Zadanie maturalne nr 11, matura 2016 (poziom podstawowy)
Treść zadania:
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).
Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \([−1, 2]\) jest równa
A. \(2\)
B. \(5\)
C. \(8\)
D. \(9\)
Rozwiązanie zadania
W naszym przypadku dane można odczytać bezpośrednio z wykresu.
Widać, że najmniejsza wartość z przedziału od -1 do 2 jest to liczba 5 (pierwsza czerwona kropka na fragmencie paraboli). Zatem prawidłowa odpowiedź to liczba 5.
Odpowiedź
Odpowiedź B
Rozwiązanie analityczne
To jednak mało eleganckie rozwiązanie, bardziej "na oko". Pokażemy, jak rozwiązać to zadanie analitycznie.
Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale, trzeba obliczyć wartości tej funkcji na krańcach przedziału oraz wszystkie ekstrema w tym przedziale. My jednak nie znamy wzoru funkcji. Musimy go najpierw znaleźć. Mamy jednak pewne dane.
Współrzędne wierzchołka paraboli: \(W=(1,9)\) oraz miejsca zerowe: -2 i 4. Mamy więc 3 punkty, które wystarczą do znalezienia wzoru paraboli.
Skorzystamy najpierw ze wzoru ogólnego na funkcję kwadratową:
\(y=ax^2+bx+c\)gdzie \(x\in{\mathbb{R},\ a\neq 0,\ b\, c\) - liczby dane (rzeczywiste). Musimy więc wyznaczyć \(a, b\) i \(c\). To są nasze niewiadome.
Znając miejsca zerowe funkcji, możemy skorzystać z postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego:
\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)Zmienne \(x_1\) i \(x_2\), to miejsca zerowe funkcji, u nas -2 i 4. Mamy więc:
\(y=a(x+2)(x-4)\)
\(y=a(x^2-4x+2x-8)\)
\(y=ax^2-2ax-8a\)
Wyraz wolny \(c=-8a\), zaś \(b=-2a\).
Wiemy, że współrzędne wierzchołka są następujące \(W=(1,9)\). Wzór na współrzędne wierzchołka:
\(W(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})\)Zatem:
\(-\frac{\Delta}{4a}=9\)
\(-\frac{b^2-4ac}{4a}=9\)
\(-\frac{(-2a)^2-4ac}{4a}=9\)
\(-\frac{4a^2-4ac}{4a}=9\)
\(-\frac{4a(a-c}{4a}=9\)
\(-(a-c)=9\)
\(a-c=-9\)
\(a+8a=-9\)
\(a=-1,\ b=2,\ c=8\)
\(f(x)=-x^2+2x+8\)
Obliczamy wartości funkcji w punktach: -1, 2 i 1:
\(f(-1)=-1-2+8=5\)
\(f(2)=-4+4+8=8\)
\(f(1)=-1+2+8=9\)
Liczba 5 jest najmniejszą wartością funkcji w zadanym przedziale.
© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3231/1467
Zadania podobne
Zadanie nr 2.
Dla jakiej wartości parametrów \(m\) i \(n\) wierzchołkiem paraboli o równaniu \(y=x^2-mx+n+1\) jest punkt \(A(2,1)\)?
.Zadanie nr 5.
Znaleźć równanie osi symetrii paraboli o równaniu \(f(x)=-2x^2+x-3\).
Zadanie nr 6.
Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=\begin{cases}x^2 \ dla \ x<0\\ -x^2\ dla \ x\geq 0\end{cases}\)
Zadanie nr 7.
Znaleźć równanie paraboli, której fragment przedstawiono na rysunku:
Zadanie nr 8 — maturalne.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).
Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:
A. \((-\infty,-2]\)
B. \([-2,4]\)
C. \([4,\infty)\)
D. \((-\infty,9]\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=2x^2+bx+c\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \(W=(4,0)\). Oblicz wartości współczynników \(b\) i \(c\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2−6x−3\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych
- \((-6,-3)\)
- \((-6,69)\)
- \((3,-12)\)
- \((6,-3)\)
Zadanie nr 11 — maturalne.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,− 4)\). Liczby \(0\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).
Zadanie 8: Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział
A. \((-\infty ,0\rangle \)
B. \(\langle 0, 4\rangle \)
C. \(\langle -4, +\infty)\)
D. \(\langle 4, +\infty)\)
Zadanie 9: Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 1, 4\rangle \) jest równa
A. \(-3\)
B. \(-4\)
C. \(4\)
D. \(0\)
Zadanie 10: Osią symetrii wykresu funkcji \(f\) jest prosta o równaniu
A. \(x=-4\)
B. \(x=-4\)
C. \(y=2\)
D. \(x=2\)
Zadanie nr 12 — maturalne.
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=a(x−1)(x−3)\). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,1)\).
Współczynnik a we wzorze funkcji \(f\) jest równy
A. \(1\)
B. \(2\)
C. \(-2\)
D. \(-1\)
Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 1, 4\rangle \) jest równa
A. \(-3\)
B. \(0\)
C. \(1\)
D. \(2\)
Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) jest prosta o równaniu
A. \(x=1\)
B. \(x=2\)
C. \(y=1\)
D. \(y=2\)
Zadanie nr 13 — maturalne.
Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=-2(x+1)(x-3)\) jest malejąca w przedziale
A. \([1, +\infty)\)
B. \((−\infty, 1]\)
C. \((−\infty, −8]\)
D. \([−8, +\infty)\)
Zadanie nr 14 — maturalne.
Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej \(f\) jest liczba \((−5)\). Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\), jest równa \(3\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Drugim miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba
A. 11
B. 1
C. (-1)
D. (-13)
