logo

Zadanie - wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną


Sporządzić wykres funkcji f(x)=|x^2-x|-2.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

|x|=\begin{cases} x \ dla \ x\geq 0 \\ -x \ dla \ x< 0 \end{cases}

Mamy więc dwa przypadki:

Przypadek 1

Dla x^2-x\geq 0 możemy opuścić wartość bezwzględną. Zbadajmy, dla jakich wartości x możemy to zrobić. Musimy w tym celu rozwiązać nierówność kwadratową

x^2-x\geq 0 \\ x(x-1)\geq 0 \\ x_1=0 \\ x_2=1

Rozwiązanie odczytujemy z wykresu. Ponieważ współczynnik a>0 ramiona paraboli skierowane są do góry, parabola przecina oś OX w punktach 0 i 1. Szukamy wartości funkcji większych lub równych zero.

Rysunek pomocniczy

Wykres naszej funkcji będziemy zatem sporządzać w przedziale:

x\in (-\infty;0\rangle \cup \langle 1;+\infty)

Dla wyżej wyznaczonych wartości zmiennej x możemy opuścić wartość bezwzględną i wówczas otrzymujemy funkcję:

f(x)=|x^2-x|-2\\ f(x)=x^2-x-2

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych:

x_w=-\frac{b}{2a} \\ y_w=-\frac{\Delta}{4a}

Mamy więc:

x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2} \\ y_w=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{9}{4}=-2\frac{1}{4}

Wyznaczamy miejsca zerowe. Warto jeszcze wyznaczyć punkt przecięcia się paraboli z osią OY:

\Delta=b^2-4ac=1+8=9\\ \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-3}{2}=-1\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+3}{2}=2  \\ f(0)=0^2-0-2=-2

Podsumowując: mamy wyznaczone przedziały, w których będziemy sporządzać wykres (przedziały wyznaczą pionowe linie przerywane), miejsca zerowe, wierzchołek oraz punkt przecięcia się paraboli z osią OY.

Wykres funkcji f(x)=|x^2-x|-2 - etap 1

Przypadek 2

Dla x^2-x<0 . rozwiązanie odczytujemy z wykresu:

x(x-1)<0

Rozwiązanie odczytujemy z wykresu:

Rysunek pomocniczy

Zatem dla x należącego do przedziału (0;1) możemy opuścić wartość bezwzględną zmieniając znak wyrażenia pod wartością bezwzględną na przeciwny

f(x)=-x^2+x-2 \\ \Delta=b^2-4ac=1-8=-7<0 \\ f(0)=-0^2+0-2=-2\\ x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2} \\ y_w=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{-7}{-4}=-1\frac{3}{4}

Ponieważ wyróżnik naszego trójmianu jest ujemny, funkcja nie posiada miejsc zerowych.

Wykres naszej funkcji będziemy zatem sporządzać w przedziale:

x\in (0;1)

Ponieważ nie ma miejsc zerowych, a wykreślamy krzywą, potrzebujemy więc trzeciego punktu. Obliczmy wartość funkcji w punkcie na przykład x=1.

f(1)=-1+1-2=-2

Podsumowując: mamy wyznaczony przedział, w którym będziemy sporządzać wykres (przedział wyznaczą pionowe linie przerywane), wierzchołek oraz punkt przecięcia się paraboli z osią OY. wiemy też, że ramiona paraboli skierowane są w dół. Wykres sporządzamy na uprzednim układzie współrzędnych:

Wykres funkcji f(x)=|x^2-x|-2 - etap 2

Otrzymaliśmy w ten sposób wykres funkcji f(x)=|x^2-x|-2

Wykres funkcji f(x)=|x^2-x|-2

© medianauka.pl, 2010-02-14, ZAD-617

Zadania podobne

kulkaZadanie - wartość bezwzględna, własności pierwiastków - Zadanie: Uprościć wyrażenia
Uprościć wyrażenie W=\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie |x+1|-|x-1|=5.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=|x+1|
Sporządzić wykres funkcji f(x)=|x+1|.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną, y=|x^2-x-2|
Sporządzić wykres funkcji f(x)=|x^2-x-2|

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=1/|x|
Sporządzić wykres funkcji f(x)=\frac{1}{|x|}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=1/|x+2|-3
Sporządzić wykres funkcji f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 1, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Na rysunku przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność |2x-8|≤10
rysunek , zadanie maturalne 1/2015
Stąd wynika, że
A. k=2
B. k=4
C. k=5
D. k=9


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 9, matura 2014
Dla każdej liczby x, spełniającej warunek -3<x<0 , wyrażenie \frac{|x+3|-x+3}{x} jest równe :

A. 2
B. 3
C. -6/x
D. 6/x

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

50 idei, które powinieneś znać - matematyka
Rodzinna matematyka
Czy kości grają rolę Boga? Matematyka niepewności
Mapa świata Puzzle
Kubek matematyka pi
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2021 r.