Przesunięcie wykresu funkcji

Jeżeli punkt A o współrzędnych (x,y) przesuniemy w układzie współrzędnych o wektor $\vec{v}=[p,q]$ , to otrzymamy punkt A' o współrzędnych (x+p,x+q).
przesunięcie punktu o wektor w układzie współrzędnych
Ponieważ wykres funkcji (oznaczmy go literą W) jest figurą geometryczną, więc przesunięcie całego wykresu polega na przesunięciu wszystkich punktów wykresu o ten sam wektor przesunięcia.

Wiemy, że każdy punkt wykresu W spełnia zależność y=f(x). Jaki będzie zatem wzór funkcji wykresu W' powstałego z przesunięcia wykresu W o wektor $\vec{v}=[p,q]$ ? Jeżeli współrzędne punktów należących do wykresu W' mają postać (x,y), to współrzędne punktów wykresu W są postaci (x-p,y-q). Podstawiamy więc współrzędne do wzoru funkcji i otrzymujemy:

Otrzymaliśmy w ten sposób wykres funkcji y=f(x) przesunięty w układzie współrzędnych o wektor $\vec{v}=[p,q]$

Przykład

Naszkicujmy wykres funkcji , korzystając z informacji zawartych wyżej.
Aby to uczynić musimy przekształcić nieco wzór funkcji (doprowadzić do właściwej postaci):
$y=(x^2-2x+1)+2 \\y=(x-1)^2+2$
Zatem musimy przesunąć wykres funkcji o wektor $\vec{v}=[1,2]$

przesunięcie wykresu w układzie współrzędnych

Przesuwanie wykresów funkcji w układzie współrzędnych ma duże znaczenie praktyczne. Możemy szybko naszkicować wiele wykresów funkcji znając jedynie wykresy funkcji elementarnych i powyższą zasadę znajdowania wektora przesunięcia. Poniżej jeszcze kilka przykładów stosowania tej zasady.

Przykład

1) Aby naszkicować wykres funkcji $y=\frac{1}{x+12}+7$ wystarczy wykres funkcji $y=\frac{1}{x}$ przesunąć o wektor $\vec{v}=[-12,7]$ ;

2) Aby naszkicować wykres funkcji $y=-1+\log{(x-8)}$ wystarczy wykres funkcji $y=\log{x}$ przesunąć o wektor $\vec{v}=[8,-1]$ ;

3) Aby naszkicować wykres funkcji $y=\cos{(x+\frac{\pi}{6})}$ wystarczy wykres funkcji $y=\cos{x}$ przesunąć o wektor $\vec{v}=[\frac{\pi}{6},0]$ ;

4) Aby naszkicować wykres funkcji $y=\sqrt{x+5}-5$ wystarczy wykres funkcji $y=\sqrt{x}$ przesunąć o wektor $\vec{v}=[-5,-5]$ ;

Warto poćwiczyć przesuwanie wykresu funkcji na niżej opublikowanych zadaniach.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Sporządzić wykres funkcji $y=(\frac{1}{2})^{x-5}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Sporządzić wykres funkcji $y=(\sqrt{3})^{2x+6}+1$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Naszkicować wykres funkcji $y=\log_{\frac{1}{3}}{(x-3)}+1$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Naszkicować wykres funkcji $y=\log_{2}{4x}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Naszkicować wykres funkcji $y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Sporządzić wykres funkcji $f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Sporządzić wykres funkcji $y=\frac{x-3}{x-4}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Sporządzić wykres funkcji:
$y=\frac{-4x+7}{2x-2}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem y=1/x dla każdej liczby rzeczywistej x≠0.
rysunek do zadania 29, matura 2014

a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji f są większe od 0.
b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem g(x)=f(x-3).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Pomocniczy układ współrzędnych

W celu ułatwienia sobie sporządzania wykresu można wprowadzać pomocniczy układ współrzędnych, poprzez umieszczenie jego środka w punkcie O1(p,q).

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.