Zadanie - szkicowanie wykresu funkcji logarytmicznej

Treść zadania:

Naszkicować wykres funkcji \(y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Wyrażenie pod logarytmem nie jest proste. Sporządzanie tabelki zmienności funkcji nie jest więc tutaj takie proste. W tym przypadku można sobie ułatwić pracę związaną ze sporządzaniem wykresu tej funkcji, gdyż można tu skorzystać z możliwości s przesuwania wykresu funkcji w układzie współrzędnych o dany wektor. Przypomnijmy:

Funkcja \(y=f(x)\) przesunięta w układzie współrzędnych o wektor \(\vec{u}=[p,q]\) ma postać \(y-q=f(x-p)\).

Musimy zatem wzór danej funkcji przekształcić do żądanej postaci. Po przeniesieniu jedności na drugą stronę równości należy wyjąć pierwiastek z dwóch przed nawias pod logarytmem:

\(y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1\)

\(y-1=\log_{\frac{1}{2}}{[\sqrt{2}(x+2)]}\)

Następnie należy skorzystać z własności działań na logarytmach:

\(\log_{a}{b\cdot c}=\log_{a}{b}+\log_{a}{c}\)

Powyższy wzór jest prawdziwy dla \(a, b\) i \(c\) dodatnich i podstawa logarytmu musi być różna od jedności. Zgodnie z nim (w pierwszym kroku przekształceń) mamy:

\(y-1=\log_{\frac{1}{2}}{[\sqrt{2}\cdot (x+2)]}\)

\(y-1=\log_{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}} + \log_{\frac{1}{2}}{(x+2)}\)

\(y-1=-\frac{1}{2} + \log_{\frac{1}{2}}{(x+2)}\)

\(y-1+\frac{1}{2}=\log_{\frac{1}{2}}{(x+2)}\)

\( y-\frac{1}{2}=\log_{\frac{1}{2}}{[x-(-2)]}\)

\( y-q=f(x-p)\)

Na niebiesko zaznaczono fragment obliczeń: \(\log_{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}\), bo \((\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)

Aby wykonać wykres naszej funkcji wystarczy więc wykres funkcji \(y=\log_{\frac{1}{2}}{x}\) przesunąć o wektor \(\vec{u}=[p,q]=[-2,\frac{1}{2}]"\).

Sporządzamy tabelkę zmienności funkcji elementarnej, a potem wykres:

\(x\)\(\frac{1}{4}\)\(\frac{1}{2}\)\(1\)\(2\)\(4\)
\(y=\log_{\frac{1}{2}}{x}\)\(2\)\(1\)\(0\)\(-1\)\(-2\)

Wykres funkcji y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1


© medianauka.pl, 2009-12-09, ZAD-421

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Sporządzić wykres funkcji \(y=(\frac{1}{2})^{x-5}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Sporządzić wykres funkcji \(y=(\sqrt{3})^{2x+6}+1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Naszkicować wykres funkcji \(y=\log_{\frac{1}{3}}{(x-3)}+1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Naszkicować wykres funkcji \(y=\log_{2}{4x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Sporządzić wykres funkcji \(y=\frac{x-3}{x-4}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Sporządzić wykres funkcji \(y=\frac{-4x+7}{2x-2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\), który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem \(y=\frac{1}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 0\).

rysunek do zadania 29, matura 2014

a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji \(f\) są większe od \(0\).

b) Podaj miejsce zerowe funkcji \(g\) określonej wzorem \(g(x)=f(x-3)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej w zbiorze \([−6, 5]\).

Rysunek do zadania maturalnego z matematyki, nr 7 z 2021 roku

Funkcja \(g\) jest określona wzorem \(g(x)=f(x)-2\) dla \(x\in [−6, 5]\). Wskaż zdanie prawdziwe.

A. Liczba \(f(2)+g(2)\) jest równa \((−2)\).

B. Zbiory wartości funkcji \(f\) i \(g\) są równe.

C. Funkcje \(f\) i \(g\) mają te same miejsca zerowe.

D. Punkt \(P=(0,−2)\) należy do wykresów funkcji \(f\) i \(g\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Na rysunku 1. przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej na zbiorze \(\langle -4; 5\rangle\).

Rysunek 1

Funkcję \(g\) określono za pomocą funkcji \(f\). Wykres funkcji \(g\) przedstawiono na rysunku 2.

Rysunek 2

Wynika stąd, że

A. \(g(x)=f(x)-2\)

B. \(g(x)=f(x-2)\)

C. \(g(x)=f(x)+2\)

D. \(g(x)=f(x+2)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.