Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=1/|x+2|-3

Rozwiązanie zadania uproszczone
1) Dla x>-2:
![y-q=f(x-p)\\ y+3=\frac{1}{x+2} \\ p=-2, \ q=-3 \\ \vec{v}=[-2,-3]](matematyka/wzory/zad69/3.gif)
Przesuwamy wykres funkcji y=1/x w układzie współrzędnych o wektor [-2,-3].
Dla y=1/x:
x | 1/2 | 1 | 2 |
f(x) | 2 | 1 | 1/2 |

2) Dla x<-2:


Przesuwamy wykres funkcji y=-1/x w układzie współrzędnych o wektor [-2,-3].
Dla funkcji elementarnej y=-1/x
x | -1/2 | -1 | -2 |
f(x) | 2 | 1 | 1/2 |

Wykres funkcji


Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

Mamy więc dwa przypadki:
Przypadek 1
Dla x+2>0, x>-2 (x nie może być równe liczbie -2 ze względu na dziedzinę funkcji) możemy opuścić wartość bezwzględną.

Otrzymaliśmy funkcję homograficzną. Jej wykresem jest hiperbola. Aby naszkicować jej wykres skorzystamy dodatkowo z wiedzy na temat przesuwania wykresu funkcji w układzie współrzędnych o zadany wektor.
Wykres funkcji y=f(x) przesunięty w układzie współrzędnych o wektor [p,q] ma wzór:

Jeżeli , to
. Zapiszemy naszą funkcję w następującej postaci

Wystarczy więc przesunąć wykres funkcji y=1/x w układzie współrzędnych o wektor [-2,-3]. Pamiętać też należy, że w omawianym przypadku, zgodnie z założeniem, wykres sporządzamy dla argumentów funkcji x>-2
Poniżej tabelka zmienności funkcji dla funkcji elementarnej y=1/x
x | 1/2 | 1 | 2 |
f(x) | 2 | 1 | 1/2 |
Sporządzamy więc wykres powyższej funkcji:

Przypadek 2
Dla x+2<0, x<-2 możemy opuścić wartość bezwzględną, pamiętając o zmianie znaku na przeciwny wyrażenia znajdującego się pod wartością bezwzględną.

Aby naszkicować wykres tej funkcji homograficznej, również skorzystamy z wiedzy na temat przesuwania wykresu funkcji w układzie współrzędnych o zadany wektor.
Jeżeli , to
. Zapiszemy naszą funkcję w następującej postaci

Wystarczy więc przesunąć wykres funkcji y=-1/x w układzie współrzędnych o wektor [-2,-3]. Pamiętać też należy, że w omawianym przypadku, zgodnie z założeniem, wykres sporządzamy dla argumentów funkcji x<-2
Poniżej tabelka zmienności funkcji dla funkcji elementarnej y=-1/x
x | -1/2 | -1 | -2 |
f(x) | 2 | 1 | 1/2 |
Sporządzamy więc wykres powyższej funkcji w tym samym układzie współrzędnych:

Otrzymujemy tym sposobem wykres funkcji
Odpowiedź

© medianauka.pl, 2009-12-29, ZAD-459
Zadania podobne

Sporządzić wykres funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Sporządzić wykres funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Naszkicować wykres funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Naszkicować wykres funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Naszkicować wykres funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Sporządzić wykres funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Sporządzić wykres funkcji:

Pokaż rozwiązanie zadania

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem y=1/x dla każdej liczby rzeczywistej x≠0.

a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji f są większe od 0.
b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem g(x)=f(x-3).
Pokaż rozwiązanie zadania