Nauka » Matematyka » Wykres funkcji kwadratowej

Zadanie - wykres funkcji kwadratowej z parametrem

Dla jakiej wartości parametrów m i n wierzchołkiem paraboli o równaniu

jest punkt A(2,1)?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$y=x^2-mx+n+1 \\ \Delta=b^2-4ac=(-m)^2-4(n+1)=m^2-4n-4$
$x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-m}{2}=\frac{m}{2}=2 \\ y_w=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{m^2-4n-4}{4}=1$

$\frac{m}{2}=2/\cdot 2 \\ m=4$

$-\frac{m^2-4n-4}{4}=1\\ -\frac{4^2-4n-4}{4}=1/\cdot (-4)\\ 16-4n-4=-4\\ -4n=-16/:(-4) \\ n=4$

Dla m=4 i n=4 parabola o równaniu

ma wierzchołek w punkcie (2,1)

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wierzchołek paraboli ma współrzędne:

$W(x_w,y_w) \\ x_w=-\frac{b}{2a} \\ y_w=-\frac{\Delta}{4a}$

Wierzchołek paraboli, o której mowa w zadaniu ma współrzędne A(2,1), zatem:

$x_w=-\frac{b}{2a}=2 \\ y_w=-\frac{\Delta}{4a}=1$

Wypiszmy wszystkie współczynniki naszego trójmianu kwadratowego:

$y=ax^2+bx+c \\ y=x^2-mx+n+1 \\ a=1 \\ b=-m \\ c=n+1 \\ \Delta=b^2-4ac=(-m)^2-4(n+1)=m^2-4n-4$

Podstawiamy do wzoru na współrzędne wierzchołka paraboli wyznaczone współczynniki:

$x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-m}{2}=\frac{m}{2}=2 \\ y_w=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{m^2-4n-4}{4}=1$ tło

Mamy do rozwiązania dwa równania. Pierwsze z nich:

$\frac{m}{2}=2/\cdot 2 \\ m=4$ tło

Wiedząc, że m=4 łatwo jest rozwiązać drugie równanie:

$-\frac{m^2-4n-4}{4}=1\\ -\frac{4^2-4n-4}{4}=1/\cdot (-4)\\ 16-4n-4=-4\\ -4n=-16/:(-4) \\ n=4$ tło

Odpowiedź

Dla m=4 i n=4 parabola o równaniu

ma wierzchołek w punkcie (2,1)

Zadania podobne

Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną, y=|x^2-x-2|
Sporządzić wykres funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną
Sporządzić wykres funkcji

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji kwadratowej
Sporządzić wykres funkcji

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji kwadratowej - oś symetrii
Znaleźć równanie osi symetrii paraboli o równaniu

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji kwadratowej
Sporządzić wykres funkcji
$f(x)=\begin{cases}x^2 \ dla \ x<0\\ -x^2\ dla \ x\geq 0\end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji kwadratowej
Znaleźć równanie paraboli, której fragment przedstawiono na rysunku:
parabola

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 10, matura 2016 (poziom podstawowy)
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9) . Liczby -2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.
ilustracja do zadania nr 10 matura 2016

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział:

A. (-∞,-2>
B. <-2,4>
C. <4,∞)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 11, matura 2016 (poziom podstawowy)
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9) . Liczby -2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.

ilustracja do zadania nr 10 matura 2016

Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale <−1, 2> jest równa

A. 2
B. 5
C. 8
D. 9

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 26, matura 2014
Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=2x²+bx+c jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W=(4,0). Oblicz wartości współczynników b i c.

Pokaż rozwiązanie zadania