Zadanie - szkicowanie wykresu funkcji logarytmicznej

Rozwiązanie zadania uproszczone
![y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1 \\ y-1=\log_{\frac{1}{2}}{[\sqrt{2}(x+2)]}](matematyka/wzory/zad36/2.gif)
![y-1=\log_{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}} + \log_{\frac{1}{2}}{(x+2)} \\ y-1=-\frac{1}{2} + \log_{\frac{1}{2}}{(x+2)}\\ y-\frac{1}{2}=\log_{\frac{1}{2}}{[x-(-2)]}\\ y-q=f(x-p)](matematyka/wzory/zad36/3.gif)
Aby wykonać wykres naszej funkcji wystarczy więc wykres funkcji przesunąć o wektor
Sporządzamy tabelkę zmienności funkcji elementarnej, a potem wykres:
x | 1/4 | 1/2 | 1 | 2 | 4 |
![]() | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 |

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Wyrażenie pod logarytmem nie jest proste. Sporządzanie tabelki zmienności funkcji nie jest więc tutaj takie proste. W tym przypadku można sobie ułatwić pracę związaną ze sporządzaniem wykresu tej funkcji, gdyż można tu skorzystać z możliwości s przesuwania wykresu funkcji w układzie współrzędnych o dany wektor. Przypomnijmy:
Funkcja y=f(x) przesunięta w układzie współrzędnych o wektor ma postać
.
Musimy zatem wzór danej funkcji przekształcić do żądanej postaci. Po przeniesieniu jedności na drugą stronę równości należy wyjąć pierwiastek z dwóch przed nawias pod logarytmem:
![y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1 \\ y-1=\log_{\frac{1}{2}}{[\sqrt{2}(x+2)]}](matematyka/wzory/zad36/2.gif)
Następnie należy skorzystać z własności działań na logarytmach:

Powyższy wzór jest prawdziwy dla a,b i c dodatnich i podstawa logarytmu musi być różna od jedności. Zgodnie z nim (w pierwszym kroku przekształceń) mamy:
![y-1=\log_{\frac{1}{2}}{[\sqrt{2}\cdot (x+2)]}\\ y-1=\log_{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}} + \log_{\frac{1}{2}}{(x+2)} \\ y-1=-\frac{1}{2} + \log_{\frac{1}{2}}{(x+2)}\\ y-1+\frac{1}{2}=\log_{\frac{1}{2}}{(x+2)}\\ y-\frac{1}{2}=\log_{\frac{1}{2}}{[x-(-2)]}\\ y-q=f(x-p)](matematyka/wzory/zad36/9.gif)






Na niebiesko zaznaczono fragment obliczeń: , bo
Aby wykonać wykres naszej funkcji wystarczy więc wykres funkcji przesunąć o wektor
Sporządzamy tabelkę zmienności funkcji elementarnej, a potem wykres:
x | 1/4 | 1/2 | 1 | 2 | 4 |
![]() | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 |

© medianauka.pl, 2009-12-09, ZAD-421
Zadania podobne

Sporządzić wykres funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Sporządzić wykres funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Naszkicować wykres funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Naszkicować wykres funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Sporządzić wykres funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Sporządzić wykres funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Sporządzić wykres funkcji:

Pokaż rozwiązanie zadania

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem y=1/x dla każdej liczby rzeczywistej x≠0.

a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji f są większe od 0.
b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem g(x)=f(x-3).
Pokaż rozwiązanie zadania