Nauka » Matematyka » Wykres funkcji homograficznej Wartość bezwzględna Przesunięcie wykresu funkcji

Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=1/|x+2|-3

Sporządzić wykres funkcji $f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3$ .

Rozwiązanie zadania uproszczone

1) Dla x>-2:
$f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\\ f(x)=\frac{1}{x+2}-3$
$y-q=f(x-p)\\ y+3=\frac{1}{x+2} \\ p=-2, \ q=-3 \\ \vec{v}=[-2,-3]$
Przesuwamy wykres funkcji y=1/x w układzie współrzędnych o wektor [-2,-3].

Dla y=1/x:

x	1/2	1	2
f(x)	2	1	1/2

2) Dla x<-2:
$f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\\ f(x)=-\frac{1}{x+2}-3$
$y-q=f(x-p)\\ y+3=-\frac{1}{x+2} \\ p=-2, \ q=-3$
Przesuwamy wykres funkcji y=-1/x w układzie współrzędnych o wektor [-2,-3].

Dla funkcji elementarnej y=-1/x

x	-1/2	-1	-2
f(x)	2	1	1/2

Wykres funkcji $f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3$ :

Wykres funkcji f(x)=1/|x+2|-3

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

$|x|=\begin{cases} x \ dla \ x\geq 0 \\ -x \ dla \ x< 0 \end{cases}$

Mamy więc dwa przypadki:

Przypadek 1

Dla x+2>0, x>-2 (x nie może być równe liczbie -2 ze względu na dziedzinę funkcji) możemy opuścić wartość bezwzględną.

$f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\\ f(x)=\frac{1}{x+2}-3$

Otrzymaliśmy funkcję homograficzną. Jej wykresem jest hiperbola. Aby naszkicować jej wykres skorzystamy dodatkowo z wiedzy na temat przesuwania wykresu funkcji w układzie współrzędnych o zadany wektor.

Wykres funkcji y=f(x) przesunięty w układzie współrzędnych o wektor [p,q] ma wzór:

Jeżeli $f(x)=\frac{1}{x}$ , to $f(x-p)=\frac{1}{x-p}$ . Zapiszemy naszą funkcję w następującej postaci

$y-q=f(x-p)\\ y-(-3)=\frac{1}{x-(-2)} \\ p=-2, \ q=-3$

Wystarczy więc przesunąć wykres funkcji y=1/x w układzie współrzędnych o wektor [-2,-3]. Pamiętać też należy, że w omawianym przypadku, zgodnie z założeniem, wykres sporządzamy dla argumentów funkcji x>-2

Poniżej tabelka zmienności funkcji dla funkcji elementarnej y=1/x

x	1/2	1	2
f(x)	2	1	1/2

Sporządzamy więc wykres powyższej funkcji:

Przypadek 2

Dla x+2<0, x<-2 możemy opuścić wartość bezwzględną, pamiętając o zmianie znaku na przeciwny wyrażenia znajdującego się pod wartością bezwzględną.

$f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\\ f(x)=\frac{1}{-(x+2)}-3 \\ f(x)=-\frac{1}{x+2}-3$

Aby naszkicować wykres tej funkcji homograficznej, również skorzystamy z wiedzy na temat przesuwania wykresu funkcji w układzie współrzędnych o zadany wektor.

Jeżeli $f(x)=-\frac{1}{x}$ , to $f(x-p)=-\frac{1}{x-p}$ . Zapiszemy naszą funkcję w następującej postaci

$y-q=f(x-p)\\ y-(-3)=-\frac{1}{x-(-2)} \\ p=-2, \ q=-3$

Wystarczy więc przesunąć wykres funkcji y=-1/x w układzie współrzędnych o wektor [-2,-3]. Pamiętać też należy, że w omawianym przypadku, zgodnie z założeniem, wykres sporządzamy dla argumentów funkcji x<-2

Poniżej tabelka zmienności funkcji dla funkcji elementarnej y=-1/x

x	-1/2	-1	-2
f(x)	2	1	1/2

Sporządzamy więc wykres powyższej funkcji w tym samym układzie współrzędnych:

Otrzymujemy tym sposobem wykres funkcji $f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3$

Odpowiedź

Zadania podobne

Zadanie - Sporządzić wykres funkcji wykładniczej
Sporządzić wykres funkcji $y=(\frac{1}{2})^{x-5}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Sporządzić wykres funkcji wykładniczej
Sporządzić wykres funkcji $y=(\sqrt{3})^{2x+6}+1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji logarytmicznej
Naszkicować wykres funkcji $y=\log_{\frac{1}{3}}{(x-3)}+1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - sporządzanie wykresu funkcji logarytmicznej
Naszkicować wykres funkcji $y=\log_{2}{4x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - szkicowanie wykresu funkcji logarytmicznej
Naszkicować wykres funkcji $y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji homograficznej y=(x-3)/(x-4)
Sporządzić wykres funkcji $y=\frac{x-3}{x-4}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Wykres funkcji homograficznej y=(-4x+7)/(2x-2)
Sporządzić wykres funkcji:
$y=\frac{-4x+7}{2x-2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 29, matura 2014
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem y=1/x dla każdej liczby rzeczywistej x≠0.
rysunek do zadania 29, matura 2014

a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji f są większe od 0.
b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem g(x)=f(x-3).

Pokaż rozwiązanie zadania