Zadanie maturalne nr 11, matura 2016 (poziom podstawowy)
Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale <−1, 2> jest równa
A. 2
B. 5
C. 8
D. 9
Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
W naszym przypadku dane można odczytać bezpośrednio z wykresu.
Widać, że najmniejsza wartość z przedziału od -1 do 2 jest to liczba 5 (pierwsza czerwona kropka na fragmencie paraboli). Zatem prawidłowa odpowiedź to liczba 5.
Odpowiedź
Rozwiązanie analityczne
To jednak mało eleganckie rozwiązanie, bardziej "na oko". Pokażemy, jak rozwiązać to zadanie analitycznie.
Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale, trzeba obliczyć wartości tej funkcji na krańcach przedziału oraz wszystkie ekstrema w tym przedziale. My jednak nie znamy wzoru funkcji. Musimy go najpierw znaleźć. Mamy jednak pewne dane.
Współrzędne wierzchołka paraboli: W = (1,9) oraz miejsca zerowe: -2 i 4. Mamy więc 3 punkty, które wystarczą do znalezienia wzoru paraboli.
Skorzystamy najpierw ze wzoru ogólnego na funkcję kwadratową:

gdzie - liczby dane (rzeczywiste). Musimy więc wyznaczyć a, b i c. To są nasze niewiadome.
Znając miejsca zerowe funkcji możemy skorzystać z postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego:

gdzie x1 i x2, to miejsca zerowe funkcji, u nas -2 i 4. Mamy więc:
y=a(x2-4x+2x-8)
y=ax2-2ax-8a
Wyraz wolny c=-8a, zaś b=-2a.
Wiemy, że współrzędne wierzchołka są następujące W = (1,9). Wzór na współrzędne wierzchołka:

Zatem:

Obliczamy wartości funkcji w punktach: -1,2 i 1:
f(2)=-4+4+8=8
f(1)=-1+2+8=9
Liczba 5 jest najmniejszą wartością funkcji w zadanym przedziale.
© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3231
Zadania podobne

Sporządzić wykres funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Dla jakiej wartości parametrów m i n wierzchołkiem paraboli o równaniu

Pokaż rozwiązanie zadania

Sporządzić wykres funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Sporządzić wykres funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć równanie osi symetrii paraboli o równaniu

Pokaż rozwiązanie zadania

Sporządzić wykres funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć równanie paraboli, której fragment przedstawiono na rysunku:

Pokaż rozwiązanie zadania

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9) . Liczby -2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział:
A. (-∞,-2>
B. <-2,4>
C. <4,∞)
Pokaż rozwiązanie zadania

Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=2x2+bx+c jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W=(4,0). Oblicz wartości współczynników b i c.
Pokaż rozwiązanie zadania

Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=x2−6x−3 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych
- (-6,-3)
- (-6,69)
- (3,-12)
- (6,-3)
Pokaż rozwiązanie zadania

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(2,− 4). Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.
Zadanie 8: Zbiorem wartości funkcji f jest przedział
A. (-∞;0〉
B. 〈0;4〉
C. 〈-4;+∞)
D. 〈4;+∞)
Zadanie 9: Największa wartość funkcji f w przedziale 〈1;4〉 jest równa
A. -3
B. -4
C. 4
D. 0
Zadanie 10: Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu
A. x=-4
B. x=-4
C. y=2
D. x=2
Pokaż rozwiązanie zadania