Strona główna » Matematyka » Wykres funkcji kwadratowej

Zadanie maturalne nr 11, matura 2016 (poziom podstawowy)

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9) . Liczby -2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.

ilustracja do zadania nr 10 matura 2016

Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale <−1, 2> jest równa

A. 2
B. 5
C. 8
D. 9

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W naszym przypadku dane można odczytać bezpośrednio z wykresu.

Widać, że najmniejsza wartość z przedziału od -1 do 2 jest to liczba 5 (pierwsza czerwona kropka na fragmencie paraboli). Zatem prawidłowa odpowiedź to liczba 5.

Odpowiedź

Odpowiedź B

Rozwiązanie analityczne

To jednak mało eleganckie rozwiązanie, bardziej "na oko". Pokażemy, jak rozwiązać to zadanie analitycznie.

Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale, trzeba obliczyć wartości tej funkcji na krańcach przedziału oraz wszystkie ekstrema w tym przedziale. My jednak nie znamy wzoru funkcji. Musimy go najpierw znaleźć. Mamy jednak pewne dane.

Współrzędne wierzchołka paraboli: W = (1,9) oraz miejsca zerowe: -2 i 4. Mamy więc 3 punkty, które wystarczą do znalezienia wzoru paraboli.

Skorzystamy najpierw ze wzoru ogólnego na funkcję kwadratową:

gdzie $x\in{R},\quad{a}\neq{0},\quad{b},\quad{c}$ - liczby dane (rzeczywiste). Musimy więc wyznaczyć a, b i c. To są nasze niewiadome.

Znając miejsca zerowe funkcji możemy skorzystać z postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego:

gdzie x₁ i x₂, to miejsca zerowe funkcji, u nas -2 i 4. Mamy więc:

y=a(x+2)(x-4)
y=a(x²-4x+2x-8)
y=ax²-2ax-8a

Wyraz wolny c=-8a, zaś b=-2a.

Wiemy, że współrzędne wierzchołka są następujące W = (1,9). Wzór na współrzędne wierzchołka:

$W(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})$

Zatem:

$-\frac{\Delta}{4a}=9 \\ -\frac{b^2-4ac}{4a}=9 \\ -\frac{(-2a)^2-4ac}{4a}=9 \\ -\frac{4a^2-4ac}{4a}=9 \\ -\frac{4a(a-c}{4a}=9 \\ -(a-c)=9 \\ a-c=-9 \\a+8a = -9 \\a=-1 \\b=2 \\c=8 \\f(x)=-x^2+2x+8$