Przesunięcie wykresu funkcji

Jeżeli punkt \(A\) o współrzędnych \((x,y)\) przesuniemy w układzie współrzędnych o wektor \(\vec{v}=[p,q]\), to otrzymamy punkt \(A'\) o współrzędnych \((x+p,x+q)\).
przesunięcie punktu o wektor w układzie współrzędnych
Ponieważ wykres funkcji (oznaczmy go literą \(W\)) jest figurą geometryczną, więc przesunięcie całego wykresu polega na przesunięciu wszystkich punktów wykresu o ten sam wektor przesunięcia.

Wiemy, że każdy punkt wykresu \(W\) spełnia zależność \(y=f(x)\). Jaki będzie zatem wzór funkcji wykresu \(W'\) powstałego z przesunięcia wykresu \(W\) o wektor \(\vec{v}=[p,q]\)?

Przesunięcie wykresu funkcji o wektor

Jeżeli współrzędne punktów należących do wykresu \(W'\) mają postać \((x,y)\), to współrzędne punktów wykresu W są postaci \((x-p, y-q)\). Podstawiamy więc współrzędne do wzoru funkcji i otrzymujemy: \(y-q=f(x-p)\).

\(y=f(x-p)+q\)

Otrzymaliśmy w ten sposób wykres funkcji \(y=f(x)\) przesunięty w układzie współrzędnych o wektor \(\vec{v}=[p,q]\).

Przykład

Naszkicujmy wykres funkcji \(y=x^2-2x+3\), korzystając z informacji zawartych wyżej.

Aby to uczynić, musimy przekształcić nieco wzór funkcji (doprowadzić do właściwej postaci):

\(y=(x^2-2x+1)+2\)

\(y=(x-1)^2+2\)

Zatem musimy przesunąć wykres funkcji \(y=x^2\) o wektor \(\vec{v}=[1,2]\).

przesunięcie wykresu w układzie współrzędnych

Przesuwanie wykresów funkcji w układzie współrzędnych ma duże znaczenie praktyczne. Możemy szybko naszkicować wiele wykresów funkcji, znając jedynie wykresy funkcji elementarnych i powyższą zasadę znajdowania wektora przesunięcia. Poniżej jeszcze kilka przykładów stosowania tej zasady.

Przykłady

Aby naszkicować wykres funkcji \(y=\frac{1}{x+12}+7\), wystarczy wykres funkcji \(y=\frac{1}{x}\) przesunąć o wektor \(\vec{v}=[-12,7]\).
Aby naszkicować wykres funkcji \(y=-1+\log{(x-8)}\), wystarczy wykres funkcji \(y=\log{x}\) przesunąć o wektor \(\vec{v}=[8,-1]\).
Aby naszkicować wykres funkcji \(y=\cos{(x+\frac{\pi}{6})}\), wystarczy wykres funkcji \(y=\cos{x}\) przesunąć o wektor \(\vec{v}=[\frac{\pi}{6},0]\).
Aby naszkicować wykres funkcji \(y=\sqrt{x+5}-5\), wystarczy wykres funkcji \(y=\sqrt{x}\) przesunąć o wektor \(\vec{v}=[-5,-5]\).

Warto poćwiczyć przesuwanie wykresu funkcji na niżej opublikowanych zadaniach.

Przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż osi OX

\(y=f(x-p)\)

Otrzymaliśmy w ten sposób wykres funkcji \(y=f(x)\) przesunięty w układzie współrzędnych o wektor \(\vec{v}=[p,0]\).

Przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż osi OY

\(y=f(x)+q\)

Otrzymaliśmy w ten sposób wykres funkcji \(y=f(x)\) przesunięty w układzie współrzędnych o wektor \(\vec{v}=[0,q]\).

Przesunięcie wykresu funkcji kwadratowej

Wykres funkcji: \(y=ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}=a(x-x_w)^2+y_w\) jest parabolą, która powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji \(y=ax^2\) o wektor \(\vec{v}=[x_w,y_w]\), przy czym \(x_w=-\frac{b}{2a},\quad{y_w}=-\frac{\Delta}{4a}\)

W przypadku dodatniego współczynnika \(a\) mamy:

Wykres funkcji kwadratowej

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Sporządzić wykres funkcji \(y=(\frac{1}{2})^{x-5}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Sporządzić wykres funkcji \(y=(\sqrt{3})^{2x+6}+1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Naszkicować wykres funkcji \(y=\log_{\frac{1}{3}}{(x-3)}+1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Naszkicować wykres funkcji \(y=\log_{2}{4x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Naszkicować wykres funkcji \(y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Sporządzić wykres funkcji \(y=\frac{x-3}{x-4}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Sporządzić wykres funkcji \(y=\frac{-4x+7}{2x-2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\), który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem \(y=\frac{1}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 0\).

rysunek do zadania 29, matura 2014