Nauka » Matematyka » Wykres funkcji logarytmicznej Przesunięcie wykresu funkcji

Zadanie - szkicowanie wykresu funkcji logarytmicznej

Naszkicować wykres funkcji $y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1 \\ y-1=\log_{\frac{1}{2}}{[\sqrt{2}(x+2)]}$
$y-1=\log_{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}} + \log_{\frac{1}{2}}{(x+2)} \\ y-1=-\frac{1}{2} + \log_{\frac{1}{2}}{(x+2)}\\ y-\frac{1}{2}=\log_{\frac{1}{2}}{[x-(-2)]}\\ y-q=f(x-p)$

Aby wykonać wykres naszej funkcji wystarczy więc wykres funkcji $y=\log_{\frac{1}{2}}{x}$ przesunąć o wektor $\vec{u}=[p,q]=[-2,\frac{1}{2}]$

Sporządzamy tabelkę zmienności funkcji elementarnej, a potem wykres:

x	1/4	1/2	1	2	4
$y=\log_{\frac{1}{2}}{x}$	2	1	0	-1	-2

$Wykres funkcji y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wyrażenie pod logarytmem nie jest proste. Sporządzanie tabelki zmienności funkcji nie jest więc tutaj takie proste. W tym przypadku można sobie ułatwić pracę związaną ze sporządzaniem wykresu tej funkcji, gdyż można tu skorzystać z możliwości s przesuwania wykresu funkcji w układzie współrzędnych o dany wektor. Przypomnijmy:

Funkcja y=f(x) przesunięta w układzie współrzędnych o wektor $\vec{u}=[p,q]$ ma postać .

Musimy zatem wzór danej funkcji przekształcić do żądanej postaci. Po przeniesieniu jedności na drugą stronę równości należy wyjąć pierwiastek z dwóch przed nawias pod logarytmem:

$y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1 \\ y-1=\log_{\frac{1}{2}}{[\sqrt{2}(x+2)]}$

Następnie należy skorzystać z własności działań na logarytmach:

$\log_{a}{b\cdot c}=\log_{a}{b}+\log_{a}{c}$

Powyższy wzór jest prawdziwy dla a,b i c dodatnich i podstawa logarytmu musi być różna od jedności. Zgodnie z nim (w pierwszym kroku przekształceń) mamy:

$y-1=\log_{\frac{1}{2}}{[\sqrt{2}\cdot (x+2)]}\\ y-1=\log_{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}} + \log_{\frac{1}{2}}{(x+2)} \\ y-1=-\frac{1}{2} + \log_{\frac{1}{2}}{(x+2)}\\ y-1+\frac{1}{2}=\log_{\frac{1}{2}}{(x+2)}\\ y-\frac{1}{2}=\log_{\frac{1}{2}}{[x-(-2)]}\\ y-q=f(x-p)$ tło

Na niebiesko zaznaczono fragment obliczeń: $\log_{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$ , bo $(\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$

Aby wykonać wykres naszej funkcji wystarczy więc wykres funkcji $y=\log_{\frac{1}{2}}{x}$ przesunąć o wektor $\vec{u}=[p,q]=[-2,\frac{1}{2}]$

Sporządzamy tabelkę zmienności funkcji elementarnej, a potem wykres:

x	1/4	1/2	1	2	4
$y=\log_{\frac{1}{2}}{x}$	2	1	0	-1	-2

$Wykres funkcji y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1$

Zadania podobne

Zadanie - Sporządzić wykres funkcji wykładniczej
Sporządzić wykres funkcji $y=(\frac{1}{2})^{x-5}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Sporządzić wykres funkcji wykładniczej
Sporządzić wykres funkcji $y=(\sqrt{3})^{2x+6}+1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji logarytmicznej
Naszkicować wykres funkcji $y=\log_{\frac{1}{3}}{(x-3)}+1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - sporządzanie wykresu funkcji logarytmicznej
Naszkicować wykres funkcji $y=\log_{2}{4x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=1/|x+2|-3
Sporządzić wykres funkcji $f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji homograficznej y=(x-3)/(x-4)
Sporządzić wykres funkcji $y=\frac{x-3}{x-4}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Wykres funkcji homograficznej y=(-4x+7)/(2x-2)
Sporządzić wykres funkcji:
$y=\frac{-4x+7}{2x-2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 29, matura 2014
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem y=1/x dla każdej liczby rzeczywistej x≠0.
rysunek do zadania 29, matura 2014

a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji f są większe od 0.
b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem g(x)=f(x-3).

Pokaż rozwiązanie zadania