Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=1/|x+2|-3


Sporządzić wykres funkcji f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

1) Dla x>-2:
f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\\ f(x)=\frac{1}{x+2}-3
y-q=f(x-p)\\ y+3=\frac{1}{x+2} \\ p=-2, \ q=-3 \\ \vec{v}=[-2,-3]
Przesuwamy wykres funkcji y=1/x w układzie współrzędnych o wektor [-2,-3].

Dla y=1/x:
x1/212
f(x)211/2

Wykres funkcji f(x)=1/|x+2|-3 - etap 1

2) Dla x<-2:
f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\\ f(x)=-\frac{1}{x+2}-3
y-q=f(x-p)\\ y+3=-\frac{1}{x+2} \\ p=-2, \ q=-3
Przesuwamy wykres funkcji y=-1/x w układzie współrzędnych o wektor [-2,-3].

Dla funkcji elementarnej y=-1/x
x-1/2-1-2
f(x)211/2

Wykres funkcji f(x)=1/|x+2|-3 - etap 2

Wykres funkcji f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3:

Wykres funkcji f(x)=1/|x+2|-3

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

|x|=\begin{cases} x \ dla \ x\geq 0 \\ -x \ dla \ x< 0 \end{cases}

Mamy więc dwa przypadki:

Przypadek 1

Dla x+2>0, x>-2 (x nie może być równe liczbie -2 ze względu na dziedzinę funkcji) możemy opuścić wartość bezwzględną.

f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\\ f(x)=\frac{1}{x+2}-3

Otrzymaliśmy funkcję homograficzną. Jej wykresem jest hiperbola. Aby naszkicować jej wykres skorzystamy dodatkowo z wiedzy na temat przesuwania wykresu funkcji w układzie współrzędnych o zadany wektor.

Wykres funkcji y=f(x) przesunięty w układzie współrzędnych o wektor [p,q] ma wzór:

y-q=f(x-p)

Jeżeli f(x)=\frac{1}{x}, to f(x-p)=\frac{1}{x-p}. Zapiszemy naszą funkcję w następującej postaci

y-q=f(x-p)\\ y-(-3)=\frac{1}{x-(-2)} \\ p=-2, \ q=-3

Wystarczy więc przesunąć wykres funkcji y=1/x w układzie współrzędnych o wektor [-2,-3]. Pamiętać też należy, że w omawianym przypadku, zgodnie z założeniem, wykres sporządzamy dla argumentów funkcji x>-2

Poniżej tabelka zmienności funkcji dla funkcji elementarnej y=1/x

x1/212
f(x)211/2

Sporządzamy więc wykres powyższej funkcji:

Wykres funkcji f(x)=1/|x+2|-3 - etap 1

Przypadek 2

Dla x+2<0, x<-2 możemy opuścić wartość bezwzględną, pamiętając o zmianie znaku na przeciwny wyrażenia znajdującego się pod wartością bezwzględną.

f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\\ f(x)=\frac{1}{-(x+2)}-3 \\ f(x)=-\frac{1}{x+2}-3

Aby naszkicować wykres tej funkcji homograficznej, również skorzystamy z wiedzy na temat przesuwania wykresu funkcji w układzie współrzędnych o zadany wektor.

Jeżeli f(x)=-\frac{1}{x}, to f(x-p)=-\frac{1}{x-p}. Zapiszemy naszą funkcję w następującej postaci

y-q=f(x-p)\\ y-(-3)=-\frac{1}{x-(-2)} \\ p=-2, \ q=-3

Wystarczy więc przesunąć wykres funkcji y=-1/x w układzie współrzędnych o wektor [-2,-3]. Pamiętać też należy, że w omawianym przypadku, zgodnie z założeniem, wykres sporządzamy dla argumentów funkcji x<-2

Poniżej tabelka zmienności funkcji dla funkcji elementarnej y=-1/x

x-1/2-1-2
f(x)211/2

Sporządzamy więc wykres powyższej funkcji w tym samym układzie współrzędnych:

Wykres funkcji f(x)=1/|x+2|-3 - etap 2

Otrzymujemy tym sposobem wykres funkcji f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3

ksiązki Odpowiedź

Wykres funkcji f(x)=1/|x+2|-3

© medianauka.pl, 2009-12-29, ZAD-459





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.