Nauka » Matematyka » Przesunięcie wykresu funkcji Funkcja logarytmiczna

Zadanie - szkicowanie wykresu funkcji logarytmicznej

Treść zadania:

Naszkicować wykres funkcji $y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1$.

Rozwiązanie zadania

Wyrażenie pod logarytmem nie jest proste. Sporządzanie tabelki zmienności funkcji nie jest więc tutaj takie proste. W tym przypadku można sobie ułatwić pracę związaną ze sporządzaniem wykresu tej funkcji, gdyż można tu skorzystać z możliwości s przesuwania wykresu funkcji w układzie współrzędnych o dany wektor. Przypomnijmy:

Funkcja $y=f(x)$ przesunięta w układzie współrzędnych o wektor $\vec{u}=[p,q]$ ma postać $y-q=f(x-p)$.

Musimy zatem wzór danej funkcji przekształcić do żądanej postaci. Po przeniesieniu jedności na drugą stronę równości należy wyjąć pierwiastek z dwóch przed nawias pod logarytmem:

$y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1$

$y-1=\log_{\frac{1}{2}}{[\sqrt{2}(x+2)]}$

Następnie należy skorzystać z własności działań na logarytmach:

$\log_{a}{b\cdot c}=\log_{a}{b}+\log_{a}{c}$

Powyższy wzór jest prawdziwy dla $a, b$ i $c$ dodatnich i podstawa logarytmu musi być różna od jedności. Zgodnie z nim (w pierwszym kroku przekształceń) mamy:

$y-1=\log_{\frac{1}{2}}{[\sqrt{2}\cdot (x+2)]}$

$y-1=\log_{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}} + \log_{\frac{1}{2}}{(x+2)}$

$y-1=-\frac{1}{2} + \log_{\frac{1}{2}}{(x+2)}$

$y-1+\frac{1}{2}=\log_{\frac{1}{2}}{(x+2)}$

$ y-\frac{1}{2}=\log_{\frac{1}{2}}{[x-(-2)]}$

$ y-q=f(x-p)$

Na niebiesko zaznaczono fragment obliczeń: $\log_{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$, bo $(\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$

Aby wykonać wykres naszej funkcji wystarczy więc wykres funkcji $y=\log_{\frac{1}{2}}{x}$ przesunąć o wektor $\vec{u}=[p,q]=[-2,\frac{1}{2}]"$.

Sporządzamy tabelkę zmienności funkcji elementarnej, a potem wykres:

$x$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$
$y=\log_{\frac{1}{2}}{x}$	$2$	$1$	$0$	$-1$	$-2$

$Wykres funkcji y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1$

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji $y=\log(5x^2-3x+1)$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji $y=\log_{\frac{1}{2}}{\frac{x}{x+2}}$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji $y=\log_{(-x^2+2x)}{(x^3-x^2)}$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Naszkicować wykres funkcji $y=\log_{\frac{1}{3}}{(x-3)}+1$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Naszkicować wykres funkcji $y=\log_{2}{4x}$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

\(x\)	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)
\(y=\log_{\frac{1}{2}}{x}\)	\(2\)	\(1\)	\(0\)	\(-1\)	\(-2\)