Wykres funkcji kwadratowej

Podobnie jak w przypadku jednomianu kwadratowego, wykres funkcji kwadratowej jest parabolą.

Jak wynika z postaci kanonicznej trójmianu kwadratowego, a także z przesunięcia wykresu funkcji w układzie współrzędnych wykres funkcji:

$y=ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}=a(x-x_w)^2+y_w$

jest parabolą, która powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji o wektor $\vec{v}=[x_w,y_w]$ , przy czym $x_w=-\frac{b}{2a},\quad{y_w}=-\frac{\Delta}{4a}$

W przypadku dodatniego współczynnika a mamy:

Wykres Wykres funkcji

Poniższa aplikacja pokazuje zachowanie się wykresu funkcji kwadratowej w zależności od wartości współczynników a,b oraz c

Wszystkie możliwości zmienności wykresu trójmianu kwadratowego w zależności od współczynnika a oraz wyróżnika trójmianu kwadratowego zostały pokazane na poniższym schemacie.

Wykres funkcji kwadratowej

Podsumowując cechy wykresu i funkcji kwadratowej:

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola;
Ramiona paraboli skierowane są w górę, jeżeli a>0, w dół w przypadku gdy a<0;
Współrzędne wierzchołka paraboli: $W(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})$ ;
Wykres funkcji kwadratowej nie ma miejsc zerowych jeżeli $\Delta>0$ ;
Wykres funkcji kwadratowej ma jedno miejsce zerowe równe $x_0=-\frac{b}{2a}$ jeżeli $\Delta=0$ ;
Wykres funkcji kwadratowej ma dwa miejsca zerowe równe $x_1=\frac{-b-sqrt{\Delta}}{2a},\quad{x_2}=\frac{-b+sqrt{\Delta}}{2a}$ jeżeli $\Delta>0$ ;
Parabola ma jedną oś symetrii o równaniu $x=-\frac{b}{2a}$ ;
Funkcja przyjmuje minimum dla a>0 w punkcie $x=-\frac{b}{2a}$ równe $y=-\frac{\Delta}{4a}$ ;
Funkcja przyjmuje maksimum dla a<0 w punkcie $x=-\frac{b}{2a}$ równe $y=-\frac{\Delta}{4a}$ ;
Gdy a>0 funkcja maleje w przedziale $x=(-\infty;-\frac{b}{2a})$ i rośnie w przedziale $y=(-\frac{b}{2a};+\infty)$ ;
Gdy a<0 funkcja rośnie w przedziale $x=(-\infty;-\frac{b}{2a})$ i maleje w przedziale $y=(-\frac{b}{2a};+\infty)$ .

Parabola jest krzywą, więc do jej wyznaczenia potrzeba minimum 3 punktów. Zwykle są to miejsca zerowe funkcji oraz wierzchołek. W przypadku, gdy funkcja nie posiada miejsc zerowych wystarczy znaleźć punkt przecięcia się wykresu z osią OY i skorzystać z osi symetrii wykresu.

Przykład

Sporządzimy dla przykładu wykres funkcji .

Mamy więc:
$a=1\\b=1\\c=-6$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:
$\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot{1}\cdot{(-6)=25}\\{\sqrt{\Delta}=5}$

Wyróżnik jest dodatni, więc funkcja ma dwa miejsca zerowe.
$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-5}{2}=-3\\{x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+5}{2}=2}$

Znajdźmy jeszcze współrzędne wierzchołka.
Możemy obliczyć je wstawiając wartości liczbowe do wzoru $W(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})$
Jednak my sprowadzimy funkcję do postaci kanonicznej (nie zawsze bowiem pamiętamy wzory!)

$y=x^2+2\cdot{\frac{1}{2}}x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-6\\{y=(x+\frac{1}{2})^2-6\frac{1}{4}}$
Zatem współrzędne wierzchołka to $(-\frac{1}{2},-6\frac{1}{4})$ .