Nauka » Matematyka » Wykres funkcji logarytmicznej • Przesunięcie wykresu funkcji w układzie współrzędnych

Zadanie - szkicowanie wykresu funkcji logarytmicznej

Naszkicować wykres funkcji $y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1 \\ y-1=\log_{\frac{1}{2}}{[\sqrt{2}(x+2)]}$
$y-1=\log_{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}} + \log_{\frac{1}{2}}{(x+2)} \\ y-1=-\frac{1}{2} + \log_{\frac{1}{2}}{(x+2)}\\ y-\frac{1}{2}=\log_{\frac{1}{2}}{[x-(-2)]}\\ y-q=f(x-p)$

Aby wykonać wykres naszej funkcji wystarczy więc wykres funkcji $y=\log_{\frac{1}{2}}{x}$ przesunąć o wektor $\vec{u}=[p,q]=[-2,\frac{1}{2}]$

Sporządzamy tabelkę zmienności funkcji elementarnej, a potem wykres:

x	1/4	1/2	1	2	4
$y=\log_{\frac{1}{2}}{x}$	2	1	0	-1	-2

$Wykres funkcji y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wyrażenie pod logarytmem nie jest proste. Sporządzanie tabelki zmienności funkcji nie jest więc tutaj takie proste. W tym przypadku można sobie ułatwić pracę związaną ze sporządzaniem wykresu tej funkcji, gdyż można tu skorzystać z możliwości s przesuwania wykresu funkcji w układzie współrzędnych o dany wektor. Przypomnijmy:

Funkcja y=f(x) przesunięta w układzie współrzędnych o wektor $\vec{u}=[p,q]$ ma postać .

Musimy zatem wzór danej funkcji przekształcić do żądanej postaci. Po przeniesieniu jedności na drugą stronę równości należy wyjąć pierwiastek z dwóch przed nawias pod logarytmem:

$y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1 \\ y-1=\log_{\frac{1}{2}}{[\sqrt{2}(x+2)]}$

Następnie należy skorzystać z własności działań na logarytmach:

$\log_{a}{b\cdot c}=\log_{a}{b}+\log_{a}{c}$

Powyższy wzór jest prawdziwy dla a,b i c dodatnich i podstawa logarytmu musi być różna od jedności. Zgodnie z nim (w pierwszym kroku przekształceń) mamy:

$y-1=\log_{\frac{1}{2}}{[\sqrt{2}\cdot (x+2)]}\\ y-1=\log_{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}} + \log_{\frac{1}{2}}{(x+2)} \\ y-1=-\frac{1}{2} + \log_{\frac{1}{2}}{(x+2)}\\ y-1+\frac{1}{2}=\log_{\frac{1}{2}}{(x+2)}\\ y-\frac{1}{2}=\log_{\frac{1}{2}}{[x-(-2)]}\\ y-q=f(x-p)$ tło