Strona główna » Matematyka » Wykres funkcji homograficznej • Wartość bezwzględna - wiadomości podstawowe • Przesunięcie wykresu funkcji w układzie współrzędnych

Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=1/|x+2|-3

Sporządzić wykres funkcji $f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3$ .

Rozwiązanie zadania uproszczone

1) Dla x>-2:
$f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\\ f(x)=\frac{1}{x+2}-3$
$y-q=f(x-p)\\ y+3=\frac{1}{x+2} \\ p=-2, \ q=-3 \\ \vec{v}=[-2,-3]$
Przesuwamy wykres funkcji y=1/x w układzie współrzędnych o wektor [-2,-3].

Dla y=1/x:

x	1/2	1	2
f(x)	2	1	1/2

2) Dla x<-2:
$f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\\ f(x)=-\frac{1}{x+2}-3$
$y-q=f(x-p)\\ y+3=-\frac{1}{x+2} \\ p=-2, \ q=-3$
Przesuwamy wykres funkcji y=-1/x w układzie współrzędnych o wektor [-2,-3].

Dla funkcji elementarnej y=-1/x

x	-1/2	-1	-2
f(x)	2	1	1/2

Wykres funkcji $f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3$ :

Wykres funkcji f(x)=1/|x+2|-3

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

$|x|=\begin{cases} x \ dla \ x\geq 0 \\ -x \ dla \ x< 0 \end{cases}$

Mamy więc dwa przypadki:

Przypadek 1

Dla x+2>0, x>-2 (x nie może być równe liczbie -2 ze względu na dziedzinę funkcji) możemy opuścić wartość bezwzględną.

$f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\\ f(x)=\frac{1}{x+2}-3$

Otrzymaliśmy funkcję homograficzną. Jej wykresem jest hiperbola. Aby naszkicować jej wykres skorzystamy dodatkowo z wiedzy na temat przesuwania wykresu funkcji w układzie współrzędnych o zadany wektor.

Wykres funkcji y=f(x) przesunięty w układzie współrzędnych o wektor [p,q] ma wzór:

Jeżeli $f(x)=\frac{1}{x}$ , to $f(x-p)=\frac{1}{x-p}$ . Zapiszemy naszą funkcję w następującej postaci

$y-q=f(x-p)\\ y-(-3)=\frac{1}{x-(-2)} \\ p=-2, \ q=-3$

Wystarczy więc przesunąć wykres funkcji y=1/x w układzie współrzędnych o wektor [-2,-3]. Pamiętać też należy, że w omawianym przypadku, zgodnie z założeniem, wykres sporządzamy dla argumentów funkcji x>-2

Poniżej tabelka zmienności funkcji dla funkcji elementarnej y=1/x

x	1/2	1	2
f(x)	2	1	1/2

Sporządzamy więc wykres powyższej funkcji:

Przypadek 2

Dla x+2<0, x<-2 możemy opuścić wartość bezwzględną, pamiętając o zmianie znaku na przeciwny wyrażenia znajdującego się pod wartością bezwzględną.

$f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\\ f(x)=\frac{1}{-(x+2)}-3 \\ f(x)=-\frac{1}{x+2}-3$

Aby naszkicować wykres tej funkcji homograficznej, również skorzystamy z wiedzy na temat przesuwania wykresu funkcji w układzie współrzędnych o zadany wektor.

Jeżeli $f(x)=-\frac{1}{x}$ , to $f(x-p)=-\frac{1}{x-p}$ . Zapiszemy naszą funkcję w następującej postaci

$y-q=f(x-p)\\ y-(-3)=-\frac{1}{x-(-2)} \\ p=-2, \ q=-3$

Wystarczy więc przesunąć wykres funkcji y=-1/x w układzie współrzędnych o wektor [-2,-3]. Pamiętać też należy, że w omawianym przypadku, zgodnie z założeniem, wykres sporządzamy dla argumentów funkcji x<-2

Poniżej tabelka zmienności funkcji dla funkcji elementarnej y=-1/x