Strona główna » Matematyka » Wykres funkcji kwadratowej • Wartość bezwzględna - wiadomości podstawowe

Zadanie - wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną

Sporządzić wykres funkcji

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

$|x|=\begin{cases} x \ dla \ x\geq 0 \\ -x \ dla \ x< 0 \end{cases}$

Mamy więc dwa przypadki:

Przypadek 1

Dla $x^2-x\geq 0$ możemy opuścić wartość bezwzględną. Zbadajmy, dla jakich wartości x możemy to zrobić. Musimy w tym celu rozwiązać nierówność kwadratową

$x^2-x\geq 0 \\ x(x-1)\geq 0 \\ x_1=0 \\ x_2=1$

Rozwiązanie odczytujemy z wykresu. Ponieważ współczynnik a>0 ramiona paraboli skierowane są do góry, parabola przecina oś OX w punktach 0 i 1. Szukamy wartości funkcji większych lub równych zero.

Wykres naszej funkcji będziemy zatem sporządzać w przedziale:

$x\in (-\infty;0\rangle \cup \langle 1;+\infty)$

Dla wyżej wyznaczonych wartości zmiennej x możemy opuścić wartość bezwzględną i wówczas otrzymujemy funkcję:

$f(x)=|x^2-x|-2\\ f(x)=x^2-x-2$

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych:

$x_w=-\frac{b}{2a} \\ y_w=-\frac{\Delta}{4a}$

Mamy więc:

$x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2} \\ y_w=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{9}{4}=-2\frac{1}{4}$

Wyznaczamy miejsca zerowe. Warto jeszcze wyznaczyć punkt przecięcia się paraboli z osią OY:

$\Delta=b^2-4ac=1+8=9\\ \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-3}{2}=-1\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+3}{2}=2 \\ f(0)=0^2-0-2=-2$

Podsumowując: mamy wyznaczone przedziały, w których będziemy sporządzać wykres (przedziały wyznaczą pionowe linie przerywane), miejsca zerowe, wierzchołek oraz punkt przecięcia się paraboli z osią OY.

Przypadek 2

Dla . rozwiązanie odczytujemy z wykresu:

Rozwiązanie odczytujemy z wykresu:

Zatem dla x należącego do przedziału (0;1) możemy opuścić wartość bezwzględną zmieniając znak wyrażenia pod wartością bezwzględną na przeciwny

$f(x)=-x^2+x-2 \\ \Delta=b^2-4ac=1-8=-7<0 \\ f(0)=-0^2+0-2=-2\\ x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2} \\ y_w=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{-7}{-4}=-1\frac{3}{4}$

Ponieważ wyróżnik naszego trójmianu jest ujemny, funkcja nie posiada miejsc zerowych.

Wykres naszej funkcji będziemy zatem sporządzać w przedziale:

$x\in (0;1)$

Ponieważ nie ma miejsc zerowych, a wykreślamy krzywą, potrzebujemy więc trzeciego punktu. Obliczmy wartość funkcji w punkcie na przykład x=1.

Podsumowując: mamy wyznaczony przedział, w którym będziemy sporządzać wykres (przedział wyznaczą pionowe linie przerywane), wierzchołek oraz punkt przecięcia się paraboli z osią OY. wiemy też, że ramiona paraboli skierowane są w dół. Wykres sporządzamy na uprzednim układzie współrzędnych: