i naciśnijmy ENTER. Otrzymamy wartość 5.

Jak rozwiązywać równania z wartością bezwzględną?

Zagadnieniu temu poświęciliśmy osobne artykuły:



© medianauka.pl, 2009-03-13, ART-165


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Wartość bezwzględna

zadanie-ikonka Zadanie - wartość bezwzględna, własności pierwiastków - Zadanie: Uprościć wyrażenia
Uprościć wyrażenie W=\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 9, matura 2014
Dla każdej liczby x, spełniającej warunek -3<x<0 , wyrażenie \frac{|x+3|-x+3}{x} jest równe :

A. 2
B. 3
C. -6/x
D. 6/x

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie |x+1|-|x-1|=5.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=|x+1|
Sporządzić wykres funkcji f(x)=|x+1|.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną, y=|x^2-x-2|
Sporządzić wykres funkcji f(x)=|x^2-x-2|

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=1/|x|
Sporządzić wykres funkcji f(x)=\frac{1}{|x|}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=1/|x+2|-3
Sporządzić wykres funkcji f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną
Sporządzić wykres funkcji f(x)=|x^2-x|-2.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 1, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Na rysunku przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność |2x-8|≤10
rysunek , zadanie maturalne 1/2015
Stąd wynika, że
A. k=2
B. k=4
C. k=5
D. k=9

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.