Wykres funkcji kwadratowej

Podobnie jak w przypadku jednomianu kwadratowego, wykres funkcji kwadratowej jest parabolą.

Jak wynika z postaci kanonicznej trójmianu kwadratowego, a także z przesunięcia wykresu funkcji w układzie współrzędnych wykres funkcji:

$y=ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}=a(x-x_w)^2+y_w$

jest parabolą, która powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji o wektor $\vec{v}=[x_w,y_w]$ , przy czym $x_w=-\frac{b}{2a},\quad{y_w}=-\frac{\Delta}{4a}$

W przypadku dodatniego współczynnika a mamy:

Wykres Wykres funkcji

Poniższa aplikacja pokazuje zachowanie się wykresu funkcji kwadratowej w zależności od wartości współczynników a,b oraz c

Funkcja w postaci y = ax+b, czyli y = x

a 1

b 0

c 0

Wyróżnik trójmianu kwadratowego Δ=0

Istnieje jedno miejsce zerowe.

Współrzędne wierzchołka paraboli:

Wszystkie możliwości zmienności wykresu trójmianu kwadratowego w zależności od współczynnika a oraz wyróżnika trójmianu kwadratowego zostały pokazane na poniższym schemacie.

Wykres funkcji kwadratowej

Podsumowując cechy wykresu i funkcji kwadratowej:

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola;
Ramiona paraboli skierowane są w górę, jeżeli a>0, w dół w przypadku gdy a<0;
Współrzędne wierzchołka paraboli: $W(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})$ ;
Wykres funkcji kwadratowej nie ma miejsc zerowych jeżeli $\Delta>0$ ;
Wykres funkcji kwadratowej ma jedno miejsce zerowe równe $x_0=-\frac{b}{2a}$ jeżeli $\Delta=0$ ;
Wykres funkcji kwadratowej ma dwa miejsca zerowe równe $x_1=\frac{-b-sqrt{\Delta}}{2a},\quad{x_2}=\frac{-b+sqrt{\Delta}}{2a}$ jeżeli $\Delta>0$ ;
Parabola ma jedną oś symetrii o równaniu $x=-\frac{b}{2a}$ ;
Funkcja przyjmuje minimum dla a>0 w punkcie $x=-\frac{b}{2a}$ równe $y=-\frac{\Delta}{4a}$ ;
Funkcja przyjmuje maksimum dla a<0 w punkcie $x=-\frac{b}{2a}$ równe $y=-\frac{\Delta}{4a}$ ;
Gdy a>0 funkcja maleje w przedziale $x=(-\infty;-\frac{b}{2a})$ i rośnie w przedziale $y=(-\frac{b}{2a};+\infty)$ ;
Gdy a<0 funkcja rośnie w przedziale $x=(-\infty;-\frac{b}{2a})$ i maleje w przedziale $y=(-\frac{b}{2a};+\infty)$ .

Parabola jest krzywą, więc do jej wyznaczenia potrzeba minimum 3 punktów. Zwykle są to miejsca zerowe funkcji oraz wierzchołek. W przypadku, gdy funkcja nie posiada miejsc zerowych wystarczy znaleźć punkt przecięcia się wykresu z osią OY i skorzystać z osi symetrii wykresu.

Przykład

Sporządzimy dla przykładu wykres funkcji .

Mamy więc:
$a=1\\b=1\\c=-6$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:
$\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot{1}\cdot{(-6)=25}\\{\sqrt{\Delta}=5}$

Wyróżnik jest dodatni, więc funkcja ma dwa miejsca zerowe.
$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-5}{2}=-3\\{x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+5}{2}=2}$

Znajdźmy jeszcze współrzędne wierzchołka.
Możemy obliczyć je wstawiając wartości liczbowe do wzoru $W(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})$
Jednak my sprowadzimy funkcję do postaci kanonicznej (nie zawsze bowiem pamiętamy wzory!)

$y=x^2+2\cdot{\frac{1}{2}}x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-6\\{y=(x+\frac{1}{2})^2-6\frac{1}{4}}$
Zatem współrzędne wierzchołka to $(-\frac{1}{2},-6\frac{1}{4})$ .

Wiedząc, że współczynnik a>0 wiemy, że ramiona paraboli są skierowane ku górze, łatwo naszkicujemy wykres tej funkcji.

Wykres funkcji y=3x

Pytania

Jak naszkicować wykres funkcji kwadratowej?

Parabolę wyjątkowo często trzeba szkicować w kursie matematyki. Nie zawsze trzeba wykonywać dokładny wykres, często wystarczy zaznaczenie jedynie kilku istotnych cech paraboli. Poniżej kilka porad:

Jeżeli współczynnik a przy x² jest dodatni, to ramiona paraboli są skierowane ku górze, w przeciwnym przypadku - w dół;
Jeżeli Δ>0 - obliczamy dwa miejsca zerowe, jeżeli Δ=0 - mamy tylko jedno miejsce zerowe, jeżeli zaś Δ jest ujemne, funkcja nie posiada miejsc zerowych (nie przecina osi OX);
Do naszkicowania paraboli są potrzebne minimum 3 punkty: znajdujemy współrzędne wierzchołka i pierwiastki lub dowolne inne punkty (na przykład punkt przecięcia paraboli z osi OY - wstawiając za x do wzoru funkcji liczbę 0).

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Wykres funkcji kwadratowej

Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną, y=|x^2-x-2|
Sporządzić wykres funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji kwadratowej z parametrem
Dla jakiej wartości parametrów m i n wierzchołkiem paraboli o równaniu jest punkt A(2,1)?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną
Sporządzić wykres funkcji .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji kwadratowej
Sporządzić wykres funkcji .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji kwadratowej - oś symetrii
Znaleźć równanie osi symetrii paraboli o równaniu .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji kwadratowej
Sporządzić wykres funkcji
$f(x)=\begin{cases}x^2 \ dla \ x<0\\ -x^2\ dla \ x\geq 0\end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji kwadratowej
Znaleźć równanie paraboli, której fragment przedstawiono na rysunku:
parabola

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 10, matura 2016 (poziom podstawowy)
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9) . Liczby -2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.
ilustracja do zadania nr 10 matura 2016
Zbiorem wartości funkcji f jest przedział:

A. (-∞,-2>
B. <-2,4>
C. <4,∞)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 11, matura 2016 (poziom podstawowy)
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9) . Liczby -2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.

ilustracja do zadania nr 10 matura 2016

Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale <−1, 2> jest równa

A. 2
B. 5
C. 8
D. 9

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 26, matura 2014
Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=2x²+bx+c jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W=(4,0). Oblicz wartości współczynników b i c.

Pokaż rozwiązanie zadania