Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=1/|x+2|-3
Treść zadania:
Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\).
Rozwiązanie zadania
Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:
Mamy więc dwa przypadki:
Przypadek 1
Dla \(x+2>0, x>-2\) (\(x\) nie może być równe liczbie \(-2\) ze względu na dziedzinę funkcji) możemy opuścić wartość bezwzględną.
\(f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\)
\(f(x)=\frac{1}{x+2}-3\)
Otrzymaliśmy funkcję homograficzną. Jej wykresem jest hiperbola. Aby naszkicować jej wykres skorzystamy dodatkowo z wiedzy na temat przesuwania wykresu funkcji w układzie współrzędnych o zadany wektor.
Wykres funkcji \(y=f(x)\) przesunięty w układzie współrzędnych o wektor \([p,q]\) ma wzór:
Jeżeli \(f(x)=\frac{1}{x}\), to \(f(x-p)=\frac{1}{x-p}\). Zapiszemy naszą funkcję w następującej postaci:
\(y-q=f(x-p)\)
\(y-(-3)=\frac{1}{x-(-2)}\)
\(p=-2, q=-3\)
Wystarczy więc przesunąć wykres funkcji \(y=\frac{1}{x}\) w układzie współrzędnych o wektor \([-2,-3]\). Pamiętać też należy, że w omawianym przypadku, zgodnie z założeniem, wykres sporządzamy dla argumentów funkcji \(x>-2\).
Poniżej tabelka zmienności funkcji dla funkcji elementarnej \(y=\frac{1}{x}\).
| \(x\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | \(2\) |
| \(f(x)\) | \(2\) | \(1\) | \(\frac{1}{2}\) |
Sporządzamy więc wykres powyższej funkcji:
Przypadek 2
Dla \(x+2<0, x<-2\) możemy opuścić wartość bezwzględną, pamiętając o zmianie znaku na przeciwny wyrażenia znajdującego się pod wartością bezwzględną.
\(f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\)
\(f(x)=\frac{1}{-(x+2)}-3\)
\(f(x)=-\frac{1}{x+2}-3\)
Aby naszkicować wykres tej funkcji homograficznej, również skorzystamy z wiedzy na temat przesuwania wykresu funkcji w układzie współrzędnych o zadany wektor.
Jeżeli \(f(x)=-\frac{1}{x}\), to \(f(x-p)=-\frac{1}{x-p}\). Zapiszemy naszą funkcję w następującej postaci:
\(y-q=f(x-p)\)
\(y-(-3)=-\frac{1}{x-(-2)}\)
\(p=-2, q=-3\)
Wystarczy więc przesunąć wykres funkcji \(y=-\frac{1}{x}\) w układzie współrzędnych o wektor \([-2,-3]\). Pamiętać też należy, że w omawianym przypadku, zgodnie z założeniem, wykres sporządzamy dla argumentów funkcji \(x<-2\).
Poniżej tabelka zmienności funkcji dla funkcji elementarnej \(y=-\frac{1}{x}\).
| \(x\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(-1\) | \(-2\) |
| \(f(x)\) | \(2\) | \(1\) | \(\frac{1}{2}\) |
Sporządzamy więc wykres powyższej funkcji w tym samym układzie współrzędnych:
Otrzymujemy tym sposobem wykres funkcji \(f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\).
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-29, ZAD-459
Zadania podobne
Zadanie nr 3.
Naszkicować wykres funkcji \(y=\log_{\frac{1}{3}}{(x-3)}+1\).
Zadanie nr 5.
Naszkicować wykres funkcji \(y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\), który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem \(y=\frac{1}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 0\).
a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji \(f\) są większe od \(0\).
b) Podaj miejsce zerowe funkcji \(g\) określonej wzorem \(g(x)=f(x-3)\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej w zbiorze \([−6, 5]\).
Funkcja \(g\) jest określona wzorem \(g(x)=f(x)-2\) dla \(x\in [−6, 5]\). Wskaż zdanie prawdziwe.
A. Liczba \(f(2)+g(2)\) jest równa \((−2)\).
B. Zbiory wartości funkcji \(f\) i \(g\) są równe.
C. Funkcje \(f\) i \(g\) mają te same miejsca zerowe.
D. Punkt \(P=(0,−2)\) należy do wykresów funkcji \(f\) i \(g\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Na rysunku 1. przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej na zbiorze \(\langle -4; 5\rangle\).
Funkcję \(g\) określono za pomocą funkcji \(f\). Wykres funkcji \(g\) przedstawiono na rysunku 2.
Wynika stąd, że
A. \(g(x)=f(x)-2\)
B. \(g(x)=f(x-2)\)
C. \(g(x)=f(x)+2\)
D. \(g(x)=f(x+2)\)