Logo Serwisu Media Nauka

Wykres funkcji kwadratowej

Teoria Podobnie jak w przypadku jednomianu kwadratowego, wykres funkcji kwadratowej jest parabolą.

Jak wynika z postaci kanonicznej trójmianu kwadratowego, a także z przesunięcia wykresu funkcji w układzie współrzędnych wykres funkcji:

y=ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}=a(x-x_w)^2+y_w

jest parabolą, która powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji y=ax^2 o wektor \vec{v}=[x_w,y_w], przy czym x_w=-\frac{b}{2a},\quad{y_w}=-\frac{\Delta}{4a}

W przypadku dodatniego współczynnika a mamy:

Wykres funkcji kwadratowej

WykresWykres funkcji

Poniższa aplikacja pokazuje zachowanie się wykresu funkcji kwadratowej w zależności od wartości współczynników a,b oraz c

Pobierz odtwarzacz Adobe Flash Player

Teoria Wszystkie możliwości zmienności wykresu trójmianu kwadratowego w zależności od współczynnika a oraz wyróżnika trójmianu kwadratowego zostały pokazane na poniższym schemacie.

Wykres funkcji kwadratowej

Teoria Podsumowując cechy wykresu i funkcji kwadratowej:

  • Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola;
  • Ramiona paraboli skierowane są w górę, jeżeli a>0, w dół w przypadku gdy a<0;
  • Współrzędne wierzchołka paraboli: W(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a});
  • Wykres funkcji kwadratowej nie ma miejsc zerowych jeżeli \Delta>0;
  • Wykres funkcji kwadratowej ma jedno miejsce zerowe równe x_0=-\frac{b}{2a} jeżeli \Delta=0;
  • Wykres funkcji kwadratowej ma dwa miejsca zerowe równe x_1=\frac{-b-sqrt{\Delta}}{2a},\quad{x_2}=\frac{-b+sqrt{\Delta}}{2a} jeżeli \Delta>0;
  • Parabola ma jedną oś symetrii o równaniu x=-\frac{b}{2a};
  • Funkcja przyjmuje minimum dla a>0 w punkcie x=-\frac{b}{2a} równe y=-\frac{\Delta}{4a};
  • Funkcja przyjmuje maksimum dla a<0 w punkcie x=-\frac{b}{2a} równe y=-\frac{\Delta}{4a};
  • Gdy a>0 funkcja maleje w przedziale x=(-\infty;-\frac{b}{2a}) i rośnie w przedziale y=(-\frac{b}{2a};+\infty);
  • Gdy a<0 funkcja rośnie w przedziale x=(-\infty;-\frac{b}{2a}) i maleje w przedziale y=(-\frac{b}{2a};+\infty).

Teoria Parabola jest krzywą, więc do jej wyznaczenia potrzeba minimum 3 punktów. Zwykle są to miejsca zerowe funkcji oraz wierzchołek. W przypadku, gdy funkcja nie posiada miejsc zerowych wystarczy znaleźć punkt przecięcia się wykresu z osią OY i skorzystać z osi symetrii wykresu.

Przykład Przykład

Sporządzimy dla przykładu wykres funkcji y=x^2+x-6.

Mamy więc:
a=1\\b=1\\c=-6

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:
\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot{1}\cdot{(-6)=25}\\{\sqrt{\Delta}=5}

Wyróżnik jest dodatni, więc funkcja ma dwa miejsca zerowe.
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-5}{2}=-3\\{x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+5}{2}=2}

Znajdźmy jeszcze współrzędne wierzchołka.
Możemy obliczyć je wstawiając wartości liczbowe do wzoru W(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})
Jednak my sprowadzimy funkcję do postaci kanonicznej (nie zawsze bowiem pamiętamy wzory!)
y=x^2+x-6
y=x^2+2\cdot{\frac{1}{2}}x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-6\\{y=(x+\frac{1}{2})^2-6\frac{1}{4}}
Zatem współrzędne wierzchołka to (-\frac{1}{2},-6\frac{1}{4}).

Wiedząc, że współczynnik a>0 wiemy, że ramiona paraboli są skierowane ku górze, łatwo naszkicujemy wykres tej funkcji.

Wykres funkcji y=3x


© medianauka.pl, 2009-07-20, ART-270





Inne zagadnienia z tej lekcji


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną, y=|x^2-x-2|
Sporządzić wykres funkcji f(x)=|x^2-x-2|

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 11, matura 2016 (poziom podstawowy)
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9) . Liczby -2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.

ilustracja do zadania nr 10 matura 2016

Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale <−1, 2> jest równa

A. 2
B. 5
C. 8
D. 9

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 10, matura 2016 (poziom podstawowy)
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9) . Liczby -2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.
ilustracja do zadania nr 10 matura 2016
Zbiorem wartości funkcji f jest przedział:

A. (-∞,-2>
B. <-2,4>
C. <4,∞)

zadanie-ikonka Zadanie - wykres funkcji kwadratowej
Znaleźć równanie paraboli, której fragment przedstawiono na rysunku:
parabola

zadanie-ikonka Zadanie - wykres funkcji kwadratowej
Sporządzić wykres funkcji
f(x)=\begin{cases}x^2 \ dla \ x<0\\ -x^2\ dla \ x\geq 0\end{cases}

zadanie-ikonka Zadanie - wykres funkcji kwadratowej - oś symetrii
Znaleźć równanie osi symetrii paraboli o równaniu f(x)=-2x^2+x-3.

zadanie-ikonka Zadanie - wykres funkcji kwadratowej
Sporządzić wykres funkcji f(x)=|x^2|-x-2.

zadanie-ikonka Zadanie - wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną
Sporządzić wykres funkcji f(x)=|x^2-x|-2.

zadanie-ikonka Zadanie - wykres funkcji kwadratowej z parametrem
Dla jakiej wartości parametrów m i n wierzchołkiem paraboli o równaniu y=x^2-mx+n+1 jest punkt A(2,1)?

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 26, matura 2014
Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=2x2+bx+c jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W=(4,0). Oblicz wartości współczynników b i c.




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.