Wykres funkcji kwadratowej
Podobnie jak w przypadku jednomianu kwadratowego, wykres funkcji kwadratowej jest parabolą.
Jak wynika z postaci kanonicznej trójmianu kwadratowego, a także z przesunięcia wykresu funkcji w układzie współrzędnych wykres funkcji:

jest parabolą, która powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji o wektor
, przy czym
W przypadku dodatniego współczynnika a mamy:

Wykres funkcji
Poniższa aplikacja pokazuje zachowanie się wykresu funkcji kwadratowej w zależności od wartości współczynników a,b oraz c
Funkcja w postaci y = ax+b, czyli y = x
a 1b 0
c 0
Wyróżnik trójmianu kwadratowego Δ=0
Istnieje jedno miejsce zerowe.
Współrzędne wierzchołka paraboli:
Wszystkie możliwości zmienności wykresu trójmianu kwadratowego w zależności od współczynnika a oraz wyróżnika trójmianu kwadratowego zostały pokazane na poniższym schemacie.
Podsumowując cechy wykresu i funkcji kwadratowej:
- Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola;
- Ramiona paraboli skierowane są w górę, jeżeli a>0, w dół w przypadku gdy a<0;
- Współrzędne wierzchołka paraboli:
;
- Wykres funkcji kwadratowej nie ma miejsc zerowych jeżeli
;
- Wykres funkcji kwadratowej ma jedno miejsce zerowe równe
jeżeli
;
- Wykres funkcji kwadratowej ma dwa miejsca zerowe równe
jeżeli
;
- Parabola ma jedną oś symetrii o równaniu
;
- Funkcja przyjmuje minimum dla a>0 w punkcie
równe
;
- Funkcja przyjmuje maksimum dla a<0 w punkcie
równe
;
- Gdy a>0 funkcja maleje w przedziale
i rośnie w przedziale
;
- Gdy a<0 funkcja rośnie w przedziale
i maleje w przedziale
.
Parabola jest krzywą, więc do jej wyznaczenia potrzeba minimum 3 punktów. Zwykle są to miejsca zerowe funkcji oraz wierzchołek. W przypadku, gdy funkcja nie posiada miejsc zerowych wystarczy znaleźć punkt przecięcia się wykresu z osią OY i skorzystać z osi symetrii wykresu.
Przykład
Sporządzimy dla przykładu wykres funkcji .
Mamy więc:
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:
Wyróżnik jest dodatni, więc funkcja ma dwa miejsca zerowe.
Znajdźmy jeszcze współrzędne wierzchołka.
Możemy obliczyć je wstawiając wartości liczbowe do wzoru
Jednak my sprowadzimy funkcję do postaci kanonicznej (nie zawsze bowiem pamiętamy wzory!)
Zatem współrzędne wierzchołka to .
Wiedząc, że współczynnik a>0 wiemy, że ramiona paraboli są skierowane ku górze, łatwo naszkicujemy wykres tej funkcji.
Pytania
Jak naszkicować wykres funkcji kwadratowej?
Parabolę wyjątkowo często trzeba szkicować w kursie matematyki. Nie zawsze trzeba wykonywać dokładny wykres, często wystarczy zaznaczenie jedynie kilku istotnych cech paraboli. Poniżej kilka porad:
- Jeżeli współczynnik a przy x2 jest dodatni, to ramiona paraboli są skierowane ku górze, w przeciwnym przypadku - w dół;
- Jeżeli Δ>0 - obliczamy dwa miejsca zerowe, jeżeli Δ=0 - mamy tylko jedno miejsce zerowe, jeżeli zaś Δ jest ujemne, funkcja nie posiada miejsc zerowych (nie przecina osi OX);
- Do naszkicowania paraboli są potrzebne minimum 3 punkty: znajdujemy współrzędne wierzchołka i pierwiastki lub dowolne inne punkty (na przykład punkt przecięcia paraboli z osi OY - wstawiając za x do wzoru funkcji liczbę 0).
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Wykres funkcji kwadratowej
Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną, y=|x^2-x-2|
Sporządzić wykres funkcji
Zadanie - wykres funkcji kwadratowej z parametrem
Dla jakiej wartości parametrów m i n wierzchołkiem paraboli o równaniu jest punkt A(2,1)?
Zadanie - wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną
Sporządzić wykres funkcji .
Zadanie - wykres funkcji kwadratowej
Sporządzić wykres funkcji .
Zadanie - wykres funkcji kwadratowej - oś symetrii
Znaleźć równanie osi symetrii paraboli o równaniu .
Zadanie - wykres funkcji kwadratowej
Sporządzić wykres funkcji
Zadanie - wykres funkcji kwadratowej
Znaleźć równanie paraboli, której fragment przedstawiono na rysunku:
Zadanie maturalne nr 10, matura 2016 (poziom podstawowy)
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9) . Liczby -2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.
Zbiorem wartości funkcji f jest przedział:
A. (-∞,-2>
B. <-2,4>
C. <4,∞)
Zadanie maturalne nr 11, matura 2016 (poziom podstawowy)
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9) . Liczby -2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.
Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale <−1, 2> jest równa
A. 2
B. 5
C. 8
D. 9
Zadanie maturalne nr 26, matura 2014
Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=2x2+bx+c jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W=(4,0). Oblicz wartości współczynników b i c.
Zadanie maturalne nr 9, matura 2018
Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=x2−6x−3 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych
- (-6,-3)
- (-6,69)
- (3,-12)
- (6,-3)
Zadanie maturalne nr 8-10, matura 2019
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(2,− 4). Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.
Zadanie 8: Zbiorem wartości funkcji f jest przedział
A. (-∞;0〉
B. 〈0;4〉
C. 〈-4;+∞)
D. 〈4;+∞)
Zadanie 9: Największa wartość funkcji f w przedziale 〈1;4〉 jest równa
A. -3
B. -4
C. 4
D. 0
Zadanie 10: Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu
A. x=-4
B. x=-4
C. y=2
D. x=2
Inne zagadnienia z tej lekcji
Funkcja kwadratowa

Funkcję w postaci y=ax^2+bx+c nazywamy funkcją kwadratową, trójmianem kwadratowym lub funkcją drugiego stopnia.
Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego

Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego y=ax^2+bx+c jest następująca: y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}.
Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego

Trójmian kwadratowy y=ax^2+bx+c można rozłożyć na czynniki liniowe. Jest to możliwe w przypadku, gdy Delta>=0.
© medianauka.pl, 2009-07-20, ART-270
Data aktualizacji artykułu: 2020-04-05