Logo Media Nauka

Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=1/|x+2|-3

Sporządzić wykres funkcji f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

1) Dla x>-2:
f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\\ f(x)=\frac{1}{x+2}-3
y-q=f(x-p)\\ y+3=\frac{1}{x+2} \\ p=-2, \ q=-3 \\ \vec{v}=[-2,-3]
Przesuwamy wykres funkcji y=1/x w układzie współrzędnych o wektor [-2,-3].

Dla y=1/x:
x1/212
f(x)211/2

Wykres funkcji f(x)=1/|x+2|-3 - etap 1

2) Dla x<-2:
f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\\ f(x)=-\frac{1}{x+2}-3
y-q=f(x-p)\\ y+3=-\frac{1}{x+2} \\ p=-2, \ q=-3
Przesuwamy wykres funkcji y=-1/x w układzie współrzędnych o wektor [-2,-3].

Dla funkcji elementarnej y=-1/x
x-1/2-1-2
f(x)211/2

Wykres funkcji f(x)=1/|x+2|-3 - etap 2

Wykres funkcji f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3:

Wykres funkcji f(x)=1/|x+2|-3

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

|x|=\begin{cases} x \ dla \ x\geq 0 \\ -x \ dla \ x< 0 \end{cases}

Mamy więc dwa przypadki:

Przypadek 1

Dla x+2>0, x>-2 (x nie może być równe liczbie -2 ze względu na dziedzinę funkcji) możemy opuścić wartość bezwzględną.

f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\\ f(x)=\frac{1}{x+2}-3

Otrzymaliśmy funkcję homograficzną. Jej wykresem jest hiperbola. Aby naszkicować jej wykres skorzystamy dodatkowo z wiedzy na temat przesuwania wykresu funkcji w układzie współrzędnych o zadany wektor.

Wykres funkcji y=f(x) przesunięty w układzie współrzędnych o wektor [p,q] ma wzór:

y-q=f(x-p)

Jeżeli f(x)=\frac{1}{x}, to f(x-p)=\frac{1}{x-p}. Zapiszemy naszą funkcję w następującej postaci

y-q=f(x-p)\\ y-(-3)=\frac{1}{x-(-2)} \\ p=-2, \ q=-3

Wystarczy więc przesunąć wykres funkcji y=1/x w układzie współrzędnych o wektor [-2,-3]. Pamiętać też należy, że w omawianym przypadku, zgodnie z założeniem, wykres sporządzamy dla argumentów funkcji x>-2

Poniżej tabelka zmienności funkcji dla funkcji elementarnej y=1/x

x1/212
f(x)211/2

Sporządzamy więc wykres powyższej funkcji:

Wykres funkcji f(x)=1/|x+2|-3 - etap 1

Przypadek 2

Dla x+2<0, x<-2 możemy opuścić wartość bezwzględną, pamiętając o zmianie znaku na przeciwny wyrażenia znajdującego się pod wartością bezwzględną.

f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\\ f(x)=\frac{1}{-(x+2)}-3 \\ f(x)=-\frac{1}{x+2}-3

Aby naszkicować wykres tej funkcji homograficznej, również skorzystamy z wiedzy na temat przesuwania wykresu funkcji w układzie współrzędnych o zadany wektor.

Jeżeli f(x)=-\frac{1}{x}, to f(x-p)=-\frac{1}{x-p}. Zapiszemy naszą funkcję w następującej postaci

y-q=f(x-p)\\ y-(-3)=-\frac{1}{x-(-2)} \\ p=-2, \ q=-3

Wystarczy więc przesunąć wykres funkcji y=-1/x w układzie współrzędnych o wektor [-2,-3]. Pamiętać też należy, że w omawianym przypadku, zgodnie z założeniem, wykres sporządzamy dla argumentów funkcji x<-2

Poniżej tabelka zmienności funkcji dla funkcji elementarnej y=-1/x

x-1/2-1-2
f(x)211/2

Sporządzamy więc wykres powyższej funkcji w tym samym układzie współrzędnych:

Wykres funkcji f(x)=1/|x+2|-3 - etap 2

Otrzymujemy tym sposobem wykres funkcji f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3

ksiązki Odpowiedź

Wykres funkcji f(x)=1/|x+2|-3

© medianauka.pl, 2009-12-29, ZAD-459



Zadania podobne

kulkaZadanie - Sporządzić wykres funkcji wykładniczej
Sporządzić wykres funkcji y=(\frac{1}{2})^{x-5}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Sporządzić wykres funkcji wykładniczej
Sporządzić wykres funkcji y=(\sqrt{3})^{2x+6}+1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wykres funkcji logarytmicznej
Naszkicować wykres funkcji y=\log_{\frac{1}{3}}{(x-3)}+1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - sporządzanie wykresu funkcji logarytmicznej
Naszkicować wykres funkcji y=\log_{2}{4x}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - szkicowanie wykresu funkcji logarytmicznej
Naszkicować wykres funkcji y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wykres funkcji homograficznej y=(x-3)/(x-4)
Sporządzić wykres funkcji y=\frac{x-3}{x-4}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Wykres funkcji homograficznej y=(-4x+7)/(2x-2)
Sporządzić wykres funkcji:
y=\frac{-4x+7}{2x-2}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 29, matura 2014
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem y=1/x dla każdej liczby rzeczywistej x≠0.
rysunek do zadania 29, matura 2014
a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji f są większe od 0.
b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem g(x)=f(x-3).

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.