Nauka » Matematyka » Wykres funkcji kwadratowej

Zadanie maturalne nr 11, matura 2016 (poziom podstawowy)

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9) . Liczby -2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.

ilustracja do zadania nr 10 matura 2016

Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale <−1, 2> jest równa

A. 2
B. 5
C. 8
D. 9

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W naszym przypadku dane można odczytać bezpośrednio z wykresu.

Widać, że najmniejsza wartość z przedziału od -1 do 2 jest to liczba 5 (pierwsza czerwona kropka na fragmencie paraboli). Zatem prawidłowa odpowiedź to liczba 5.

Odpowiedź

Odpowiedź B

Rozwiązanie analityczne

To jednak mało eleganckie rozwiązanie, bardziej "na oko". Pokażemy, jak rozwiązać to zadanie analitycznie.

Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale, trzeba obliczyć wartości tej funkcji na krańcach przedziału oraz wszystkie ekstrema w tym przedziale. My jednak nie znamy wzoru funkcji. Musimy go najpierw znaleźć. Mamy jednak pewne dane.

Współrzędne wierzchołka paraboli: W = (1,9) oraz miejsca zerowe: -2 i 4. Mamy więc 3 punkty, które wystarczą do znalezienia wzoru paraboli.

Skorzystamy najpierw ze wzoru ogólnego na funkcję kwadratową:

gdzie $x\in{R},\quad{a}\neq{0},\quad{b},\quad{c}$ - liczby dane (rzeczywiste). Musimy więc wyznaczyć a, b i c. To są nasze niewiadome.

Znając miejsca zerowe funkcji możemy skorzystać z postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego:

gdzie x₁ i x₂, to miejsca zerowe funkcji, u nas -2 i 4. Mamy więc:

y=a(x+2)(x-4)
y=a(x²-4x+2x-8)
y=ax²-2ax-8a

Wyraz wolny c=-8a, zaś b=-2a.

Wiemy, że współrzędne wierzchołka są następujące W = (1,9). Wzór na współrzędne wierzchołka:

$W(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})$

Zatem:

$-\frac{\Delta}{4a}=9 \\ -\frac{b^2-4ac}{4a}=9 \\ -\frac{(-2a)^2-4ac}{4a}=9 \\ -\frac{4a^2-4ac}{4a}=9 \\ -\frac{4a(a-c}{4a}=9 \\ -(a-c)=9 \\ a-c=-9 \\a+8a = -9 \\a=-1 \\b=2 \\c=8 \\f(x)=-x^2+2x+8$

Obliczamy wartości funkcji w punktach: -1,2 i 1:

f(-1)=-1-2+8=5
f(2)=-4+4+8=8
f(1)=-1+2+8=9

Liczba 5 jest najmniejszą wartością funkcji w zadanym przedziale.

Zadania podobne

Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną, y=|x^2-x-2|
Sporządzić wykres funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji kwadratowej z parametrem
Dla jakiej wartości parametrów m i n wierzchołkiem paraboli o równaniu

jest punkt A(2,1)?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną
Sporządzić wykres funkcji

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji kwadratowej
Sporządzić wykres funkcji

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji kwadratowej - oś symetrii
Znaleźć równanie osi symetrii paraboli o równaniu

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji kwadratowej
Sporządzić wykres funkcji
$f(x)=\begin{cases}x^2 \ dla \ x<0\\ -x^2\ dla \ x\geq 0\end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji kwadratowej
Znaleźć równanie paraboli, której fragment przedstawiono na rysunku:
parabola

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 10, matura 2016 (poziom podstawowy)
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9) . Liczby -2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.
ilustracja do zadania nr 10 matura 2016

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział:

A. (-∞,-2>
B. <-2,4>
C. <4,∞)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 26, matura 2014
Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=2x²+bx+c jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W=(4,0). Oblicz wartości współczynników b i c.

Pokaż rozwiązanie zadania