Parabola — wykres funkcji kwadratowej

wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.

Jak wynika z postaci kanonicznej trójmianu kwadratowego, a także z przesunięcia wykresu funkcji w układzie współrzędnych, wykres funkcji:

\(y=ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}=a(x-x_w)^2+y_w\)

jest parabolą, która powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji \(y=ax^2\) o wektor \(\vec{v}=[x_w,y_w]\), przy czym \(x_w=-\frac{b}{2a},\quad{y_w}=-\frac{\Delta}{4a}\).

W przypadku dodatniego współczynnika \(a\) mamy:

Wykres funkcji kwadratowej

WykresWykres funkcji

Poniższa aplikacja pokazuje zachowanie się wykresu funkcji kwadratowej w zależności od wartości współczynników a, b oraz c.


Funkcja w postaci y = ax+b, czyli y = x

a 1

b 0

c 0

Wyróżnik trójmianu kwadratowego Δ=0

Istnieje jedno miejsce zerowe.

Współrzędne wierzchołka paraboli:

Wykresy funkcji kwadratowej — wszystkie przypadki

Wszystkie możliwości zmienności wykresu trójmianu kwadratowego, w zależności od współczynnika \(a\) oraz wyróżnika trójmianu kwadratowego, zostały pokazane na poniższym schemacie.

Wykres funkcji kwadratowej

Cechy wykresu i funkcji kwadratowej

Jak narysować parabolę?

Parabola jest krzywą, więc do jej wyznaczenia potrzeba minimum trzech punktów. Zwykle są to miejsca zerowe funkcji oraz wierzchołek. W przypadku, gdy funkcja nie posiada miejsc zerowych wystarczy znaleźć punkt przecięcia się wykresu z osią OY i skorzystać z osi symetrii wykresu.

Przykłady

Naszkicować wykres funkcji \(y=x^2+x-6\).

Mamy więc:

\(a=1, b=1, c=-6\)

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

\(\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot{1}\cdot{(-6)=25}\)

\(\sqrt{\Delta}=5\)

Wyróżnik jest dodatni, więc funkcja ma dwa miejsca zerowe.

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-5}{2}=-3\)

\({x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+5}{2}=2}\)

Znajdźmy jeszcze współrzędne wierzchołka.
Możemy obliczyć je, wstawiając wartości liczbowe do wzoru \(W(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})\).

Jednak my sprowadzimy funkcję do postaci kanonicznej. Nie zawsze bowiem pamiętamy wzory!

\(y=x^2+x-6\)

\(y=x^2+2\cdot{\frac{1}{2}}x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-6\)

\({y=(x+\frac{1}{2})^2-6\frac{1}{4}}\)

Zatem współrzędne wierzchołka to \((-\frac{1}{2},-6\frac{1}{4})\).

Wiedząc, że współczynnik \(a>0\) wiemy, że ramiona paraboli są skierowane ku górze, łatwo naszkicujemy wykres tej funkcji.

Wykres funkcji y=3x

Pytania

Jak naszkicować wykres funkcji kwadratowej?

Parabolę wyjątkowo często trzeba szkicować w kursie matematyki. Nie zawsze trzeba wykonywać dokładny wykres, często wystarczy zaznaczenie jedynie kilku istotnych cech paraboli. Poniżej kilka porad:

  • Jeżeli współczynnik \(a\) przy \(x^2\) jest dodatni, to ramiona paraboli są skierowane ku górze, w przeciwnym przypadku — w dół.
  • Jeżeli Δ>0 — obliczamy dwa miejsca zerowe, jeżeli Δ=0 — mamy tylko jedno miejsce zerowe, jeżeli zaś Δ jest ujemne, funkcja nie posiada miejsc zerowych (nie przecina osi OX).
  • Do naszkicowania paraboli są potrzebne minimum 3 punkty: znajdujemy współrzędne wierzchołka i pierwiastki lub dowolne inne punkty (na przykład punkt przecięcia paraboli z osi OY — wstawiając za \(x\) do wzoru funkcji liczbę 0).

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=|x^2-x-2|\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2.

Dla jakiej wartości parametrów \(m\) i \(n\) wierzchołkiem paraboli o równaniu \(y=x^2-mx+n+1\) jest punkt \(A(2,1)\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3.

Sporządzić wykres funkcji f(x)=|x^2-x|-2.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4.

Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=|x^2|-x-2]\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5.

Znaleźć równanie osi symetrii paraboli o równaniu \(f(x)=-2x^2+x-3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6.

Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=\begin{cases}x^2 \ dla \ x<0\\ -x^2\ dla \ x\geq 0\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7.

Znaleźć równanie paraboli, której fragment przedstawiono na rysunku:

parabola

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).

ilustracja do zadania nr 10 matura 2016

Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:

A. \((-\infty,-2]\)

B. \([-2,4]\)

C. \([4,\infty)\)

D. \((-\infty,9]\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).

ilustracja do zadania nr 10 matura 2016

Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \([−1, 2]\) jest równa

A. \(2\)

B. \(5\)

C. \(8\)

D. \(9\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=2x^2+bx+c\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \(W=(4,0)\). Oblicz wartości współczynników \(b\) i \(c\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2−6x−3\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

  1. \((-6,-3)\)
  2. \((-6,69)\)
  3. \((3,-12)\)
  4. \((6,-3)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,− 4)\). Liczby \(0\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).

wykres

Zadanie 8: Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział

A. \((-\infty ,0\rangle \)

B. \(\langle 0, 4\rangle \)

C. \(\langle -4, +\infty)\)

D. \(\langle 4, +\infty)\)

Zadanie 9: Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 1, 4\rangle \) jest równa

A. \(-3\)

B. \(-4\)

C. \(4\)

D. \(0\)

Zadanie 10: Osią symetrii wykresu funkcji \(f\) jest prosta o równaniu

A. \(x=-4\)

B. \(x=-4\)

C. \(y=2\)

D. \(x=2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=a(x−1)(x−3)\). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,1)\).

Rysunek

Współczynnik a we wzorze funkcji \(f\) jest równy

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(-2\)

D. \(-1\)

Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 1, 4\rangle \) jest równa

A. \(-3\)

B. \(0\)

C. \(1\)

D. \(2\)

Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) jest prosta o równaniu

A. \(x=1\)

B. \(x=2\)

C. \(y=1\)

D. \(y=2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=-2(x+1)(x-3)\) jest malejąca w przedziale

A. \([1, +\infty)\)

B. \((−\infty, 1]\)

C. \((−\infty, −8]\)

D. \([−8, +\infty)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15 — maturalne.

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej \(f\) jest liczba \((−5)\). Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\), jest równa \(3\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Drugim miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba

A. 11

B. 1

C. (-1)

D. (-13)

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2009-07-20, A-270
Data aktualizacji artykułu: 2023-04-22



©® Media Nauka 2008-2023 r.